Teorema del centroide de Pappus

En matemáticas, el teorema del centroide de Pappus (también conocido como teorema de Guldinus, teorema de Pappus-Guldinus o El teorema de Pappus) es cualquiera de dos teoremas relacionados que tratan de las áreas y volúmenes de superficies y sólidos de revolución.

Los teoremas se atribuyen a Pappus de Alejandría y Paul Guldin. La formulación de este teorema por Pappus aparece impresa por primera vez en 1659, pero ya era conocida antes, por Kepler en 1615 y por Guldin en 1640.

El primer teorema

El primer teorema establece que el área de superficie A de una superficie de revolución generada al girar una curva plana C alrededor de un eje externo a C y en el mismo plano es igual al producto de la longitud del arco s de C y la distancia d recorrida por el centroide geométrico de < i>C:

$${displaystyle A=sd.}$$

Por ejemplo, el área de superficie del toro con radio menor r y radio mayor R es

$${displaystyle A=(2pi r)(2pi R)=4pi ^{2}Rr.}$$

Prueba

Una curva dada por la función positiva ${displaystyle f(x)}$ está obligado por dos puntos dados por:

${displaystyle ageq 0}$ y ${displaystyle bgeq a}$

Si ${displaystyle dL}$ es un elemento de línea infinitesimal tangente a la curva, la longitud de la curva se da por:

$${displaystyle L=int _{b}dL=int _{a}{b}{sqrt ¿Qué?$$

El ${displaystyle y}$ componente del centroide de esta curva es:

$${displaystyle {bar}={frac} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{i}nt _{a}{b}y{sqrt {1+left({frac {y}{dx}}right)}}dx}}}}},dx}$$

El área de la superficie generada al girar la curva alrededor del eje x viene dada por:

$${displaystyle A=2piint _{a}^{b}y,dL=2piint _{a}^{b}y{sqrt {1+left({frac {}{dx}right)}}dx}}}},dx}$$

Usando las dos últimas ecuaciones para eliminar la integral tenemos:

$${displaystyle A=2pi {}L}$$

El segundo teorema

El segundo teorema establece que el volumen V de un sólido de revolución generado al girar una figura plana F alrededor de un eje externo es igual al producto del área < i>A de F y la distancia d recorrida por el centroide geométrico de F. (El centroide de F suele ser diferente del centroide de su curva límite C). Es decir:

$${displaystyle V=Ad.}$$

Por ejemplo, el volumen del toro con radio menor r y radio mayor R es

$${displaystyle V=(pi r^{2})(2pi R)=2pi ^{2}Rr^{2}.}$$

Este caso especial fue obtenido por Johannes Kepler utilizando infinitesimales.

Prueba 1

El área delimitada por las dos funciones:

$${displaystyle y=f(x),,qquad ygeq 0}$$

$${displaystyle y=g(x),,qquad f(x)gq g(x)}$$

y delimitado por las dos líneas:

${displaystyle x=ageq 0}$ y ${displaystyle x=bgeq a}$

está dado por:

$${displaystyle A=int _{a}{b}dA=int _{a}{b}[f(x)-g(x)],dx}$$

El ${displaystyle x}$ componente del centroide de esta zona es dado por:

$${displaystyle {bar {x}={frac {1}{A}int _{a}^{b}x,[f(x)-g(x)},dx}$$

Si esta área se gira alrededor del eje y, el volumen generado se puede calcular usando el método de la cáscara. Está dado por:

$${displaystyle V=2piint _{a}^{b}x,[f(x)-g(x)],dx}$$

Usando las dos últimas ecuaciones para eliminar la integral tenemos:

$${displaystyle V=2pi {b}A}$$

Prueba 2

Vamos ${displaystyle A}$ ser el área de ${displaystyle F}$, ${displaystyle W.$ el sólido de la revolución ${displaystyle F}$, y ${displaystyle V}$ el volumen de ${displaystyle W.$. Suppose ${displaystyle F}$ comienza en el ${displaystyle xz}$-plane y gira alrededor del ${displaystyle z}$-Eje. La distancia del centroide de ${displaystyle F}$ de la ${displaystyle z}$-Eje es su ${displaystyle x}$-coordinado

$${displaystyle R={frac {int _{F}x,dA}{A}}$$

$${displaystyle V=Ad=Acdot 2pi R=2piint _{F}x,dA.}$$

Para mostrar esto, vamos ${displaystyle F}$ estar en xz-plano, parametrizado por ${displaystyle mathbf {Phi } (u,v)=(x(u,v),0,z(u,v)}$ para ${displaystyle (u,v)in F^{*}$, una región del parámetro. Desde ${displaystyle {bun}}$ es esencialmente un mapeo de ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ a ${displaystyle mathbb {R} {2}}$, el área de ${displaystyle F}$ se da por el cambio de fórmula de variables:

$${displaystyle A=int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$$

${displaystyle lefttención{tfrac {partial (x,z)}{partial (u,v)}}right sobre la vida}$

El sólido ${displaystyle W.$ tiene la parametrización toroidal ${displaystyle {boldsymbol {Phi}(u,v,theta)=(x(u,v)cos thetax(u,v)sin thetaz(u,v)}$ para ${displaystyle (u,v,theta)}$ en la región del parámetro ${displaystyle [0,2pi]$; y su volumen es

$${displaystyle V=int ¿Qué? ¿Por qué?$$

Expandiendo,

$${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

La última igualdad sostiene porque el eje de rotación debe ser externo a ${displaystyle F}$, que significa ${displaystyle xgeq 0}$. Ahora,

$${displaystyle {begin{aligned}V pl=iiint ¿Por qué? }!!! ¿Por qué? ¿Por qué?$$

Generalizaciones

Los teoremas se pueden generalizar para curvas y formas arbitrarias, bajo condiciones apropiadas.

Goodman & Goodman generaliza el segundo teorema de la siguiente manera. Si la figura F se mueve a través del espacio de manera que permanece perpendicular a la curva L trazada por el centroide de F, luego barre un sólido de volumen V = Anuncio, donde A es el área de F y d es la longitud de L . (Esto supone que el sólido no se cruza consigo mismo). En particular, F puede girar alrededor de su centroide durante el movimiento.

Sin embargo, la generalización correspondiente del primer teorema sólo es cierta si la curva L trazada por el centroide se encuentra en un plano perpendicular al plano de C.

En n dimensiones

En general, se puede generar un ${displaystyle n}$ sólido dimensional girando un ${displaystyle No.$ dimensional sólido ${displaystyle F}$ alrededor de un ${displaystyle p}$ esfera dimensional. Esto se llama ${displaystyle n}$- Consolidación de la revolución de las especies ${displaystyle p}$. Deja que ${displaystyle p}$- centroide de ${displaystyle F}$ se define por

$${displaystyle R={frac {iint ¿Qué?$$

Entonces Pappus' Los teoremas se generalizan a:

Volumen de ${displaystyle n}$- Consolidación de la revolución de las especies ${displaystyle p}$
= (Volumen de generación ${displaystyle (n{-}p)}$-solidar) ${displaystyle times }$ (Área superficial de ${displaystyle p}$- esfera trazada por el ${displaystyle p}$- centroide del sólido generador)

y

Superficie de superficie ${displaystyle n}$- Consolidación de la revolución de las especies ${displaystyle p}$
= (Área superficial de generación ${displaystyle (n{-}p)}$-solidar) ${displaystyle times }$ (Área superficial de ${displaystyle p}$- esfera trazada por el ${displaystyle p}$- centroide del sólido generador)

Los teoremas originales son el caso con ${displaystyle n=3,,p=1}$.