Teorema de rolle

Si una función de valor real f es continuo en un intervalo cerrado [a, b], diferenciable en el intervalo abierto ()a, b), y f()a) f()b), entonces existe c en el intervalo abierto ()a, b) tales que f.c) = 0.

En cálculo, el teorema de Rolle o lema de Rolle establece esencialmente que cualquier función diferenciable de valor real que alcanza valores iguales en dos puntos distintos debe tener al menos un punto estacionario en algún lugar entre ellos, es decir, un punto donde la primera derivada (la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función) es cero. El teorema lleva el nombre de Michel Rolle.

Versión estándar del teorema

Si una función de valor real f es continua en un intervalo cerrado adecuado [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y f (a) = f (b ), entonces existe al menos una c en el intervalo abierto (a, b) tal que

f.()c)=0.{displaystyle f'(c)=0.}

Esta versión del teorema de Rolle se usa para probar el teorema del valor medio, del cual el teorema de Rolle es, de hecho, un caso especial. También es la base para la demostración del teorema de Taylor.

Historia

Aunque el teorema lleva el nombre de Michel Rolle, la demostración de Rolle de 1691 cubría solo el caso de las funciones polinómicas. Su demostración no utilizó los métodos del cálculo diferencial, que en ese momento de su vida consideraba falaces. El teorema fue demostrado por primera vez por Cauchy en 1823 como corolario de una prueba del teorema del valor medio. El nombre "Teorema de Rolle" Fue utilizado por primera vez por Moritz Wilhelm Drobisch de Alemania en 1834 y por Giusto Bellavitis de Italia en 1846.

Ejemplos

Primer ejemplo

A semicírculo de radio r.

Para un radio r > 0, considere la función

f()x)=r2− − x2,x▪ ▪ [− − r,r].{displaystyle f(x)={sqrt {2}-x^{2}}quad xin [-r,r].}

Su gráfico es el semicírculo superior centrado en el origen. Esta función es continua en el intervalo cerrado [−r, r] y diferenciable en el intervalo abierto (−r, r), pero no diferenciable en los extremos −r y r. Dado que f (−r) = f (r), se aplica el teorema de Rolle y, de hecho, hay un punto en el que la derivada de f es cero. El teorema se aplica incluso cuando la función no se puede diferenciar en los extremos porque solo requiere que la función sea diferenciable en el intervalo abierto.

Segundo ejemplo

El gráfico de la función de valor absoluto.

Si la diferenciabilidad falla en un punto interior del intervalo, es posible que la conclusión del teorema de Rolle no se cumpla. Considere la función de valor absoluto

f()x)=SilencioxSilencio,x▪ ▪ [− − 1,1].{displaystyle f(x)=vivirx,qquad xin [-1,1].}

Entonces f (−1) = f (1), pero no hay c entre −1 y 1 para el cual f ′(c) es cero. Esto se debe a que esa función, aunque continua, no es diferenciable en x = 0. La derivada de f cambia su signo en x = 0, pero sin alcanzar el valor 0. El teorema no se puede aplicar a esta función porque no cumple la condición de que la función debe ser diferenciable para cada x en el intervalo abierto. Sin embargo, cuando se elimina el requisito de diferenciabilidad del teorema de Rolle, f seguirá teniendo un número crítico en el intervalo abierto (a, b), pero puede que no produzca una tangente horizontal (como en el caso del valor absoluto representado en el gráfico).

Generalización

El segundo ejemplo ilustra la siguiente generalización del teorema de Rolle:

Considere una función continua de valor real f en un intervalo cerrado [a, b] con f (a) = f (b). Si para cada x en el intervalo abierto (a, b) el límite de la mano derecha

f.()x+):=limh→ → 0+f()x+h)− − f()x)h{displaystyle f'(x^{+}):=lim _{hto 0^{+}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} {f}}

f.()x− − ):=limh→ → 0− − f()x+h)− − f()x)h{displaystyle f'(x^{-}):=lim _{hto 0^{-}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} {f}}

existe en la línea real extendida [−∞, ∞], entonces hay algún número c en el intervalo abierto (a, b) tal que uno de los dos límites

f.()c+)yf.()c− − ){displaystyle f'(c^{+})quad {text{and}quad f'(c^{-}}}

Observaciones

• Si f es convex o concave, entonces los derivados de la derecha y la izquierda existen en cada punto interior, por lo que los límites anteriores existen y son números reales.
• Esta versión generalizada del teorema es suficiente para demostrar la convexidad cuando los derivados unilaterales aumentan monotonicamente:
  <math alttext="{displaystyle f'(x^{-})leq f'(x^{+})leq f'(y^{-}),qquad xf.()x− − )≤ ≤ f.()x+)≤ ≤ f.()Sí.− − ),x.Sí..{displaystyle f'(x^{-})leq f'(x^{+})leq f'(y^{-}),qquad x secunday.}

  <img alt="{displaystyle f'(x^{-})leq f'(x^{+})leq f'(y^{-}),qquad x

Prueba de la versión generalizada

Dado que la demostración de la versión estándar del teorema de Rolle y la generalización son muy similares, demostramos la generalización.

La idea de la prueba es argumentar que si f (a) = f (b), entonces f debe alcanzar un máximo o un mínimo en algún lugar entre a y b, digamos en c, y la función debe cambiar de creciente a decreciente (o viceversa) en c. En particular, si existe la derivada, debe ser cero en c.

Por suposición, f es continua en [a, b], y por el teorema del valor extremo alcanza tanto su máximo como su mínimo en [a, b]. Si ambos se alcanzan en los extremos de [a, b], entonces f es constante en [a, b] y así la derivada de f es cero en cada punto de (a, b).

Supongamos entonces que el máximo se obtiene en un punto interior c de (a, b) (el argumento para el mínimo es muy similar, solo considere −f ). Examinaremos por separado los límites derecho e izquierdo anteriores.

Para una h tal que c + h está en [a, b], el valor f (c + h) es menor o igual a f (c) porque f alcanza su máximo en c. Por lo tanto, para cada h > 0,

f()c+h)− − f()c)h≤ ≤ 0,{displaystyle {frac {f(c+h)-f(c)}{h}leq 0,}

f.()c+):=limh→ → 0+f()c+h)− − f()c)h≤ ≤ 0,{displaystyle f'(c^{+}):=lim _{hto 0^{+}{frac {f(c+h)-f(c)}{h}leq 0,}

Del mismo modo, para cada h < 0, la desigualdad se invierte porque el denominador ahora es negativo y obtenemos

f()c+h)− − f()c)h≥ ≥ 0,{displaystyle {frac {f(c+h)-f(c)}{h}geq 0,}

f.()c− − ):=limh→ → 0− − f()c+h)− − f()c)h≥ ≥ 0,{displaystyle f'(c^{-}):=lim _{hto 0^{-}{frac {f(c+h)-f(c)}{h}geq 0,}

Finalmente, cuando los límites de arriba a la derecha y a la izquierda concuerdan (en particular cuando f es diferenciable), entonces el derivada de f en c debe ser cero.

(Alternativamente, podemos aplicar directamente el teorema del punto estacionario de Fermat).

Generalización a derivadas superiores

También podemos generalizar el teorema de Rolle requiriendo que f tenga más puntos con valores iguales y mayor regularidad. Específicamente, supongamos que

• la función f es n − 1 tiempos continuamente diferenciables en el intervalo cerrado [a, b] y el nth derivativo existe en el intervalo abierto ()a, b), y
• hay n intervalos dados por a₁. b₁ ≤ a₂. b₂ ≤ ≤ ≤ a_n. b_n dentro [a, b] tales que f()a_k) f()b_k) para todos k de 1 a 1 n.

Entonces hay un número c en (a, b) tal que la nésima derivada de f en c es cero.

La curva roja es el gráfico de la función con 3 raíces en el intervalo [3, - 2]. Así su segundo derivado (grafiado en verde) también tiene una raíz en el mismo intervalo.

Los requisitos relativos a la nésima derivada de f se puede debilitar como en la generalización anterior, dando las aserciones correspondientes (posiblemente más débiles) para los límites derecho e izquierdo definidos anteriormente con f ^{(n − 1)} en lugar de f.

En particular, esta versión del teorema afirma que si una función diferenciable suficientes veces tiene n raíces (entonces tienen las mismas valor, que es 0), entonces hay un punto interno donde f ^{(n − 1)} desaparece.

Prueba

La prueba usa inducción matemática. El caso n = 1 es simplemente la versión estándar del teorema de Rolle. Para n > 1, tome como hipótesis de inducción que la generalización es verdadera para n − 1. Queremos probarlo para n. Suponga que la función f satisface las hipótesis del teorema. Según la versión estándar del teorema de Rolle, para cada número entero k de 1 a n, existe un c_k en el intervalo abierto (a_k, b_k) tal que f ′(c_k) = 0. Por lo tanto, la primera derivada satisface las suposiciones sobre los n − 1 intervalos cerrados [c₁, c₂], …, [c_{n − 1}, c_n]. Por la hipótesis de inducción, existe una c tal que (n − 1)primera derivada de f ′ en c es cero.

Generalizaciones a otros campos

El teorema de Rolle es una propiedad de las funciones diferenciables sobre los números reales, que son un cuerpo ordenado. Como tal, no se generaliza a otros campos, pero el siguiente corolario sí lo hace: si un polinomio real se factoriza (tiene todas sus raíces) sobre los números reales, entonces su derivada también lo hace. Se puede llamar a esta propiedad de un campo propiedad de Rolle. Los campos más generales no siempre tienen funciones diferenciables, pero siempre tienen polinomios, que pueden diferenciarse simbólicamente. De manera similar, los campos más generales pueden no tener un orden, pero uno tiene la noción de una raíz de un polinomio que se encuentra en un campo.

Por lo tanto, el teorema de Rolle muestra que los números reales tienen la propiedad de Rolle. Cualquier campo algebraicamente cerrado como los números complejos tiene la propiedad de Rolle. Sin embargo, los números racionales no, por ejemplo, x³ − x = x(x − 1)(x + 1) factores sobre los racionales, pero su derivada,

3x2− − 1=3()x− − 13)()x+13),{displaystyle 3x^{2}-1=3left(x-{tfrac {1}{sqrt {3}}}right)left(x+{tfrac {1}{sqrt {3}}right),}}}}}}}

Para una versión compleja, consulte el índice de Voorhoeve.