Teorema de Routh-Hurwitz

En matemáticas, el teorema de Routh-Hurwitz ofrece una prueba para determinar si todas las raíces de un polinomio dado se encuentran en el semiplano izquierdo. Los polinomios con esta propiedad se denominan polinomios estables de Hurwitz. El teorema de Routh-Hurwitz es importante en sistemas dinámicos y teoría de control, porque el polinomio característico de las ecuaciones diferenciales de un sistema lineal estable tiene raíces limitadas al semiplano izquierdo (valores propios negativos). Por tanto, el teorema proporciona una prueba matemática, el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, para determinar si un sistema dinámico lineal es estable sin resolver el sistema. El teorema de Routh-Hurwitz se demostró en 1895 y lleva el nombre de Edward John Routh y Adolf Hurwitz.

Notaciones

Sea f(z) un polinomio (con coeficientes complejos) de grado n sin raíces en el eje imaginario (es decir, la línea z = ic donde i es la unidad imaginaria y c es un número real). Definamos polinomios reales P₀(y) y P₁(y) por f( iy) = P₀(y) + iP₁(y), respectivamente las partes real e imaginaria de f en la línea imaginaria.

Además, denotemos por:

• p el número de raíces f en el medio plano izquierdo (teniendo en cuenta las multiplicidades);
• q el número de raíces f en el medio plano adecuado (teniendo en cuenta las multiplicidades);
• Δ arg f()i) la variación del argumento de f()i) cuando Sí. de carreras JUEGO a +;
• w()x) es el número de variaciones de la cadena Sturm generalizada obtenida de P₀()Sí.) y P₁()Sí.) aplicando el algoritmo euclidiano;
• I⁺
  _JUEGO r es el índice Cauchy de la función racional r sobre la línea real.

Declaración

Con las notaciones introducidas anteriormente, el teorema de Routh-Hurwitz establece que:

p− − q=1π π Δ Δ arg⁡ ⁡ f()iSí.)={}+I− − JUEGO JUEGO +JUEGO JUEGO P0()Sí.)P1()Sí.)para un grado extraño− − I− − JUEGO JUEGO +JUEGO JUEGO P1()Sí.)P0()Sí.)hasta grado}=w()+JUEGO JUEGO )− − w()− − JUEGO JUEGO ).{displaystyle p-q={frac {1}{pi Delta arg f(iy)=left.{begin{cases}+I_{-infty {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {fnMicrosoft}} {f}f}}}}}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}fnun}f}f}f}f}f}f}fnun}fnun}f}fnun}fnun} {fnun}fnun}fnun} {fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}}fnun}f}f}fn

De la primera igualdad podemos, por ejemplo, concluir que cuando la variación del argumento de f(iy) es positivo, entonces f(z) tendrá más raíces a la izquierda del eje imaginario que a su derecha. La igualdad p − q = w(+∞) − w( −∞) puede verse como la contraparte compleja del teorema de Sturm. Tenga en cuenta las diferencias: en el teorema de Sturm, el miembro izquierdo es p + q y el w del miembro derecho es el número de variaciones de una cadena Sturm (mientras que w se refiere a una cadena de Sturm generalizada en el presente teorema).

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

Podemos determinar fácilmente un criterio de estabilidad usando este teorema, ya que es trivial que f(z) sea Hurwitz. -estable si y sólo si p − q = n. Obtenemos así condiciones sobre los coeficientes de f(z) imponiendo w(+∞) = n y w(−∞) = 0 .