Teorema ideal principal de Krull

En álgebra conmutativa, el teorema ideal principal de Krull, que lleva el nombre de Wolfgang Krull (1899-1971), da un límite a la altura de un ideal principal en un anillo noetheriano conmutativo. A veces se hace referencia al teorema por su nombre alemán, Krulls Hauptidealsatz (de Haupt- ("Principal") + ideal + Satz ("teorema")).

Precisamente, si R es un anillo noetheriano y I es un ideal principal propio de R, entonces cada ideal primo mínimo sobre < i>I tiene una altura como máximo uno.

Este teorema se puede generalizar a ideales que no son principales y el resultado suele denominarse teorema de la altura de Krull. Esto dice que si R es un anillo noetheriano y I es un ideal propio generado por n elementos de R, entonces cada primo mínimo sobre I tiene una altura como máximo n. Lo contrario también es cierto: si un ideal primo tiene altura n, entonces es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos.

El teorema ideal principal y la generalización, el teorema de la altura, se derivan del teorema fundamental de la teoría de las dimensiones en álgebra conmutativa (ver también más abajo las demostraciones directas). El álgebra conmutativa de Bourbaki ofrece una prueba directa. Los Anillos conmutativos de Kaplansky incluyen una demostración debida a David Rees.

Pruebas

Demostración del teorema ideal principal

Vamos ${displaystyle A}$ ser un anillo noetheriano, x un elemento de ella y ${displaystyle {Mathfrak}}$ un primo mínimo sobre x. Replacing A por la localización ${displaystyle A_{mathfrak {}}$, podemos asumir ${displaystyle A}$ es local con el ideal máximo ${displaystyle {Mathfrak}}$. Vamos ${displaystyle {Mathfrak}subsetneq {fnK}$ ser un ideal primario estrictamente más pequeño y dejar ${fnK} {fnh} {fnh00}} {fnh00}} {fn}}cH00}}cH00}}}}$, que es un ${\displaystyle {\fnK}}$- ideal primario llamado n- el poder simbólico ${\displaystyle {\fnK}}$. Forma una cadena descendente de ideales ${displaystyle Asupset {mathfrak {}supset {mathfrak {q}{(2)}supset {mathfrak {}}}}supset cdots}$. Por lo tanto, hay la cadena descendente de ideales ${displaystyle {mathfrak {}{(n)}+(x)/(x)}$ en el anillo ${displaystyle {overline {}=A/(x)}$. Ahora, el radical ${displaystyle {sqrt {(x)}}}$ es la intersección de todos los ideales primarios mínimos que contienen ${displaystyle x}$; ${displaystyle {Mathfrak}}$ está entre ellos. Pero... ${displaystyle {Mathfrak}}$ es un ideal maximal único y por lo tanto ${displaystyle {sqrt {(x)}}={mathfrak {p}}$. Desde ${displaystyle (x)}$ contiene algún poder de su radical, sigue que ${displaystyle {fnK}}$ es un anillo Artiniano y por lo tanto la cadena ${displaystyle {mathfrak {}{(n)}+(x)/(x)}$ se estabiliza y por lo tanto hay algunos n tales que $[displaystyle {mathfrak {}{(n)}+(x)={mathfrak {q}{(n+1)}+(x)}$. Implica:

${displaystyle {mathfrak {}{ n)}={mathfrak {q}}{(n+1)}+x,{mthfrak {q} {} {cH00}}}} {cHFF}}$,

del hecho ${displaystyle {mathfrak} {n}} {cH00}}$ es ${\displaystyle {\fnK}}$- primaria (si ${displaystyle y}$ está dentro ${displaystyle {mathfrak} {n}} {cH00}}$, entonces ${displaystyle y=z+ax}$ con ${displaystyle zin {m} {n+1)}$ y ${displaystyle ain A}$. Desde ${displaystyle {Mathfrak}}$ es mínima ${displaystyle x}$, ${displaystyle xnot in {fn}$ y así ${displaystyle axin {fnMithfrak} {fn]}$ implicación ${displaystyle a}$ está dentro ${displaystyle {mathfrak} {n}} {cH00}}$.) Ahora, citando ambos lados por ${displaystyle {mathfrak} {n+1)}}$ rendimientos ${fnK} {fn} {fnh00} {fnh}} {fnfn}}=(x){mthfrak {} {n)}/ {\mHFF} {cHFF}}} {m}}}} {}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}} {$. Luego, por la lema de Nakayama (que dice un módulo generado finitamente M es cero si ${displaystyle M=IM$ para algunos ideales I contenido en el radical), nos ponemos ${displaystyle M={mathfrak {q} {n)}/{mathfrak {q}{(n+1)}=0}$i.e., ${displaystyle {mathfrak {cH00} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}}} {cHFF}}}} {cHFF}}}}} {cH00}}}}}}} {cHFF}}$ y así ${displaystyle {Mathfrak {} {fn} {fn}\\fnh} {q}={mthfrak {q} {n+1}A_{mathfrak {q}}$. Usando la lema de Nakayama de nuevo, ${displaystyle {Mathfrak {} {fn} {fn}\\fnh} {q}=0}$ y ${displaystyle A_{mathfrak {}}$ es un anillo Artiniano; así, la altura de ${\displaystyle {\fnK}}$ es cero. ${displaystyle square }$

Demostración del teorema de la altura

El teorema de altura de Krull se puede probar como consecuencia del teorema ideal principal por inducción sobre el número de elementos. Vamos ${displaystyle x_{1},dotsx_{n}$ ser elementos en ${displaystyle A}$, ${displaystyle {Mathfrak}}$ un primo mínimo sobre ${displaystyle (x_{1},dotsx_{n}}$ y ${displaystyle {Mathfrak}subsetneq {fnK}$ un ideal primo tal que no hay prima estrictamente entre ellos. Replacing ${displaystyle A}$ por la localización ${displaystyle A_{mathfrak {}}$ podemos asumir ${displaystyle (A,{mathfrak {p})}$ es un anillo local; nota que entonces tenemos ${displaystyle {mathfrak {}={sqrt {(x_{1},dotsx_{n}}}}}}$. Por mínimaidad, ${\displaystyle {\fnK}}$ no puede contener todo ${displaystyle x_{i}}$; relabeling the subscripts, say, ${displaystyle x_{1}not in {mathfrak {q}}$. Desde cada ideal primario que contiene ${displaystyle {mathfrak}+(x_{1}}$ es entre ${\displaystyle {\fnK}}$ y ${displaystyle {Mathfrak}}$, ${\fnMicrok {\\\fnMicrok {\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {q}+(x_{1}}={mathfrak {p}}$ y así podemos escribir para cada uno ${displaystyle igeq 2}$,

${displaystyle ¿Qué?$

con ${displaystyle y_{i}in {fnK}$ y ${displaystyle a_{i}in A}$. Ahora consideramos el anillo ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} }$ y la cadena correspondiente ${displaystyle {fnMithfrak}}subset {fnK}$ dentro. Si ${displaystyle {fnMithfrak}}}$ es un primo mínimo ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {x_{1}}}$, entonces ${\displaystyle {\fnK}}$ contiene ${displaystyle ¿Qué?$ y así ${displaystyle {Mathfrak {}}={mathfrak {p}}$; es decir, ${displaystyle {fnMithfrak}}}$ es un primo mínimo ${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {x_{1}}}$ y así, por el principal teorema ideal de Krull, ${displaystyle {fnMithfrak}}}$ es una prima mínima (sobre cero); ${\displaystyle {\fnK}}$ es un primo mínimo ${displaystyle (y_{2},dotsy_{n}}$. Por hipótesis inductiva, ${displaystyle operatorname {ht} ({mathfrak {q})leq n-1}$ y así ${displaystyle operatorname {ht} ({mathfrak {p})leq n}$. ${displaystyle square }$