Teorema de Picard-Lindelöf

En matemáticas, específicamente en el estudio de ecuaciones diferenciales, el teorema de Picard-Lindelöf proporciona un conjunto de condiciones bajo las cuales un problema con valor inicial tiene una solución única. También se conoce como teorema de existencia de Picard, teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad.

El teorema lleva el nombre de Émile Picard, Ernst Lindelöf, Rudolf Lipschitz y Augustin-Louis Cauchy.

Teorema

Vamos. D⊆ ⊆ R× × Rn{displaystyle Dsubseteq mathbb {R} times mathbb {R} {n} ser un rectángulo cerrado con ()t0,Sí.0)▪ ▪ int⁡ ⁡ D{displaystyle (t_{0},y_{0})in operatorname {int} D}, el interior de D{displaystyle D}. Vamos. f:D→ → Rn{displaystyle f:Dto mathbb {R} {fn} ser una función que es continua en t{displaystyle t} y Lipschitz continuo en Sí.{displaystyle y} (con Lipschitz constante independiente de t{displaystyle t}). Entonces, hay algunos ε ■ 0 tal que el problema del valor inicial

Sí..()t)=f()t,Sí.()t)),Sí.()t0)=Sí.0.{displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),qquad y(t_{0}=y_{0}.}

tiene una solución única Sí.()t){displaystyle y(t)} en el intervalo [t0− − ε ε ,t0+ε ε ]{displaystyle [t_{0}-varepsilont_{0}+varepsilon].

Boceto de prueba

La prueba se basa en transformar la ecuación diferencial y aplicar el teorema del punto fijo de Banach. Al integrar ambos lados, cualquier función que satisfaga la ecuación diferencial también debe satisfacer la ecuación integral

Sí.()t)− − Sí.()t0)=∫ ∫ t0tf()s,Sí.()s))ds.{displaystyle y(t)-y(t_{0}=int ¿Por qué?

Una prueba simple de la existencia de la solución se obtiene mediante aproximaciones sucesivas. En este contexto, el método se conoce como iteración Picard.

Establecer

φ φ 0()t)=Sí.0{displaystyle varphi _{0}(t)=y_{0}

y

φ φ k+1()t)=Sí.0+∫ ∫ t0tf()s,φ φ k()s))ds.{displaystyle varphi _{k+1}(t)=y_{0}+int ¿Por qué?

Entonces se puede demostrar, utilizando el teorema del punto fijo de Banach, que la secuencia de "Picard itera" φ_k es convergente y que el límite es una solución al problema. Una aplicación del lema de Grönwall a |φ(t) − ψ( t)|, donde φ y ψ son dos soluciones, muestra que φ(t) = ψ(t), demostrando así la unicidad global (la unicidad local es consecuencia de la unicidad del punto fijo de Banach).

Consulte el método de aproximación sucesiva de Newton para obtener instrucciones.

Ejemplo de iteración de Picard

Vamos. Sí.()t)=#⁡ ⁡ ()t),{displaystyle y(t)=tan(t),} la solución a la ecuación Sí..()t)=1+Sí.()t)2{displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2} con condición inicial Sí.()t0)=Sí.0=0,t0=0.{displaystyle y(t_{0}=y,t_{0}=0.} Empezando con φ φ 0()t)=0,{displaystyle varphi _{0}(t)=0,} nosotros iterate

φ φ k+1()t)=∫ ∫ 0t()1+()φ φ k()s))2)ds{displaystyle varphi _{k+1}(t)=int _{0}{t}(1+(varphi _{k}(s) )^{2}

así φ φ n()t)→ → Sí.()t){displaystyle varphi _{n}(t)to y(t)}:

φ φ 1()t)=∫ ∫ 0t()1+02)ds=t{displaystyle varphi _{1}(t)=int _{0} {t}(1+0^{2}),ds=t}

φ φ 2()t)=∫ ∫ 0t()1+s2)ds=t+t33{displaystyle varphi _{2}(t)=int _{0}{t}(1+s^{2}),ds=t+{frac {}} {}} {}} {}}} {}}} {}}}}} {}}}} {}}}} {}}}} {}} {}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

φ φ 3()t)=∫ ∫ 0t()1+()s+s33)2)ds=t+t33+2t515+t763{displaystyle varphi _{3}(t)=int ¿Por qué? {fnK}} {fnMicroc} {2t^{5}{15}+{frac} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}} {fn}} {}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}

y así sucesivamente. Evidentemente, las funciones están computando la expansión de la serie Taylor de nuestra solución conocida Sí.=#⁡ ⁡ ()t).{displaystyle y=tan(t). } Desde #{displaystyle tan } tiene postes en ± ± π π 2,{displaystyle pm {tfrac {pi}{2}} esto converge hacia una solución local sólo para <math alttext="{displaystyle |t|SilenciotSilencioc)π π 2,{displaystyle TENEDIDOS EN SUPERIORES {fnMicroc}{2}}}<img alt="{displaystyle |t| no en todos R{displaystyle mathbb {R}.

Ejemplo de no unidad

Para entender la singularidad de las soluciones, considere los siguientes ejemplos. Una ecuación diferencial puede poseer un punto estacionario. Por ejemplo, para la ecuación dy/♪ = ay ()<math alttext="{displaystyle aac)0{displaystyle a won0}<img alt="{displaystyle a), la solución estacionaria es Sí.()t) = 0, que se obtiene para la condición inicial Sí.(0) = 0. Comenzando con otra condición inicial Sí.(0) Sí.₀ ل 0, la solución Sí.()t) tiende hacia el punto estacionario, pero lo alcanza sólo en el límite de tiempo infinito, por lo que la singularidad de las soluciones (sobre todos los tiempos finitos) está garantizada.

Sin embargo, para una ecuación en la que la solución estacionaria se alcanza después de una finito tiempo, la singularidad falla. Esto sucede por ejemplo para la ecuación dy/♪ = ay^2/3, que tiene al menos dos soluciones correspondientes a la condición inicial Sí.(0) = 0 tales como: Sí.()t) = 0 o

<math alttext="{displaystyle y(t)={begin{cases}left({tfrac {at}{3}}right)^{3}&tSí.()t)={}()at3)3tc)0 0t≥ ≥ 0,{displaystyle y(t)={begin{cases}left({tfrac {at}{3}derecha)}{3}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMin1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\<img alt="{displaystyle y(t)={begin{cases}left({tfrac {at}{3}}right)^{3}&t

por lo que el estado anterior del sistema no está determinado únicamente por su estado después de t = 0. El teorema de unicidad no se aplica porque la función  f  (y) = y^2/3 tiene una pendiente infinita en y = 0 y por lo tanto no es continua de Lipschitz, violando la hipótesis del teorema.

Prueba detallada

Dejar

Ca,b=Ia()t0)̄ ̄ × × Bb()Sí.0)̄ ̄ {displaystyle C_{a,b}}times {fnK}}}

donde:

Ia()t0)̄ ̄ =[t0− − a,t0+a]Bb()Sí.0)̄ ̄ =[Sí.0− − b,Sí.0+b].{displaystyle {begin{aligned}{overline {I_{a} {}}}} {==[t_{0}-a,t_{0}+a]{\fnMicrosoft] {B_{b}(y_{0}}}} {y_{0}-b,y_{0}+b].end{aligned}}}

Este es el cilindro compacto dondefse define. Vamos.

M=SupCa,b. . f. . ,{displaystyle M=sup ¿Qué?

esto es, el supremum de (los valores absolutos de) las pendientes de la función. Finalmente, vamos L ser la constante de Lipschitz f con respecto a la segunda variable.

Seguiremos aplicando el teorema de punta fija de Banach usando la métrica en C()Ia()t0),Bb()Sí.0)){displaystyle {mathcal {}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})} inducido por la norma uniforme

. . φ φ . . JUEGO JUEGO =Supt▪ ▪ IaSilencioφ φ ()t)Silencio.{displaystyle 'pretensiónvarphi 'pretensión' }=sup _{tin Yo...

Definimos un operador entre dos espacios funcionales de funciones continuas, el operador de Picard, de la siguiente manera:

. . :C()Ia()t0),Bb()Sí.0))restablecimiento restablecimiento C()Ia()t0),Bb()Sí.0)){displaystyle "Gamma:{mathcal {C}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})longrightarrow {mathcal {C}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})}

definido por:

. . φ φ ()t)=Sí.0+∫ ∫ t0tf()s,φ φ ()s))ds.{displaystyle Gamma varphi (t)=y_{0}+int ¿Qué?

Debemos demostrar que este operador mapea un espacio métrico completo no vacío X dentro de sí mismo y también es un mapeo de contracción.

Primero mostramos que, dadas ciertas restricciones a{displaystyle a}, . . {displaystyle "Gamma" tomas Bb()Sí.0)̄ ̄ {fnMicrosoft Sans Serif}} en sí mismo en el espacio de funciones continuas con la norma uniforme. Aquí, Bb()Sí.0)̄ ̄ {fnMicrosoft Sans Serif}} es una bola cerrada en el espacio de funciones continuas (y ligadas) "centradas" en la función constante Sí.0{displaystyle Y.... Por lo tanto, necesitamos demostrar que

. . φ φ − − Sí.0. . JUEGO JUEGO ≤ ≤ b{displaystylefn\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft -y...

implicación

.. . φ φ ()t)− − Sí.0.=.∫ ∫ t0tf()s,φ φ ()s))ds.≤ ≤ ∫ ∫ t0t..f()s,φ φ ()s)).ds≤ ≤ ∫ ∫ t0t.Mds=MSilenciot.− − t0Silencio≤ ≤ Ma≤ ≤ b{displaystyle leftfnciónGamma varphi (t)-y_{0}right just=left ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ Maleq b}

Donde t.{displaystyle t} es un número en [t0− − a,t0+a]{displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a] donde se alcanza el máximo. La última desigualdad en la cadena es verdadera si imponemos el requisito <math alttext="{displaystyle aac)bM{displaystyle a meant{frac} {}} {fn} {fn}}}<img alt="{displaystyle a.

Ahora vamos a probar que este operador es un mapeo de contracción.

Dados dos funciones φ φ 1,φ φ 2▪ ▪ C()Ia()t0),Bb()Sí.0)){displaystyle varphi _{1},varphi _{2}in {mathcal {C}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})}, para aplicar el teorema de punta fija de Banach que necesitamos

.. . φ φ 1− − . . φ φ 2.JUEGO JUEGO ≤ ≤ q.φ φ 1− − φ φ 2.JUEGO JUEGO ,{displaystyle leftfnciónGamma varphi ¿Por qué? ¿Por qué? _{1}-varphi ¿Qué?

para algunos <math alttext="{displaystyle 0leq q0≤ ≤ qc)1{displaystyle 0leq<img alt="{displaystyle 0leq q. Así que... t{displaystyle t} ser tal

. . . . φ φ 1− − . . φ φ 2. . JUEGO JUEGO =.(). . φ φ 1− − . . φ φ 2)()t)..{displaystyle 'Perfecto 'Gamma varphi _{1}-Gamma varphi _{2}fncipes_{infty }=leftfnMicrosoft(Gammavarphi ¿Por qué?

Luego utilizando la definición de . . {displaystyle "Gamma",

.(). . φ φ 1− − . . φ φ 2)()t).=.∫ ∫ t0t()f()s,φ φ 1()s))− − f()s,φ φ 2()s)))ds.≤ ≤ ∫ ∫ t0t.f()s,φ φ 1()s))− − f()s,φ φ 2()s)).ds≤ ≤ L∫ ∫ t0t.φ φ 1()s)− − φ φ 2()s).dsdesde entonces f es Lipschitz-continua≤ ≤ L∫ ∫ t0t.φ φ 1− − φ φ 2.JUEGO JUEGO ds≤ ≤ La.φ φ 1− − φ φ 2.JUEGO JUEGO {displaystyle {begin{aligned}leftleft(Gammavarphi) ¿Por qué? ¿Por qué? L'int ¿Por qué? _{1}(s)-varphi _{2}(s)right vivends quedarse atrapado{text{since }f{text{ is Lipschitz-continuous}\ L'int ¿Por qué? ¿Por qué? _{1}-varphi ¿Por qué?

Esto es una contracción si <math alttext="{displaystyle aac)1L.{displaystyle a meant{tfrac {1}{L}.}<img alt="{displaystyle a

Hemos establecido que el operador de Picard es una contracción en los espacios de Banach con la métrica inducida por la norma uniforme. Esto nos permite aplicar el teorema de punta fija Banach para concluir que el operador tiene un punto fijo único. En particular, hay una función única

φ φ ▪ ▪ C()Ia()t0),Bb()Sí.0)){displaystyle varphi in {mathcal {C}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0})}

tal que Γφ = φ. Esta función es la solución única del problema de valor inicial, válida en el intervalo I_a donde a satisface la condición

<math alttext="{displaystyle aac)min{}bM,1L}.{displaystyle a wonmin left{tfrac {B} {M}},{tfrac Bueno.<img alt="{displaystyle a

Optimización del intervalo de la solución

Deseamos eliminar la dependencia del intervalo I_a on L. Para ello, hay un corolario del teorema de punta fija de Banach: si un operador Tⁿ es una contracción para algunos n dentro NEntonces T tiene un punto fijo único. Antes de aplicar este teorema al operador de Picard, recuerde lo siguiente:

Prueba. Inducción m. Para la base de la inducción (m = 1) ya hemos visto esto, así que supongamos que la desigualdad tiene para m − 1, entonces tenemos:

.. . mφ φ 1()t)− − . . mφ φ 2()t).=.. . . . m− − 1φ φ 1()t)− − . . . . m− − 1φ φ 2()t).≤ ≤ Silencio∫ ∫ t0t.f()s,. . m− − 1φ φ 1()s))− − f()s,. . m− − 1φ φ 2()s)).dsSilencio≤ ≤ LSilencio∫ ∫ t0t.. . m− − 1φ φ 1()s)− − . . m− − 1φ φ 2()s).dsSilencio≤ ≤ LSilencio∫ ∫ t0tLm− − 1Silencios− − t0Silenciom− − 1()m− − 1)!.φ φ 1− − φ φ 2.dsSilencio≤ ≤ LmSilenciot− − t0Silenciomm!.φ φ 1− − φ φ 2..{displaystyle {begin{aligned}left ^{m}varphi _{1}(t)-Gamma ^{m}varphi ¿Por qué? Gamma Gamma ^{m-1}varphi _{1}(t)-Gamma Gamma ^{m-1}varphi _{2}(t)right bendiciones\\ ¿Por qué? ^{m-1}varphi _{2}(s)right)justofnMicrosoft Sans ¿Por qué? ¿Por qué? {L^{m-1}lefthvarphi _{1}-varphi ¿Por qué? {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}leftenfi _{1}-varphi _{2}justjust{aligned}}}}}}}

Al tomar un supremum sobre t▪ ▪ [t0− − α α ,t0+α α ]{displaystyle tin [t_{0}-alphat_{0}+alpha] Vemos que .. . mφ φ 1− − . . mφ φ 2.≤ ≤ Lmα α mm!.φ φ 1− − φ φ 2.{displaystyleleftfnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? ¡No! ¿Por qué?.

Esta desigualdad asegura que para algunos grandes m,

Al final, este resultado muestra que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino sólo del intervalo de definición del campo y su valor absoluto máximo.

Otros teoremas de existencia

El teorema de Picard-Lindelöf muestra que la solución existe y que es única. El teorema de existencia de Peano muestra sólo existencia, no unicidad, pero sólo supone que  f  es continuo en y, en lugar de Lipschitz continuo. Por ejemplo, el lado derecho de la ecuación dy/dt = y^{1/ 3} con condición inicial y(0) = 0 es continuo pero no continuo de Lipschitz. De hecho, en lugar de ser única, esta ecuación tiene al menos tres soluciones:

Sí.()t)=0,Sí.()t)=± ± ()23t)32{displaystyle y(t)=0,qquad y(t)=pmleft({tfrac {2}{3}tright)^{frac {3}{2}}.

Aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory, que demuestra la existencia (en un sentido más general) en condiciones más débiles en  f . Aunque estas condiciones sólo son suficientes, también existen condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de valor inicial sea única, como el teorema de Okamura.

Existencia global de solución

El teorema Picard–Lindelöf garantiza que las soluciones a los problemas de valor inicial existan únicamente dentro de un intervalo local [t0− − ε ε ,t0+ε ε ]{displaystyle [t_{0}-varepsilont_{0}+varepsilon], posiblemente depende de cada solución. El comportamiento de las soluciones más allá de este intervalo local puede variar dependiendo de las propiedades f y el dominio sobre el cual f se define. Cuando f es mundialmente Lipschitz, las soluciones se pueden ampliar y se definen en toda la línea real. Sin embargo, si f es sólo lisa, las soluciones no se pueden definir para ciertos valores de t. Por ejemplo, la ecuación dy/♪ = Sí.² con condición inicial Sí.(0) = 1 tiene la solución Sí.()t) = 1/(1-t), que no se define en t 1. Sin embargo, si f es un campo vectorial suave definido sobre un dominio que es un conjunto compacto suave, entonces todas sus trayectorias ( curvas integradas) existen para siempre.