Teorema de parseval

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Teorema en matemáticas

En matemáticas, el teorema de Parseval suele referirse al resultado de que la transformada de Fourier es unitaria; en términos generales, que la suma (o integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o integral) del cuadrado de su transformada. Tiene su origen en un teorema de 1799 sobre series de Marc-Antoine Parseval, que luego se aplicó a las series de Fourier. También se le conoce como teorema de la energía de Rayleigh, o identidad de Rayleigh, en honor a John William Strutt, Lord Rayleigh.

Aunque el término "teorema de Parseval" se usa a menudo para describir la unitaridad de cualquier transformada de Fourier, especialmente en física, la forma más general de esta propiedad se llama más propiamente teorema de Plancherel.

Enunciado del teorema de Parseval

Supongamos que ${displaystyle A(x)}$ y ${displaystyle B(x)}$ son dos funciones de valor complejo ${displaystyle mathbb {R} }$ período de sesiones ${displaystyle 2pi }$ que son integrados cuadrados (con respecto a la medida Lebesgue) a través de intervalos de longitud de período, con serie Fourier

{displaystyle A(x)=sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}e^{inx}}

{displaystyle B(x)=sum _{n=-infty }^{infty }b_{n}e^{inx}}

respectivamente. Entonces

{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}{overline {b_{n}}}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }A(x){overline {B(x)}},mathrm {d} x,}

()Eq.1)

Donde ${displaystyle i}$ es la unidad imaginaria y las barras horizontales indican conjugación compleja. Sustitución ${displaystyle A(x)}$ y ${displaystyle {overline {B(x)}}}$ :

{displaystyle {begin{aligned}sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}{overline {b_{n}}}&={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }left(sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}e^{inx}right)left(sum _{n=-infty }^{infty }{overline {b_{n}}}e^{-inx}right),mathrm {d} x\[6pt]&={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+cdots right)left({overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{overline {b_{2}}}e^{-i2x}+cdots right)mathrm {d} x\[6pt]&={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }left(a_{1}e^{i1x}{overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{overline {b_{2}}}e^{-i2x}+cdots right)mathrm {d} x\[6pt]&={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }left(a_{1}{overline {b_{1}}}+a_{1}{overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots right)mathrm {d} xend{aligned}}}

Como sucede con los términos medios en este ejemplo, muchos términos se integrarán a ${displaystyle 0}$ sobre un período completo de longitud ${displaystyle 2pi }$ (ver armónicos):

{displaystyle {begin{aligned}sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}{overline {b_{n}}}&={frac {1}{2pi }}left[a_{1}{overline {b_{1}}}x+ia_{1}{overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{overline {b_{2}}}x+cdots right]_{-pi }^{+pi }\[6pt]&={frac {1}{2pi }}left(2pi a_{1}{overline {b_{1}}}+0+0+2pi a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots right)\[6pt]&=a_{1}{overline {b_{1}}}+a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots \[6pt]end{aligned}}}

Más generalmente, si ${displaystyle A(x)}$ y ${displaystyle B(x)}$ son en cambio dos funciones de valor complejo ${displaystyle mathbb {R} }$ período de sesiones ${displaystyle P}$ que son integrados cuadrados (con respecto a la medida Lebesgue) a través de intervalos de longitud de período, con serie Fourier

{displaystyle A(x)=sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}e^{2pi nileft({frac {x}{P}}right)}}

{displaystyle B(x)=sum _{n=-infty }^{infty }b_{n}e^{2pi nileft({frac {x}{P}}right)}}

respectivamente. Entonces

{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}{overline {b_{n}}}={frac {1}{P}}int _{-P/2}^{P/2}A(x){overline {B(x)}},mathrm {d} x,}

()Eq.2)

Más generalmente, dado un grupo abeliano localmente compacto G con Pontryagin dual G^, el teorema de Parseval dice que la transformación Pontryagin-Fourier es un operador unitario entre los espacios de Hilbert L²()G) y L²()G^) (con la integración en contra de las medidas Haar debidamente escaladas en los dos grupos.) Cuando G es el círculo de la unidad T, G^ son los enteros y este es el caso discutido anteriormente. Cuando G es la línea real ${displaystyle mathbb {R} }$ , G^ también ${displaystyle mathbb {R} }$ y la transformación unitaria es la transformación Fourier en la línea real. Cuando G es el grupo cíclico Z_n, de nuevo es auto-dual y la transformación de Pontryagin-Fourier es lo que se llama transformación discreta Fourier en contextos aplicados.

El teorema de Parseval también se puede expresar de la siguiente manera: Suppose ${displaystyle f(x)}$ es una función cuadrado-integrable sobre ${displaystyle [-pipi ]}$ (es decir, ${displaystyle f(x)}$ y ${displaystyle f^{2}(x)}$ son integrados en ese intervalo), con la serie Fourier

{displaystyle f(x)simeq {frac {a_{0}}{2}}+sum _{n=1}^{infty }(a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx)).}

Entonces

{displaystyle {frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }f^{2}(x),mathrm {d} x={frac {a_{0}^{2}}{2}}+sum _{n=1}^{infty }left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}right).}

Notación utilizada en ingeniería

En ingeniería eléctrica, el teorema de Parseval a menudo se escribe como:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }|x(t)|^{2},mathrm {d} t={frac {1}{2pi }}int _{-infty }^{infty }|X(omega)|^{2},mathrm {d} omega =int _{-infty }^{infty }|X(2pi f)|^{2},mathrm {d} f}

Donde ${displaystyle X(omega)={mathcal {F}}_{omega }{x(t)}}$ representa la continua transformación Fourier (en forma normalizada, unitaria) de ${displaystyle x(t)}$ , y ${displaystyle omega =2pi f}$ es frecuencia en radians por segundo.

La interpretación de esta forma del teorema es que la energía total de una señal puede calcularse resumiendo potencia-por-muestra a través del tiempo o potencia espectral a través de la frecuencia.

Para señales de tiempo discreto, el teorema se convierte en:

{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }|x[n]|^{2}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }|X_{2pi }({phi })|^{2}mathrm {d} phi }

Donde ${displaystyle X_{2pi }}$ es la transformación de Fourier discreta (DTFT) ${displaystyle x}$ y ${displaystyle phi }$ representa la frecuencia angular (en radians por muestra) de ${displaystyle x}$ .

Alternativamente, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación se convierte en:

{displaystyle sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}

Donde ${displaystyle X[k]}$ es el DFT de ${displaystyle x[n]}$ , ambos de longitud ${displaystyle N}$ .

Mostramos el caso DFT abajo. Para los demás casos, la prueba es similar. Usando la definición de DFT inversa ${displaystyle X[k]}$ , podemos derivar

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}&={frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}X[k]cdot X^{*}[k]={frac {1}{N}}sum _{k=0}^{N-1}left[sum _{n=0}^{N-1}x[n],exp left(-j{frac {2pi }{N}}k,nright)right],X^{*}[k]\[5mu]&={frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}x[n]left[sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k],exp left(-j{frac {2pi }{N}}k,nright)right]={frac {1}{N}}sum _{n=0}^{N-1}x[n](Ncdot x^{*}[n])\[5mu]&=sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2},end{aligned}}}

Donde ${displaystyle *}$ representa complejo conjugado.

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