Teorema de pascal

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Teorema sobre la collinearidad de tres puntos generados por un hexágono inscrito en un conic

Línea pascal $GHK$ de hexágono autocruz $ABCDEF$ inscrito en elipse. Los lados opuestos del hexágono tienen el mismo color.

Hexágono autocross $ABCDEF$ , inscrito en un círculo. Sus lados se extienden para que pares de lados opuestos se intersecten en la línea de Pascal. Cada par de lados opuestos extendidos tiene su propio color: un rojo, un amarillo, un azul. La línea de Pascal se muestra en blanco.

En geometría proyectiva, el teorema de Pascal (también conocido como teorema de hexagrammum mysticum, hexagrama místico en latín) establece que Si se eligen seis puntos arbitrarios en una cónica (que puede ser una elipse, una parábola o una hipérbola en un plano afín apropiado) y se unen mediante segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono, entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono (extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea de Pascal del hexágono. Lleva el nombre de Blaise Pascal.

El teorema también es válido en el plano euclidiano, pero es necesario ajustar el enunciado para abordar los casos especiales en los que los lados opuestos son paralelos.

Este teorema es una generalización del teorema (hexágono) de Pappus, que es el caso especial de una cónica degenerada de dos líneas con tres puntos en cada línea.

Variantes euclidianas

El entorno más natural para el teorema de Pascal es un plano proyectivo, ya que dos rectas cualesquiera se encuentran y no es necesario hacer excepciones para las rectas paralelas. Sin embargo, el teorema sigue siendo válido en el plano euclidiano, con la interpretación correcta de lo que sucede cuando algunos lados opuestos del hexágono son paralelos.

Si exactamente un par de lados opuestos del hexágono son paralelos, entonces la conclusión del teorema es que la "línea de Pascal" determinado por los dos puntos de intersección es paralelo a los lados paralelos del hexágono. Si dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces los tres pares de lados opuestos forman pares de líneas paralelas y no hay una línea de Pascal en el plano euclidiano (en este caso, la línea en el infinito del plano euclidiano extendido es la línea de Pascal de el hexágono).

Resultados relacionados

El teorema de Pascal es el doble polar recíproco y proyectivo del teorema de Brianchon. Fue formulado por Blaise Pascal en una nota escrita en 1639 cuando tenía 16 años y publicó el año siguiente como un lado amplio titulado "Essay pour les coniques. Par B. P."

El teorema de Pascal es un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach.

Es interesante un caso degenerado del teorema de Pascal (cuatro puntos); puntos dados $ABCD$ en una cónica $Γ$ , la intersección de lados alternos, $AB \cap CD$ , $BC \cap DA$ , junto con la intersección de tangentes en los vértices opuestos $(A, C)$ y $(B, D)$ son colineales en cuatro puntos; siendo las tangentes 'lados' degenerados, tomados en dos posiciones posibles en el 'hexágono' y la línea de Pascal correspondiente que comparte cualquiera de las intersecciones degeneradas. Esto se puede probar de forma independiente utilizando una propiedad de polo-polar. Si la cónica es un círculo, entonces otro caso degenerado dice que para un triángulo, los tres puntos que aparecen como la intersección de una línea lateral con la línea lateral correspondiente del triángulo de Gergonne, son colineales.

Seis es el número mínimo de puntos en una cónica sobre los cuales se pueden hacer declaraciones especiales, ya que cinco puntos determinan una cónica.

Lo contrario es el teorema de Braikenridge-Maclaurin, llamado así por los matemáticos británicos del siglo XVIII William Braikenridge y Colin Maclaurin (Mills 1984), que establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que pasan por lados opuestos de un hexágono se encuentran sobre una recta, entonces los seis vértices del hexágono se encuentran sobre una cónica; la cónica puede ser degenerada, como en el teorema de Pappus. El teorema de Braikenridge-Maclaurin se puede aplicar en la construcción de Braikenridge-Maclaurin, que es una construcción sintética de la cónica definida por cinco puntos, variando el sexto punto.

El teorema fue generalizado por August Ferdinand Möbius en 1847, de la siguiente manera: supongamos que un polígono con $4 n + 2$ lados está inscrito en una cónica. sección, y los pares opuestos de lados se extienden hasta que se encuentran en $2 n + 1$ puntos. Entonces, si $2 n$ de esos puntos se encuentran en una línea común, el último punto también estará en esa línea.

Hexagrama místico

Si se dan seis puntos desordenados en una sección cónica, se pueden conectar formando un hexágono de 60 maneras diferentes, lo que da como resultado 60 casos diferentes del teorema de Pascal y 60 líneas de Pascal diferentes. Esta configuración de 60 líneas se llama Hexagrammum Mysticum.

Como demostró Thomas Kirkman en 1849, estas 60 líneas se pueden asociar con 60 puntos de tal manera que cada punto esté en tres líneas y cada línea contenga tres puntos. Los 60 puntos formados de esta manera ahora se conocen como puntos Kirkman. Las líneas de Pascal también pasan, de tres en tres, por 20 puntos Steiner. Hay 20 líneas Cayley que constan de un punto Steiner y tres puntos Kirkman. Los puntos de Steiner también se encuentran, de cuatro en cuatro, en 15 líneas de Plücker. Además, las 20 líneas Cayley pasan de cuatro en cuatro a través de 15 puntos conocidos como puntos Salmon.

Pruebas

La nota original de Pascal no tiene prueba, pero hay varias pruebas modernas del teorema.

Es suficiente demostrar el teorema cuando la cónica es un círculo, porque cualquier cónica (no degenerada) puede reducirse a un círculo mediante una transformación proyectiva. Pascal se dio cuenta de esto, cuyo primer lema establece el teorema de un círculo. Su segundo lema establece que lo que es verdadero en un plano sigue siendo verdadero en la proyección a otro plano. Las cónicas degeneradas siguen por continuidad (el teorema es cierto para las cónicas no degeneradas y, por tanto, se cumple en el límite de la cónica degenerada).

Van Yzeren (1993) encontró una breve prueba elemental del teorema de Pascal en el caso de un círculo, basándose en la prueba de (Guggenheimer 1967). Esta prueba prueba el teorema del círculo y luego lo generaliza a cónicas.

Stefanovic (2010) encontró una breve prueba computacional elemental en el caso del plano proyectivo real.

También podemos inferir la prueba de la existencia del conjugado isogonal. Si vamos a demostrar que $X = AB \cap DE$ , $Y = BC \cap EF$ , $Z = CD \cap FA$ son colineales para $ABCDEF$ concíclico, luego observe que $△ EYB$ y $△ CYF$ son similares, y que $X$ y $Z$ corresponderán al conjugado isogonal si superponemos los similares triangulos. Esto significa que $∠ CYX = ∠ CYZ$ , por lo que $XYZ$ colineal.

Se puede construir una prueba breve utilizando la preservación de razones cruzadas. Proyectando la tétrada $ABCE$ desde $D$ sobre la línea $AB$ , obtenemos la tétrada $ABPX$ , y la tétrada proyectada $ABCE$ desde $F$ hasta la línea $BC$ , obtenemos la tétrada $QBCY$ . Por lo tanto, esto significa que $R (AB; PX) = R (QB; CY)$ , donde uno de los puntos de las dos tétradas se superpone, lo que significa que otras líneas que conectan los otros tres pares deben coincidir para preservar la relación cruzada. Por lo tanto, $XYZ$ son colineales.

Otra prueba del teorema de Pascal para un círculo utiliza Menelao#39; teorema repetidamente.

Dandelin, el geómetra que descubrió las célebres esferas de Dandelin, ideó una hermosa prueba mediante el método de "levantamiento 3D" técnica análoga a la prueba 3D de Desargues' teorema. La prueba hace uso de la propiedad de que para cada sección cónica podemos encontrar un hiperboloide de una hoja que pasa por la cónica.

También existe una prueba sencilla del teorema de Pascal para un círculo utilizando la ley de los senos y la semejanza.

Demostración mediante curvas cúbicas

Las intersecciones de los lados opuestos extendidos del hexágono cíclico simple $ABCDEF$ (derecha) se encuentra en la línea Pascal MNP (izquierda).

El teorema de Pascal tiene una prueba breve utilizando el teorema de Cayley-Bacharach de que, dados 8 puntos cualesquiera en posición general, existe un noveno punto único tal que todas las cúbicas que pasan por los primeros 8 también pasan por el noveno punto. En particular, si 2 cúbicas generales se cruzan en 8 puntos, entonces cualquier otra cúbica que pase por los mismos 8 puntos se encuentra con el noveno punto de intersección de las dos primeras cúbicas. El teorema de Pascal se sigue tomando los 8 puntos como los 6 puntos del hexágono y dos de los puntos (digamos, $M$ y $N$ en la figura) en la posible línea de Pascal, y el noveno punto como tercer punto ( $P$ en la figura). Los dos primeros cúbicos son dos conjuntos de 3 líneas que pasan por los 6 puntos del hexágono (por ejemplo, el conjunto $AB, CD, EF$ y el conjunto $BC, DE, FA$ ), y la tercera cúbica es la unión de la cónica y la recta $MN$ . Aquí la "novena intersección" $P$ no puede estar en la cónica por genereidad y, por lo tanto, se encuentra en $MN .$

El teorema de Cayley-Bacharach también se utiliza para demostrar que la operación de grupo en curvas elípticas cúbicas es asociativa. La misma operación de grupo se puede aplicar a una cónica si elegimos un punto $E$ de la cónica y una recta $MP$ en el avión. La suma de $A$ y $B$ se obtiene encontrando primero el punto de intersección de la línea $AB$ con $MP$ , que es $M$ . Los siguientes $A$ y $B$ suman el segundo punto de intersección de la cónica con la línea $EM$ , que es $D$ . Así, si $Q$ es el segundo punto de intersección de la cónica con la recta $EN, entonces$

{displaystyle (A+B)+C=D+C=Q=A+F=A+(B+C)}

Por lo tanto, la operación de grupo es asociativa. Por otro lado, el teorema de Pascal se deriva de la fórmula de asociatividad anterior y, por tanto, de la asociatividad de la operación grupal de curvas elípticas a modo de continuidad.

Demostración utilizando el teorema de Bézout

Supongamos que $f$ es el polinomio cúbico que desaparece en las tres líneas que pasan por $AB, CD, EF.$ y $g$ es el cubo que desaparece en las otras tres líneas $BC , DE, FA$ . Elija un punto genérico $P$ en la cónica y elija $λ$ para que que el cúbico $h = f + λg$ desaparece en $P$ . Entonces $h = 0$ es un cúbico que tiene 7 puntos $A, B, C, D, E , F, P$ en común con la cónica. Pero según el teorema de Bézout, una cúbica y una cónica tienen como máximo 3 × 2 = 6 puntos en común, a menos que tengan un componente común. Entonces la cúbica $h = 0$ tiene un componente en común con la cónica que debe ser la propia cónica, entonces $h = 0$ es la unión de la cónica y una recta. Ahora es fácil comprobar que esta línea es la línea de Pascal.

Una propiedad del hexágono de Pascal

Nuevamente dado el hexágono en una cónica del teorema de Pascal con la notación anterior para puntos (en la primera figura), tenemos

{displaystyle {frac {overline {GB}}{overline {GA}}}times {frac {overline {HA}}{overline {HF}}}times {frac {overline {KF}}{overline {KE}}}times {frac {overline {GE}}{overline {GD}}}times {frac {overline {HD}}{overline {HC}}}times {frac {overline {KC}}{overline {KB}}}=1.}

Degeneraciones del teorema de Pascal

Existen casos degenerados de 5 puntos, 4 puntos y 3 puntos del teorema de Pascal. En un caso degenerado, dos puntos de la figura previamente conectados coincidirán formalmente y la línea de conexión se convierte en la tangente en el punto fusionado. Vea los casos degenerados que se dan en el esquema agregado y el enlace externo sobre geometrías circulares. Si se eligen líneas adecuadas de las figuras de Pascal como líneas en el infinito, se obtienen muchas figuras interesantes sobre parábolas e hipérbolas.

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