Teorema de ribet

El teorema de Ribet (anteriormente llamado conjetura de épsilon o conjetura ε) es parte de la teoría de números. Se trata de propiedades de las representaciones de Galois asociadas con formas modulares. Fue propuesto por Jean-Pierre Serre y probado por Ken Ribet. La demostración fue un paso significativo hacia la demostración del último teorema de Fermat (FLT). Como lo muestran Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuyo estado no estaba resuelto en ese momento) y la conjetura épsilon juntas implican que FLT es verdadera.

En términos matemáticos, el teorema de Ribet muestra que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades, entonces esa curva no puede ser modular (en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación).

Declaración

Sea f una nueva forma de peso 2 en Γ₀(qN) – es decir, del nivel qN donde q no divide a N – con un mod bidimensional absolutamente irreducible p Representación de Galois ρ_f,p sin ramificar en q si q ≠ p y plano finito en q = p. Entonces existe una nueva forma de peso 2 g de nivel N tal eso

*** *** f,p≃ ≃ *** *** g,p.{displaystyle rho _{f,p}simeq rho _{g, P}

En particular, si E es una curva elíptica sobre Q{displaystyle mathbb {Q} con conductor qN, entonces el teorema de modularidad garantiza que existe un peso 2 nuevoforma f nivel qN tal que el mod 2-dimensional p Representación de Galois ***_{f, p} de f es isomorfo al mod 2-dimensional p Representación de Galois ***_{E, p} de E. Para aplicar el teorema de Ribet ***_{E, p}, basta comprobar la irreducibilidad y ramificación de ***_{E, p}. Usando la teoría de la curva Tate, se puede probar que ***_{E, p} no está preparado q ل p y finito piso en q = p si p divide el poder al cual q aparece en el mínimo discriminante Δ_E. Entonces el teorema de Ribet implica que existe una nueva forma de peso 2 g nivel N tales que ***_{g, p} . ***_{E, p}.

Bajada de nivel

El teorema de Ribet establece que comenzando con una curva elíptica E del conductor qN no garantiza la existencia de una curva elíptica E′ de nivel N tal que ρ_{E, p} ≈ ρ_{E′, p}. La nueva forma g del nivel N puede no tener coeficientes racionales de Fourier , y por lo tanto puede estar asociado a una variedad abeliana de dimensiones superiores, no a una curva elíptica. Por ejemplo, la curva elíptica 4171a1 en la base de datos de Cremona dada por la ecuación

E:Sí.2+xSí.+Sí.=x3− − 663204x+206441595{displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595}

con conductor 43 × 97 y discriminante 43⁷ × 97³ no baja el nivel del mod 7 a una curva elíptica del conductor 97. Más bien, la representación del mod p Galois es isomorfa al mod p Representación de Galois de una nueva forma irracional g de nivel 97.

Sin embargo, para p es lo suficientemente grande en comparación con el nivel N de la nueva forma de nivel reducido, una nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica) debe bajar de nivel a otra nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica). En particular para p ≫ N^N1+ε, la representación mod p Galois de una nueva forma racional no puede ser isomorfa a una nueva forma irracional de nivel N.

Del mismo modo, la conjetura de Frey-Mazur predice que para p suficientemente grande (independiente del conductor N), curvas elípticas con mod isomórfico p Las representaciones de Galois son de hecho isógenas y, por tanto, tienen el mismo conductor. . Por lo tanto, no se prevé que se produzca una reducción de nivel no trivial entre nuevas formas racionales para p (p > 17) grandes. .

Historia

En su tesis, Yves Hellegouarch [fr] originó la idea de asociar soluciones (a,b,c) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático diferente: una curva elíptica. Si p es un primo impar y a, b y c son números enteros positivos tales que

ap+bp=cp,{displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}

entonces una correspondiente La curva frey es una curva algebraica dada por la ecuación

Sí.2=x()x− − ap)()x+bp).{displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}).

Esta es una curva algebraica no singular del género uno definido sobre Q{displaystyle mathbb {Q}, y su terminación proyectiva es una curva elíptica sobre Q{displaystyle mathbb {Q}.

En 1982 Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva, ahora llamada curva Frey. Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama mostrando que un contraejemplo a FLT crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo considerable interés cuando Frey sugirió que la conjetura Taniyama-Shimura implica FLT. Sin embargo, su argumento no fue completo. En 1985 Jean-Pierre Serre propuso que una curva Frey no podía ser modular y proporcionar una prueba parcial. Esto mostró que una prueba del caso semiestable de la conjetura Taniyama-Shimura implicaría FLT. Serre no proporcionó una prueba completa y el bit perdido se conoció como la conjetura epsilon o ε-conjetura. En el verano de 1986, Kenneth Alan Ribet demostró la conjetura epsilon, demostrando así que el teorema de Modularidad implicó FLT.

El origen del nombre es de la parte ε de "Taniyama-Shimura conjetura + ε ⇒ Fermat último teorema".

Implicaciones

Supongamos que la ecuación de Fermat con exponente p ≥ 5 tenía una solución en los enteros no cero a, b, c. La curva correspondiente de Frey E_a^p,b^p,c^p es una curva elíptica cuya mínima discriminación Δ es igual a 2⁻⁸ ()abc)^2p y cuyo director N es el radical abc, es decir, el producto de todas las primas diferenciadas dividiendo abc. Una consideración elemental de la ecuación a^p + b^p = c^p, deja claro que uno de a, b, c es incluso y por lo tanto N. Por la conjetura Taniyama-Shimura, E es una curva elíptica modular. Desde todos los primitivos divisorios a, b, c dentro N aparece a pT poder en el mínimo discriminante Δ, por el modulo de descenso repetitivo del teorema de Ribet p rayas todas las primas extrañas del conductor. Sin embargo, no quedan nuevas formas del nivel 2 porque el género de la curva modular X₀2) es cero (y nuevas formas de nivel N son diferenciales en X₀()N).