Teorema de sardo

En matemáticas, el teorema de Sard, también conocido como lema de Sard o teorema de Morse-Sard, es un resultado del análisis matemático que afirma que el conjunto de valores críticos (es decir, la imagen del conjunto de puntos críticos) de una función suave f de un espacio o variedad euclidiana a otro es nulo conjunto, es decir, tiene medida de Lebesgue 0. Esto hace que el conjunto de valores críticos sea "pequeño"; en el sentido de una propiedad genérica. El teorema lleva el nombre de Anthony Morse y Arthur Sard.

Declaración

Más explícitamente, dejemos

f:: Rn→ → Rm{displaystyle fcolon mathbb {R} {fn}derech}mathbb {R}

Ser Ck{displaystyle C^{k}, (eso es, k{displaystyle k} tiempos continuamente diferentes, donde k≥ ≥ max{}n− − m+1,1}{displaystyle kgeq max{n-m+1,1}. Vamos. X⊂ ⊂ Rn{displaystyle Xsubset mathbb {R} {fn} denota el Conjunto crítico de f,{displaystyle f,} que es el conjunto de puntos x▪ ▪ Rn{displaystyle xin mathbb {R} {fn} en la cual la matriz jacobi f{displaystyle f} tiene rango <math alttext="{displaystyle c)m{displaystyle]<img alt="{displaystyle . Entonces la imagen f()X){displaystyle f(X)} Lebesgue medida 0 en Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m}}.

Intuitivamente hablando, esto significa que aunque X{displaystyle X} puede ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la medida Lebesgue: mientras f{displaystyle f} puede tener muchos críticos puntos en el dominio Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}, debe tener pocos críticos valores en la imagen Rm{displaystyle mathbb {R} {} {m}}.

Más generalmente, el resultado también tiene para mapear entre los diferentes manifolds M{displaystyle M} y N{displaystyle N} de dimensiones m{displaystyle m} y n{displaystyle n}, respectivamente. El conjunto crítico X{displaystyle X} of a Ck{displaystyle C^{k} función

f:N→ → M{displaystyle f:Nrightarrow M.

consiste en aquellos puntos en los que el diferencial

df:TN→ → TM{displaystyle df:TNrightarrow TM}

tiene rango inferior a m{displaystyle m} como una transformación lineal. Si k≥ ≥ max{}n− − m+1,1}{displaystyle kgeq max{n-m+1,1}, entonces el teorema de Sard afirma que la imagen X{displaystyle X} ha medido cero como subconjunto M{displaystyle M}. Esta formulación del resultado se deriva de la versión para los espacios de Euclidean tomando un conjunto contable de parches de coordenadas. La conclusión del teorema es una declaración local, ya que una unión contable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de un subconjunto de un parche de coordenadas con medida cero es invariante bajo la diffeomorfismo.

Variantes

Hay muchas variantes de esta lema, que juega un papel básico en la teoría de la singularidad entre otros campos. El caso m=1{displaystyle m=1} fue probado por Anthony P. Morse en 1939, y el caso general de Arthur Sard en 1942.

Stephen Smale probó una versión para variedades de Banach de dimensión infinita.

La afirmación es bastante poderosa y la prueba implica análisis. En topología se cita a menudo (como en el teorema del punto fijo de Brouwer y algunas aplicaciones de la teoría de Morse) para demostrar el corolario más débil de que “una aplicación suave no constante tiene al menos un valor regular ”.

En 1965 Sard generalizó aún más su teorema para decir que si f:N→ → M{displaystyle f:Nrightarrow M. es Ck{displaystyle C^{k} para k≥ ≥ max{}n− − m+1,1}{displaystyle kgeq max{n-m+1,1} y si Ar⊆ ⊆ N{displaystyle A_{r}subseteq N. es el conjunto de puntos x▪ ▪ N{displaystyle xin N} tales que dfx{displaystyle df_{x} tiene rango estrictamente inferior a r{displaystyle r}, entonces el r-dimensional Medida Hausdorff f()Ar){displaystyle f(A_{r})} es cero. En particular la dimensión Hausdorff f()Ar){displaystyle f(A_{r})} es en la mayoría r. Caveat: La dimensión Hausdorff de f()Ar){displaystyle f(A_{r})} puede estar arbitrariamente cerca r.