Teorema de Sylvester-Gallai

El teorema de Sylvester-Gallai en geometría establece que todo conjunto finito de puntos en el plano euclidiano tiene una recta que pasa por exactamente dos de los puntos o una recta que pasa por todos ellos. Lleva el nombre de James Joseph Sylvester, quien lo planteó como un problema en 1893, y de Tibor Gallai, quien publicó una de las primeras demostraciones de este teorema en 1944.

Una línea que contiene exactamente dos de un conjunto de puntos se conoce como línea ordinaria. Otra manera de indicar el teorema es que cada conjunto finito de puntos que no es collinear tiene una línea ordinaria. Según un fortalecimiento del teorema, cada punto finito (no todo en una línea) tiene al menos un número lineal de líneas ordinarias. Un algoritmo puede encontrar una línea ordinaria en un conjunto de ${displaystyle n}$ puntos en el tiempo ${displaystyle O(nlog n)}$.

Historia

El teorema de Sylvester-Gallai fue planteado como un problema por J. J. Sylvester (1893). Kelly (1986) sugiere que Sylvester pudo haber sido motivado por un fenómeno relacionado en geometría algebraica, en el que los puntos de inflexión de una curva cúbica en el plano proyectivo complejo forman una configuración de nueve puntos y doce líneas (la configuración de Hesse) en la que cada La recta determinada por dos de los puntos contiene un tercer punto. El teorema de Sylvester-Gallai implica que es imposible que estos nueve puntos tengan coordenadas reales.

H. J. Woodall (1893a, 1893b) afirmó tener una breve demostración del teorema de Sylvester-Gallai, pero ya se observó que estaba incompleta en el momento de la publicación. Eberhard Melchior (1941) demostró el teorema (y en realidad un resultado ligeramente más sólido) en una formulación equivalente, su dual proyectivo. Sin darse cuenta de la prueba de Melchior, Paul Erdős (1943) volvió a plantear la conjetura, que posteriormente fue demostrada por Tibor Gallai, y poco después por otros autores.

En una revisión de 1951, Erdős llamó al resultado "teorema de Gallai", pero ya se llamaba teorema de Sylvester-Gallai en una revisión de 1954 de Leonard Blumenthal. Es uno de los muchos temas matemáticos que llevan el nombre de Sylvester.

Versiones equivalentes

La cuestión de la existencia de una línea ordinaria también se puede plantear para puntos en el plano proyectivo real RP² en lugar del plano euclidiano. El plano proyectivo se puede formar a partir del plano euclidiano agregando puntos adicionales "en el infinito" donde las líneas que son paralelas en el plano euclidiano se cruzan entre sí y al agregar una sola línea "en el infinito" que contiene todos los puntos añadidos. Sin embargo, los puntos adicionales del plano proyectivo no pueden ayudar a crear conjuntos de puntos finitos no euclidianos sin una línea ordinaria, ya que cualquier conjunto de puntos finitos en el plano proyectivo se puede transformar en un conjunto de puntos euclidianos con el mismo patrón combinatorio de incidencias de puntos y líneas.. Por lo tanto, cualquier patrón de un número finito de puntos y líneas que se cruzan que existe en uno de estos dos tipos de plano también existe en el otro. Sin embargo, el punto de vista proyectivo permite describir más fácilmente determinadas configuraciones. En particular, permite el uso de la dualidad proyectiva, en la que los roles de puntos y líneas en enunciados de geometría proyectiva pueden intercambiarse entre sí. Bajo dualidad proyectiva, la existencia de una recta ordinaria para un conjunto de puntos no colineales en RP² es equivalente a la existencia de un punto ordinario en una disposición no trivial de puntos finitamente muchas líneas. Se dice que un arreglo es trivial cuando todas sus líneas pasan por un punto común y no trivial en caso contrario; un punto ordinario es un punto que pertenece exactamente a dos rectas.

Los arreglos de líneas tienen una estructura combinatoria estrechamente conectada a zonohedra, polihedra formado como la suma de Minkowski de un conjunto finito de segmentos de línea, llamados generadores. En este sentido, cada par de caras opuestas de un zonohedron corresponde a un punto de cruce de una disposición de líneas en el plano proyectivo, con una línea para cada generador. El número de lados de cada cara es el doble del número de líneas que cruzan en el arreglo. Por ejemplo, el dodecaedro alargado es un zonohedro con cinco generadores, dos pares de caras hexagonales opuestas, y cuatro pares de caras paralelas opuestas. En el acuerdo correspondiente de cinco líneas, dos triples de líneas cruzan (correspondiendo a los dos pares de hexágonos opuestos) y los cuatro pares restantes de líneas cruzan en puntos ordinarios (correspondiendo a los cuatro pares de paralelogramas opuestos). Una declaración equivalente del teorema Sylvester-Gallai, en términos de zonohedra, es que cada zonohedro tiene al menos una cara paralelograma (contando rectángulos, rombos y cuadrados como casos especiales de paralelogramas). Más fuertemente, cada vez que los conjuntos de ${displaystyle n}$ puntos en el plano se puede garantizar que tengan al menos ${displaystyle t_{2}(n)}$ líneas ordinarias, zonohedra con ${displaystyle n}$ se puede garantizar que los generadores tengan al menos ${displaystyle 2t_{2}(n)}$ caras paralelas.

Pruebas

El teorema de Sylvester-Gallai se ha demostrado de muchas maneras diferentes. La prueba de Gallai de 1944 alterna entre la geometría euclidiana y la proyectiva, para transformar los puntos en una configuración equivalente en la que una línea ordinaria puede encontrarse como una línea de pendiente más cercana a cero; para más detalles, consulte Borwein & Moser (1990). La prueba de Melchior de 1941 utiliza la dualidad proyectiva para convertir el problema en una pregunta equivalente sobre la disposición de líneas, que puede responderse utilizando la fórmula poliédrica de Euler. Otra prueba de Leroy Milton Kelly muestra por contradicción que la línea de conexión con la distancia más pequeña distinta de cero a otro punto debe ser ordinaria. Y, siguiendo una demostración anterior de Steinberg, H. S. M. Coxeter demostró que los conceptos métricos de pendiente y distancia que aparecen en las demostraciones de Gallai y Kelly son innecesariamente poderosos, demostrando en cambio el teorema utilizando sólo los axiomas de la geometría ordenada.

La prueba de Kelly

Esta prueba es de Leroy Milton Kelly. Aigner & Ziegler (2018) lo llama "simplemente el mejor" de las muchas demostraciones de este teorema.

Supongamos que un conjunto finito ${displaystyle S.$ de puntos no es todo collinear. Definir una línea de conexión para ser una línea que contenga al menos dos puntos en la colección. Por finiteness, ${displaystyle S.$ debe tener un punto ${displaystyle P}$ y una línea de conexión ${displaystyle ell }$ que son una distancia positiva aparte pero están más cerca que todos los otros pares de línea de punto. Kelly demostró que ${displaystyle ell }$ es ordinario, por contradicción.

Supongamos que ${displaystyle ell }$ no es ordinario. Luego pasa por al menos tres puntos ${displaystyle S.$. Al menos dos de ellos están en el mismo lado ${displaystyle P'}$, la proyección perpendicular ${displaystyle P}$ on ${displaystyle ell }$. Llámalos ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$Con ${displaystyle B}$ estar más cerca ${displaystyle P'}$ (y posiblemente coincidiendo con él). Dibuja la línea de conexión ${displaystyle m}$ pasando ${displaystyle P}$ y ${displaystyle C}$y el perpendicular de ${displaystyle B}$ a ${displaystyle B'$ on ${displaystyle m}$. Entonces... ${displaystyle BB.$ es más corto que ${displaystyle PP'}$. Esto se debe al hecho de que ${displaystyle PP'C!$ y ${displaystyle BB'C.$ son triángulos similares, uno contenido dentro del otro.

Sin embargo, esto contradice la definición original de ${displaystyle P}$ y ${displaystyle ell }$ como el par punto-línea con la distancia positiva más pequeña. Así que la suposición de que ${displaystyle ell }$ no es ordinario no puede ser verdad, QED.

La prueba de Melchor

En 1941 (por lo tanto, antes de que Erdő publicara la pregunta y la prueba posterior de Gallai), Melchior demostró que cualquier disposición finita no trivial de líneas en el plano proyectivo tiene al menos tres puntos ordinarios. Por dualidad, este resultado también dice que cualquier conjunto finito no trivial de puntos en el plano tiene al menos tres rectas ordinarias.

Melchior observó que, para cualquier gráfico incrustado en el plano proyectivo real, la fórmula ${displaystyle V-E+F!$ debe ser igual ${displaystyle 1}$, la característica de Euler del plano proyectivo. Aquí. ${displaystyle V}$, ${displaystyle E}$, y ${displaystyle F}$ son el número de vértices, bordes y caras del gráfico, respectivamente. Cualquier arreglo de línea notrivial en el plano proyectivo define un gráfico en el que cada cara está ligada por al menos tres bordes, y cada borde ata dos caras; por lo tanto, el doble conteo da la desigualdad adicional ${displaystyle Fleq 2E/3}$. Usar esta desigualdad para eliminar ${displaystyle F}$ de la característica de Euler conduce a la desigualdad ${displaystyle Eleq 3V-3}$. Pero si cada vértice en el arreglo fuera el punto de cruce de tres o más líneas, entonces el número total de bordes sería al menos ${displaystyle 3V}$, contradiciendo esta desigualdad. Por lo tanto, algunos vértices deben ser el punto de cruce de sólo dos líneas, y como muestra el análisis más cuidadoso de Melchior, al menos tres vértices ordinarios son necesarios para satisfacer la desigualdad ${displaystyle Eleq 3V-3}$.

Como Aigner & Como señala Ziegler (2018), el mismo argumento a favor de la existencia de un vértice ordinario también lo dio en 1944 Norman Steenrod, quien lo aplicó explícitamente al problema de la recta ordinaria dual.

La desigualdad de Melchor

Por un argumento similar, Melchior pudo demostrar un resultado más general. Por todos ${displaystyle kgeq 2}$, vamos ${displaystyle T_{k}$ ser el número de puntos a los que ${displaystyle k}$ Las líneas son un incidente. Entonces...

${displaystyle displaystyle sum _{kgeq 2}(k-3)t_{k}leq -3.}$

o equivalentemente,

${displaystyle displaystyle t_{2}geqslant 3+sum _{kgeq 4}(k-3)t_{k}.}$

Axiomática

H. S. M. Coxeter (1948, 1969) escribe sobre la prueba de Kelly de que su uso de la distancia euclidiana es innecesariamente poderoso, "como usar un mazo para partir una almendra". En cambio, Coxeter dio otra prueba del teorema de Sylvester-Gallai dentro de la geometría ordenada, una axiomatización de la geometría en términos de intermediación que incluye no sólo la geometría euclidiana sino varias otras geometrías relacionadas. La prueba de Coxeter es una variación de una prueba anterior dada por Steinberg en 1944. El problema de encontrar un conjunto mínimo de axiomas necesarios para demostrar el teorema pertenece a la matemática inversa; véase Pambuccian (2009) para un estudio de esta cuestión.

La afirmación habitual del teorema de Sylvester-Gallai no es válida en el análisis constructivo, ya que implica el principio menos limitado de omnisciencia, una forma debilitada de la ley del tercero excluido que se rechaza como axioma de la matemática constructiva. Sin embargo, es posible formular una versión del teorema de Sylvester-Gallai que sea válida dentro de los axiomas del análisis constructivo y adaptar la demostración del teorema de Kelly para que sea una prueba válida según estos axiomas.

Encontrar una línea ordinaria

La prueba de Kelly de la existencia de una línea ordinaria se puede convertir en un algoritmo que encuentra una línea ordinaria buscando el par más cercano de un punto y una línea a través de otros dos puntos. Mukhopadhyay & Greene (2012) informan del tiempo para esta búsqueda de pago más cercana ${displaystyle O(n^{3}}$, basado en una búsqueda de fuerza bruta de todos los triples de puntos, pero un algoritmo para encontrar el punto dado más cercano a cada línea a través de dos puntos dados, en el tiempo ${displaystyle O(n^{2}}$, fue dado anteriormente por Edelsbrunner & Guibas (1989), como una subrutina para encontrar el triángulo de área mínima determinado por tres de un determinado conjunto de puntos. El mismo documento de Edelsbrunner & Guibas (1989) también muestra cómo construir el doble arreglo de líneas a los puntos dados (como se utiliza en la prueba de Melchior y Steenrod) al mismo tiempo, ${displaystyle O(n^{2}}$, desde el cual es posible identificar todos los vértices ordinarios y todas las líneas ordinarias. Mukhopadhyay, Agrawal & Hosabettu (1997) primero mostró cómo encontrar una sola línea ordinaria (no necesariamente la de la prueba de Kelly) a tiempo ${displaystyle O(nlog n)}$, y un algoritmo más simple con el mismo tiempo limitado fue descrito por Mukhopadhyay & Greene (2012).

El algoritmo de Mukhopadhyay & Greene (2012) se basa en la prueba de Coxeter utilizando geometría ordenada. Realiza los siguientes pasos:

1. Elige un punto ${displaystyle P_{0}$ que es un vértice del casco convexo de los puntos dados.
2. Construir una línea ${displaystyle ell _{0}$ que pasa ${displaystyle P_{0}$ y se queda fuera del casco convexo.
3. Ordenar los otros puntos dados por el ángulo que hacen con ${displaystyle P_{0}$, agrupando puntos que forman el mismo ángulo.
4. Si alguno de los puntos está solo en su grupo, entonces devuelve la línea ordinaria a través de ese punto y ${displaystyle P_{0}$.
5. Para cada dos grupos consecutivos de puntos, en la secuencia ordenada por sus ángulos, forman dos líneas, cada una de las cuales pasa por el punto más cercano a ${displaystyle P_{0}$ en un grupo y el punto más lejano desde ${displaystyle P_{0}$ en el otro grupo.
6. Para cada línea ${displaystyle ell _{i}$ en el conjunto de líneas formadas de esta manera, encontrar el punto de intersección ${displaystyle ell _{i}$ con ${displaystyle ell _{0}$
7. Devuelve la línea ${displaystyle ell _{i}$ cuyo punto de intersección ${displaystyle ell _{0}$ es el más cercano ${displaystyle P_{0}$.

Como demuestran los autores, la línea devuelta por este algoritmo debe ser ordinaria. La prueba es ya sea mediante la construcción si es devuelto por el paso 4, o por contradicción si es devuelto por el paso 7: si la línea devuelta en el paso 7 no fuera ordinaria, entonces los autores prueban que existiría una línea ordinaria entre uno de sus puntos y ${displaystyle P_{0}$, pero esta línea debe haber sido ya encontrado y devuelto en el paso 4.

El número de líneas ordinarias

Si bien el teorema Sylvester-Gallai afirma que un arreglo de puntos, no todos collinear, debe determinar una línea ordinaria, no dice cuántos deben ser determinados. Vamos. ${displaystyle t_{2}(n)}$ ser el número mínimo de líneas ordinarias determinadas en cada conjunto de ${displaystyle n}$ puntos no lineales. La prueba de Melchior mostró que ${displaystyle t_{2}(n)geq 3}$. de Bruijn and Erdős (1948) raised the question of whether ${displaystyle t_{2}(n)}$ enfoques infinitos con ${displaystyle n}$. Theodore Motzkin (1951) confirmó que lo hace demostrando que ${displaystyle t_{2}(n)gq {sqrt {n}}$. Gabriel Dirac (1951) conjetura que ${displaystyle t_{2}geq lfloor n/2rfloor }$, para todos los valores ${displaystyle n}$, una conjetura que aún permanece en 2013. Esto se conoce a menudo como el Conjetura de Dirac-Motzkin; véase por ejemplo Brass, Moser " Pach (2005, pág. 304). Kelly & Moser (1958) demostró que ${displaystyle t_{2}(n)geq 3n/7}$.

El límite inferior conjeturado de Dirac es asintoticamente el mejor posible, como los números ${displaystyle n}$ más de cuatro tienen un límite superior coincidente ${displaystyle t_{2}(n)leq n/2}$. La construcción, debido a Károly Böröczky, que logra este límite consiste en los vértices de un regular ${displaystyle m}$-en el plano de proyecto real y otro ${displaystyle m}$ puntos (por ejemplo, ${displaystyle n=2m}$) en la línea en infinito correspondiente a cada una de las direcciones determinadas por pares de vértices. Aunque hay ${displaystyle m(m-1)/2}$ pares de estos puntos, determinan sólo ${displaystyle m}$ direcciones distintas. Este arreglo sólo tiene ${displaystyle m}$ líneas ordinarias, las líneas que conectan un vértice ${displaystyle v}$ con el punto en infinity collinear con los dos vecinos ${displaystyle v}$. Al igual que con cualquier configuración finita en el plano proyector real, esta construcción puede ser perturbiada para que todos los puntos sean finitos, sin cambiar el número de líneas ordinarias.

Por extraño ${displaystyle n}$, sólo dos ejemplos son conocidos que coinciden con la baja conjetura de Dirac, es decir, con ${displaystyle t_{2}(n)=(n-1)/2}$ Un ejemplo, por Kelly & Moser (1958), consiste en los vértices, puntos intermedios de borde y centroide de un triángulo equilátero; estos siete puntos determinan sólo tres líneas ordinarias. La configuración en la que estas tres líneas ordinarias son reemplazadas por una sola línea no se puede realizar en el plano Euclideano, pero forma un espacio proyector finito conocido como el plano Fano. Debido a esta conexión, el ejemplo Kelly-Moser también se ha llamado la configuración no-Fano. El otro contraejemplo, debido a McKee, consta de dos pentágonos regulares unidos con el punto medio del borde compartido y cuatro puntos en la línea en el infinito en el plano proyectivo; estos 13 puntos tienen entre ellos 6 líneas ordinarias. Modificaciones de la construcción de Böröczky conducen a conjuntos de números impares con ${displaystyle 3lfloor n/4rfloor}$ líneas ordinarias.

Csima " Sawyer (1993) demostró que ${displaystyle t_{2}(n)geq lceil 6n/13rceil }$ excepto cuando ${displaystyle n}$ son siete. Asintotically, this formula is already ${displaystyle 12/13approx 92.3$ de la prueba ${displaystyle n/2}$ superior. El ${displaystyle n=7}$ caso es una excepción porque de lo contrario la construcción de Kelly-Moser sería un contraejemplo; su construcción muestra que ${displaystyle t(7)leq 3}$. Sin embargo, el Csima-Sawyer era válido para ${displaystyle n=7}$, reclamaría que ${displaystyle t_{2}(7)geq 4}$.

Un resultado estrechamente relacionado es el teorema de Beck, que establece un equilibrio entre el número de líneas con pocos puntos y el número de puntos en una sola línea.

Ben Green y Terence Tao mostraron que para todos los conjuntos de puntos suficientemente grandes (es decir, ${displaystyle - No.$ para una elección adecuada de ${displaystyle No.$), el número de líneas ordinarias es por lo menos ${displaystyle n/2}$. Además, cuando ${displaystyle n}$ es extraño, el número de líneas ordinarias es al menos ${displaystyle 3n/4-C}$, para alguna constante ${displaystyle C}$. Por lo tanto, las construcciones de Böröczky para incluso y extraño (discutido arriba) son mejores posibles. Minimizar el número de líneas ordinarias está estrechamente relacionado con el problema de plantación de huertos de maximizar el número de líneas de tres puntos, que Green y Tao también resolveron para todos los conjuntos de puntos suficientemente grandes. En el marco dual, donde se busca puntos ordinarios, se puede considerar el número mínimo de puntos ordinarios en un arreglo de pseudolíneas. En este contexto, el Csima-Sawyer ${displaystyle lceil 6n/13rceil }$ menor límite es todavía válido, aunque no se sabe si el verde y Tao asintotico ${displaystyle n/2}$ El límite todavía se mantiene.

El número de líneas de conexión

Como observó Paul Erdős, el teorema Sylvester-Gallai inmediatamente implica que cualquier conjunto de ${displaystyle n}$ puntos que no son collinear determina al menos ${displaystyle n}$ diferentes líneas. Este resultado es conocido como De Bruijn–Erdős theorem. Como caso de base, el resultado es claramente verdadero ${displaystyle n=3}$. Para cualquier valor mayor ${displaystyle n}$, el resultado puede reducirse ${displaystyle n}$ puntos ${displaystyle n-1}$ puntos, eliminando una línea ordinaria y uno de los dos puntos en ella (teniéndose cuidado de no eliminar un punto para el cual el subconjunto restante se quedaría en una sola línea). Así, sigue por inducción matemática. El ejemplo de un casi-pencil, un conjunto de ${displaystyle n-1}$ puntos collinear junto con un punto adicional que no está en la misma línea que los otros puntos, muestra que este límite es apretado.

Generalizaciones

El teorema de Sylvester-Gallai se ha generalizado a conjuntos de puntos coloreados en el plano euclidiano y a sistemas de puntos y líneas definidos algebraicamente o por distancias en un espacio métrico. En general, estas variaciones del teorema consideran sólo conjuntos finitos de puntos, para evitar ejemplos como el conjunto de todos los puntos en el plano euclidiano, que no tiene una recta ordinaria.

Puntos de colores

Una variación del problema de Sylvester, planteado a mediados de la década de 1960 por Ronald Graham y popularizado por Donald J. Newman, considera conjuntos planos finitos de puntos (no todos en una línea) a los que se les dan dos colores, y pregunta si cada conjunto de estos tiene una línea que pasa por dos o más puntos que sean todos del mismo color. En el lenguaje de conjuntos y familias de conjuntos, una afirmación equivalente es que la familia de los subconjuntos colineales de un conjunto de puntos finitos (no todos en una línea) no puede tener la Propiedad B. Theodore Motzkin anunció una prueba de esta variación, pero nunca publicado; la primera prueba publicada fue la de Chakerian (1970).

Coordenadas no reales

Así como el plano euclidiano o el plano proyectivo se pueden definir utilizando números reales para las coordenadas de sus puntos (coordenadas cartesianas para el plano euclidiano y coordenadas homogéneas para el plano proyectivo), se pueden definir sistemas abstractos análogos de puntos y rectas. utilizando otros sistemas numéricos como coordenadas. El teorema de Sylvester-Gallai no se cumple para geometrías definidas de esta manera en campos finitos: para algunas geometrías finitas definidas de esta manera, como el plano de Fano, el conjunto de todos los puntos de la geometría no tiene líneas ordinarias.

El teorema de Sylvester-Gallai tampoco se aplica directamente a geometrías en las que los puntos tienen coordenadas que son pares de números complejos o cuaterniones, pero estas geometrías tienen análogos más complicados del teorema. Por ejemplo, en el plano proyectivo complejo existe una configuración de nueve puntos, la configuración de Hesse (los puntos de inflexión de una curva cúbica), en la que cada línea es no ordinaria, violando el teorema de Sylvester-Gallai. Esta configuración se conoce como configuración de Sylvester-Gallai y no puede realizarse mediante puntos y líneas del plano euclidiano. Otra forma de enunciar el teorema de Sylvester-Gallai es que siempre que los puntos de una configuración de Sylvester-Gallai están incrustados en un espacio euclidiano, preservando las colinealidades, todos los puntos deben estar en una sola línea, y el ejemplo de la configuración de Hesse muestra que esto es falso para el plano proyectivo complejo. Sin embargo, Kelly (1986) demostró un análogo de números complejos del teorema de Sylvester-Gallai: siempre que los puntos de una configuración de Sylvester-Gallai están incrustados en un espacio proyectivo complejo, todos los puntos deben estar en un subespacio bidimensional. De manera equivalente, un conjunto de puntos en un espacio complejo tridimensional cuyo casco afín es el espacio completo debe tener una línea ordinaria y, de hecho, debe tener un número lineal de líneas ordinarias. Del mismo modo, Elkies, Pretorius & Swanepoel (2006) demostró que siempre que una configuración de Sylvester-Gallai está incrustada en un espacio definido sobre los cuaterniones, sus puntos deben estar en un subespacio tridimensional.

Matroides

Cada conjunto de puntos en el plano Euclideano, y las líneas que los conectan, pueden ser abstraídos como los elementos y planos de un matroide orientado a rango-3. Los puntos y líneas de las geometrías se definen utilizando otros sistemas de números que los números reales también forman matroides, pero no necesariamente los matroides orientados. En este contexto, el resultado de Kelly & Moser (1958) que reduce el número de líneas ordinarias se puede generalizar a los matroides orientados hacia la orientación: cada matroide orientado a rango-3 con ${displaystyle n}$ por lo menos ${displaystyle 3n/7}$ líneas de dos puntos, o equivalentemente cada esteroide de rango-3 con menos líneas de dos puntos debe ser no conveniente. Un materoide sin ninguna línea de dos puntos se llama Sylvester matroid. Relatedly, la configuración Kelly-Moser con siete puntos y sólo tres líneas ordinarias forma uno de los menores prohibidos para los esteroides representados por GF(4).

Geometría de distancia

Chvátal (2004) conjeturó otra generalización del teorema de Sylvester-Gallai a espacios métricos arbitrarios y la demostró Chen (2006). En esta generalización, un triple de puntos en un espacio métrico se define como colineal cuando la desigualdad del triángulo para estos puntos es una igualdad, y una línea se define a partir de cualquier par de puntos incluyendo repetidamente puntos adicionales que son colineales con puntos ya agregados. a la línea, hasta que no se puedan agregar más puntos de este tipo. La generalización de Chvátal y Chen establece que todo espacio métrico finito tiene una línea que contiene todos los puntos o exactamente dos de los puntos.