Teorema de la raíz racional

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En álgebra, el teorema de la raíz racional (o prueba de la raíz racional, teorema del cero racional, prueba del cero racional o $p / q$ teorema) establece una restricción sobre las soluciones racionales de una ecuación polinomial

{displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{0}=0}

con coeficientes enteros ${displaystyle a_{i}in mathbb {Z}$ y ${displaystyle a_{0},a_{n}neq 0}$ . Las soluciones de la ecuación también se llaman raíces o ceros del polinomio en el lado izquierdo.

El teorema establece que cada solución racional $x = p ⁄ q$ , escrito en términos mínimos para que $p$ y $q < /span> son relativamente primos, satisface:$

$p$ es un factor entero del término constante $a 0$ , y

$q$ es un factor entero del coeficiente líder $a n$ .

El teorema de la raíz racional es un caso especial (para un solo factor lineal) del lema de Gauss sobre la factorización de polinomios. El teorema de la raíz integral es el caso especial del teorema de la raíz racional cuando el coeficiente principal es $a n = 1$ .

Solicitud

El teorema se usa para encontrar todas las raíces racionales de un polinomio, si las hay. Da un número finito de fracciones posibles que se pueden verificar para ver si son raíces. Si se encuentra una raíz racional $x = r$ , un polinomio lineal $(x - r)$ se puede factorizar fuera del polinomio mediante la división polinomial larga, lo que da como resultado un polinomio de menor grado cuyas raíces también son raíces del polinomio original.

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica general

{displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

con coeficientes enteros tiene tres soluciones en el plano complejo. Si la prueba de raíz racional no encuentra soluciones racionales, entonces la única forma de expresar las soluciones algebraicamente es usando raíces cúbicas. Pero si la prueba encuentra una solución racional $r$ , entonces se factoriza $(x - r)$ deja un polinomio cuadrático cuyas dos raíces, encontradas con la fórmula cuadrática, son las dos raíces restantes del cúbico, evitando las raíces cúbicas.

Pruebas

Prueba elemental

Vamos ${displaystyle P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}$ con ${displaystyle a_{0},ldots a_{n}in mathbb {Z}$

Suponga que $P (p / q) = 0$ para algunos coprimos $p, q \in ℤ$ :

{displaystyle Pleft({tfrac {q}right)=a_{n}left({tfrac} {fn}fn} {fn}n1}left({tfrac] {p}{q}right)}{n-1}+cdots +a_{1}left({tfrac {p} {q}right)+a_{0}=0}

Para borrar los denominadores, multiplique ambos lados por $q n$ :

{displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}=0}

Desplazando el término $a 0$ al lado derecho y eliminando el estilo $p$ en el lado izquierdo produce:

{displaystyle pleft(a_{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+cdots - Sí.

Por lo tanto, $p$ divide a $a 0 q n$ . Pero $p$ es coprimo con $q y por lo tanto a q n, por lo que según el lema de Euclides p debe dividir el factor restante a 0 .$

Por otro lado, desplazando el término $a n$ al lado derecho y factorizar $q$ en el lado izquierdo produce:

{displaystyle qleft(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+cdots - Sí.

Razonando como antes, se sigue que $q$ divide $a n$ .

Prueba usando el lema de Gauss

Si hubiera un factor no trivial que divide todos los coeficientes del polinomio, entonces se puede dividir por el máximo común divisor de los coeficientes para obtener un polinomio primitivo en el sentido del lema de Gauss; esto no altera el conjunto de raíces racionales y solo fortalece las condiciones de divisibilidad. Ese lema dice que si el polinomio se factoriza en $Q [X]$ , entonces también se factoriza en $Z [X]$ como producto de polinomios primitivos. Ahora cualquier raíz racional $p / q$ corresponde a un factor de grado 1 en $< b>Q[X]$ del polinomio, y su representante primitivo es entonces $qx - p$ , asumiendo que $p$ y $q$ son coprimos. Pero cualquier múltiplo en $Z [X]$ de $qx - p$ tiene un término principal divisible por $q$ y un término constante divisible por $p$ , que prueba la afirmación. Este argumento muestra que, de manera más general, se puede suponer que cualquier factor irreducible de $P$ tiene coeficientes enteros, y coeficientes principales y constantes que dividen los coeficientes correspondientes de < abarcan clase="texhtml">P.

Ejemplos

Primero

En el polinomio

{displaystyle 2x^{3}+x-1,}

cualquier raíz racional completamente reducida tendría que tener un numerador que divida uniformemente en 1 y un denominador que divida uniformemente en 2. Por lo tanto, las únicas raíces racionales posibles son ±1/2 y ±1; dado que ninguno de estos iguala el polinomio a cero, no tiene raíces racionales.

Segundo

En el polinomio

{displaystyle x^{3}-7x+6}

las únicas raíces racionales posibles tendrían un numerador que divide 6 y un denominador que divide 1, limitando las posibilidades a ±1, ±2, ±3 y ±6. De estos, 1, 2 y –3 igualan el polinomio a cero y, por lo tanto, son sus raíces racionales. (De hecho, estas son sus únicas raíces ya que un cúbico tiene solo tres raíces; en general, un polinomio podría tener algunas raíces racionales y algunas irracionales).

Tercero

Toda raíz racional del polinomio

{displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2}

debe estar entre los números indicados simbólicamente por:

{displaystyle pm {tfrac {1,2}{1,3}=pm left{1,2,{tfrac {1}{3},{tfrac {2}{3}}right}

Estos 8 candidatos raíz $x = r$ pueden probarse evaluando $< i>P(r)$ , por ejemplo usando el método de Horner. Resulta que hay exactamente uno con $P (r) = 0$ .

Este proceso puede ser más eficiente: si $P () r)$ , se puede utilizar para acortar la lista de candidatos restantes. Por ejemplo, $x = 1$ no funciona, como $P (1) = 1$ . Sustitución $x = 1 + t$ cede un polinomio en $t$ con término constante $P (1) = 1$ , mientras que el coeficiente de $t 3$ sigue siendo el mismo que el coeficiente $x 3$ . Aplicar el teorema de la raíz racional da así las raíces posibles ${displaystyle t=pm {tfrac {1}{1,3}}$ Así que

{displaystyle x=1+t=2,0,{tfrac {4}{3}},{tfrac {2}{3}}

Las raíces verdaderas deben aparecer en ambas listas, por lo que la lista de raíces racionales candidatas se ha reducido a solo $x = 2$ y $x = 2/3$ .

Si $k \geq 1$ se encuentran raíces racionales, el método de Horner también producirá un polinomio de grado $n - k$ cuyas raíces, junto con las raíces racionales, son exactamente las raíces del polinomio original. Si ninguno de los candidatos es una solución, no puede haber una solución racional.