Teorema de mapeo de Riemann

En análisis complejo, el teorema de mapeo de Riemann establece que si U es un subconjunto abierto no vacío simplemente conectado del plano numérico complejo C que no es todo de C, entonces existe una aplicación biholomórfica f (es decir, una aplicación holomorfa biyectiva cuyo inverso también es holomorfo) de U en el disco unitario abierto

${displaystyle D={zin mathbf {C}: WordPressz invisible1}.}$

Este mapeo se conoce como mapeo de Riemann.

Intuitivamente, la condición de que U esté simplemente conectado significa que U no contiene ningún "agujero". El hecho de que f sea biholomórfico implica que es un mapa conforme y, por lo tanto, conserva el ángulo. Se puede interpretar que dicho mapa conserva la forma de cualquier figura lo suficientemente pequeña, mientras que posiblemente la rota y la escala (pero no la refleja).

Henri Poincaré demostró que el mapa f es esencialmente único: si z₀ es un elemento de U y φ es un ángulo arbitrario, entonces existe precisamente un f como el anterior tal que f(z₀) = 0 y tal que el argumento de la derivada de f en el punto z₀ es igual a φ. Esta es una fácil consecuencia del lema de Schwarz.

Como corolario del teorema, cualquiera de los dos subconjuntos abiertos simplemente conectados de la esfera de Riemann que carecen de al menos dos puntos de la esfera pueden mapearse conformemente entre sí.

Historia

El teorema fue establecido (bajo el supuesto de que el límite de U es suave por partes) por Bernhard Riemann en 1851 en su tesis doctoral. Lars Ahlfors escribió una vez, con respecto a la formulación original del teorema, que "finalmente fue formulado en términos que desafiarían cualquier intento de demostración, incluso con métodos modernos". La prueba defectuosa de Riemann dependía del principio de Dirichlet (que fue nombrado por el propio Riemann), que se consideraba correcto en ese momento. Sin embargo, Karl Weierstrass encontró que este principio no era universalmente válido. Posteriormente, David Hilbert pudo demostrar que, en gran medida, el principio de Dirichlet es válido bajo la hipótesis con la que trabajaba Riemann. Sin embargo, para ser válido, el principio de Dirichlet necesita ciertas hipótesis sobre el límite de U que no son válidas para dominios simplemente conectados en general.

La primera demostración rigurosa del teorema fue dada por William Fogg Osgood en 1900. Demostró la existencia de la función de Green en dominios arbitrarios simplemente conectados distintos del propio C; esto estableció el teorema de mapeo de Riemann.

Constantin Carathéodory dio otra prueba del teorema en 1912, que fue el primero en confiar únicamente en los métodos de la teoría de funciones en lugar de la teoría del potencial. Su prueba usó el concepto de familias normales de Montel, que se convirtió en el método estándar de prueba en los libros de texto. Carathéodory continuó en 1913 resolviendo la cuestión adicional de si el mapeo de Riemann entre los dominios se puede extender a un homeomorfismo de los límites (ver el teorema de Carathéodory).

La demostración de Carathéodory usó superficies de Riemann y Paul Koebe la simplificó dos años después de manera que no las requería. Otra prueba, de Lipót Fejér y Frigyes Riesz, se publicó en 1922 y era algo más corta que las anteriores. En esta prueba, al igual que en la prueba de Riemann, la aplicación deseada se obtuvo como la solución de un problema extremo. La demostración de Fejér-Riesz fue simplificada aún más por Alexander Ostrowski y Carathéodory.

Importancia

Los siguientes puntos detallan la singularidad y el poder del teorema de mapeo de Riemann:

• Incluso cartografías Riemann relativamente simples (por ejemplo, un mapa del interior de un círculo al interior de un cuadrado) no tienen fórmula explícita utilizando sólo funciones elementales.
• Los conjuntos abiertos simplemente conectados en el plano pueden ser muy complicados, por ejemplo, el límite puede ser una curva fractal indefinible de longitud infinita, incluso si el conjunto mismo está atado. Un ejemplo es la curva Koch. El hecho de que tal conjunto pueda ser mapeado en un ángulo reservado la manera al disco de unidad agradable y regular parece contra-intuitivo.
• El análogo del teorema de cartografía Riemann para dominios más complicados no es cierto. El siguiente caso más simple es de dominios doblemente conectados (dominios con un solo agujero). Cualquier dominio doblemente conectado excepto por el disco pinchado y el plano puntuado es conformalmente equivalente a algún annulus {z:rANTERIORzTENIDO ANTERIOR 1} con 0 r 1 sin embargo no hay mapas conformales entre annuli excepto la inversión y multiplicación por constantes por lo que el annulus {z: 1zTENIDO 2} no es conformalmente equivalente al annulus {z: 1zTENIDO 4} (como se puede probar utilizando la longitud extremal).
• El análogo del teorema de cartografía Riemann en tres o más dimensiones reales no es cierto. La familia de mapas conformados en tres dimensiones es muy pobre, y esencialmente contiene sólo transformaciones Möbius (ver teorema de Liouville).
• Incluso si se permiten morfismos arbitrarios en dimensiones superiores, se pueden encontrar manifolds contractuales que no son homeomorfos a la pelota (por ejemplo, el continuum de Whitehead).
• El análogo del teorema de cartografía Riemann en varias variables complejas tampoco es cierto. In ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ ()${displaystyle ngeq 2}$), la pelota y el polidisk son ambos simplemente conectados, pero no hay mapa biholomorfo entre ellos.

Prueba a través de familias normales

Conectividad sencilla

Teorema. Para un dominio abierto G ⊂ ℂ las siguientes condiciones son equivalentes:

1. G simplemente está conectado;
2. la integral de cada función holomorfa f alrededor de una curva lisa plana cerrada G desaparece;
3. cada función holomorfa en G es el derivado de una función holomorfa;
4. todas las funciones holomorfas que van de la nada f on G tiene un logaritmo holomorfo;
5. todas las funciones holomorfas que van de la nada g on G tiene una raíz cuadrada holomorfa;
6. para cualquier w no en G, el número de viento de w para cualquier curva cerrada lisa lisa en G es 0;
7. el complemento G en el plano complejo extendido C ∪ {∞} está conectado.

(1) ⇒ (2) porque cualquier curva cerrada continua, con punto base a en G, puede deformarse continuamente a la curva constante a< /i>. Entonces, la integral de línea de f dz sobre la curva es 0.

(2) ⇒ (3) porque la integral sobre cualquier camino suave por partes γ desde a hasta z puede usarse para definir una primitiva.

(3) ⇒ (4) integrando f⁻¹df/dz a lo largo de γ desde < i>a a x para dar una rama del logaritmo.

(4) ⇒ (5) tomando la raíz cuadrada como g (z) = exp f(z< /i>)/2 donde f es una elección holomorfa de logaritmo.

(5) ⇒ (6) porque si γ es una curva cerrada por tramos y f_n son raíces cuadradas sucesivas de z − w para w fuera de G, luego el número de bobinado de f_{< i>n} ∘ γ alrededor de w es 2ⁿ veces el número de vueltas de γ alrededor de 0. Por lo tanto, el El número de vueltas de γ sobre w debe ser divisible por 2ⁿ para todo n, por lo que debe ser igual a 0.

(6) ⇒ (7) de lo contrario, el plano extendido ℂ ∪ {∞} G se puede escribir como la unión disjunta de dos conjuntos abiertos y cerrados A y B con ∞ en B y A acotados. Sea δ > 0 sea la distancia euclidiana más corta entre A y B y construya una cuadrícula en ℂ con longitud δ/4 con un punto a de A en el centro de un cuadrado. Sea C el conjunto compacto de la unión de todos los cuadrados a distancia ≤ δ/4 de A. Entonces C ∩ B = ∅ y ∂C no cumple A o B: consta de un número finito de segmentos horizontales y verticales en G que forman un número finito de caminos rectangulares cerrados γ_j en G. Tomando C_i como todos los cuadrados que cubren A, el (2 π)^{−1< /sup> ∫_∂C d arg(z − a) es igual a la suma de los números de bobinado de < i>C}_i sobre a, por lo que da 1. Por otro lado, la suma de los números de bobinado de γ_j sobre a es igual a 1. Por lo tanto, el número de vueltas de al menos uno de los γ_j alrededor de a es distinto de cero.

(7) ⇒ (1) Este es un argumento puramente topológico. Sea γ una curva cerrada suave por partes basada en z₀ en G. Por aproximación, γ está en la misma clase de homotopía que un camino rectangular en la cuadrícula de longitud δ > 0 basado en z₀; dicho camino rectangular está determinado por una sucesión de N lados verticales y horizontales dirigidos consecutivos. Por inducción en N, dicho camino se puede deformar a un camino constante en una esquina de la cuadrícula. Si el camino se cruza en un punto z₁, entonces se divide en dos caminos rectangulares de longitud < N, por lo que se puede deformar a la trayectoria constante en z₁ por la hipótesis de inducción y las propiedades elementales del grupo fundamental. El razonamiento sigue un "argumento del noreste": en el camino que no se corta a sí mismo habrá una esquina z₀ con la mayor parte real (hacia el este) y luego entre aquellos con mayor parte imaginaria (norte). Invirtiendo la dirección si es necesario, el camino va de z₀ − δ a z₀ y luego a w₀ = z₀ − i n δ para n ≥ 1 y luego va hacia la izquierda a w₀ − δ. Sea R el rectángulo abierto con estos vértices. El número de vueltas del camino es 0 para los puntos a la derecha del segmento vertical de z₀ a w₀ y −1 para puntos a la derecha; y por lo tanto dentro de R. Dado que el número de bobinado es 0 de G, R se encuentra en G. Si z es un punto del camino, debe estar en G; si z está en ∂R pero no en el camino, por continuidad el número de vueltas del camino alrededor de z es −1, entonces z también debe estar en G. Por lo tanto, R ∪ ∂R ⊂ G. Pero en este caso el camino se puede deformar reemplazando los tres lados del rectángulo por el cuarto, resultando 2 lados menos. (Se permiten las autointersecciones).

Teorema de mapeo de Riemann

• Teorema de convergencia de Weierstrass. El límite uniforme en compacta de una secuencia de funciones holomorfas es holomorfa; similarmente para derivados.

Esta es una consecuencia inmediata del teorema de Morera para la primera declaración. La fórmula integral de Cauchy da una fórmula para los derivados que se pueden utilizar para comprobar que los derivados también convergen uniformemente en compacta.

• El teorema de Hurwitz. Si una secuencia de funciones holomorfas en un dominio abierto tiene un límite uniforme en compacta, entonces o el límite es idéntico cero o el límite no es desvanecedor. Si una secuencia de funciones holomorfas univantes en un dominio abierto tiene un límite uniforme en compacta, entonces el límite es constante o el límite es univalent.

Si la función límite no es cero, entonces sus ceros tienen que estar aislados. Cero con multiplicidades puede ser contado por el número de viento (2 i π)⁻¹ ∫_C g()z)⁻¹ g"z) dz para una función holomorfa g. Por lo tanto, los números de enrollamiento son continuos bajo límites uniformes, de modo que si cada función en la secuencia no tiene ceros ni puede el límite. Para la segunda declaración suponga que f()a) = f()b) y conjunto g_n()z) = f_n()z) − f_n()a). Estos no están desvanecendo en un disco pero g()z) = f()z) − f()a) desaparecen bAsí que g Debe desaparecer de forma idéntica.

Definiciones. Una familia ${displaystyle {cal {f}}$ de funciones holomorfas en un dominio abierto se dice que normal si cualquier secuencia de funciones en ${displaystyle {cal {f}}$ tiene una subsequencia que converge a una función holomorfa uniformemente en compacta. Una familia ${displaystyle {cal {f}}$ es compacto si cada vez que una secuencia f_n mentiras ${displaystyle {cal {f}}$ y converge uniformemente a f en compacta, entonces f también mentiras ${displaystyle {cal {f}}$. Una familia ${displaystyle {cal {f}}$ se dice que localmente atado si sus funciones están sujetas uniformemente en cada disco compacto. Diferenciando la fórmula integral Cauchy, sigue que los derivados de una familia atada localmente también están atados localmente.

• Teorema de Montel. Cada familia localmente ligada de funciones holomorfas en un dominio G es normal.

Vamos f_n ser una secuencia totalmente atada y elegir un subcontable denso w_m de G. Por la unidad local y un "discurso diagonal", una subsecuencia puede ser elegida para que g_n es convergente en cada punto w_m. Debe verificarse que esta secuencia de funciones holomorfas converge en G uniformemente en cada compacto K. Toma. E abierto K ⊂ E tales que el cierre de E es compacto y contiene G. Desde la secuencia ()g_n′) está atado localmente,g_n.■ ≤ M on E. Por compactidad, si δ > 0 se toma lo suficientemente pequeño, finitamente muchos discos abiertos D_k de radio δ 0 son necesarios para cubrir K permaneciendo E. Desde

${displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=int _{a}{b}g_{n}{prime }(z),dz}$,

Silenciog_n()a) − g_n()b)■ ≤ M Silencioa − bδ ≤ 2 δ M. Ahora para cada uno k elegir algunos w_i dentro D_k Donde g_n()w_i) convergen, toman n y m tan grande para estar dentro de δ de su límite. Entonces... z dentro D_k,

${fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn}(n}(w_{n}(w_{i})$

De ahí la secuencia ()g_n) forma una secuencia Cauchy en la norma uniforme K según sea necesario.

• Riemann mapeando teorema. Si G es un dominio simplemente conectado C y a mentiras G, hay una asignación conformacional única f de G en el disco de unidad D normalizado tal que f()a) = 0 y f.a) 0.

La unicidad sigue debido a f y g satisfecha las mismas condiciones h = f ∘ g⁻¹ sería un mapa holomorfico univante del disco unitario con h(0) = 0 y h"(0) ". Pero por la lema Schwarz, los mapas holomorficos univantes del disco unitario en sí mismos son dados por las transformaciones Möbius k()z) = e^iSilencio()z − α)/(1 − α* z) con Наникованых ненных неных неных неных ненных неных неных неных неных неных неных неных ных ненени нененый ный ный ни ненени ни ненени нени нененый ных ни ный ни ненененененый ный ный неный ный ни ный неный ный ный неный неный ный ненененый неный неный нен h debe ser el mapa de identidad y f = g.

Para probar la existencia, tome ${displaystyle {cal {f}}$ ser la familia de mapas univalent holomorfos f de G en el disco de unidad abierta D con f()a) = 0 y f "a) 0. Es una familia normal del teorema de Montel. Por la caracterización de la simple conectividad, para b en C G hay una rama holomorfa de la raíz cuadrada ${displaystyle h(z)={sqrt {z-b}}$ dentro G. Es univalent y h()z₁− h()z₂) para z₁ y z₂ dentro G. Desde h()G) debe contener un disco cerrado Δ con centro h()a) y radio r ■ 0, sin puntos Δ puede mentir h()G). Vamos F ser la transformación Möbius única C −Δ sobre D con la normalización F()h()a) = 0 y F.h()a) 0. Por construcción F ∘ h está dentro ${displaystyle {cal {f}}$Así que ${displaystyle {cal {f}}$ es no vacía. El método de Koebe es utilizar un función extremal para producir un mapeo conformal que resuelva el problema: en esta situación se llama a menudo Función Ahlfors de GDespués de Ahlfors. Dejar 0 M ≤ ∞ ser el supremum de f.a) para f dentro ${displaystyle {cal {f}}$. Pick f_n dentro ${displaystyle {cal {f}}$ con f_n.a) tendiendo a M. Por el teorema de Montel, pasando a una subsequencia si es necesario, f_n tiende a una función holomorfa f uniformemente en compacta. Por el teorema de Hurwitz, f es univalent o constante. Pero... f tiene f()a) = 0 y f.a) 0. Así que... M es finito, igual a f.a) 0 y f mentiras ${displaystyle {cal {f}}$. Queda por comprobar que la cartografía conformacional f tomas G sobre D. Si no, tome c ل 0 dentro D f()G) y dejar H ser una raíz cuadrada holomorfa ()f()z) − c)/(1 − c*f()z) on G. La función H es univalent y mapas G en D. Vamos F()z) = e^iSilencio()H()z) − H()a)/(1 - H()a)*H()z) Donde H.a)/ TorturaH.a)Silencio e^−iSilencio. Entonces... F mentiras ${displaystyle {cal {f}}$ y un cálculo de rutina muestra que F.a) = H.a) / (1 − latitudH()a)Silencio²) f.a) (√ĪocTENIDO + SUPERVISIÓNcSilencio⁻¹)/2 f.a) = M. Esto contradice la maximalidad de MAsí que f debe tomar todos los valores en D.

Observación. Como consecuencia del teorema de mapeo de Riemann, cada dominio simplemente conectado en el plano es homeomorfo al disco unitario. Si se omiten los puntos, esto se deduce del teorema. Para todo el plano, el homeomorfismo φ(z) = z/(1 + |z|) da un homeomorfismo de ℂ en D .

Asignaciones de rendijas paralelas

El teorema de uniformización de Koebe para familias normales también se generaliza para producir uniformizadores f para dominios multiconexos para rendijas paralelas finitas dominios, donde las rendijas tienen un ángulo θ con respecto al eje x. Por lo tanto, si G es un dominio en ℂ ∪ {∞} que contiene ∞ y está limitado por un número finito de Contornos de Jordan, hay una función univalente única f en G con f(z) = z⁻¹ + a₁ z + a₂ < i>z² ⋅⋅⋅ cerca de ∞, maximizando Re e ^{−2i θ} a₁ y tener imagen f(G) un dominio de hendidura paralela con ángulo θ a la x-eje.

La primera prueba de que los dominios de rendijas paralelas eran dominios canónicos en el caso de conexión múltiple fue dada por David Hilbert en 1909. Jenkins (1958), en su libro sobre funciones univalentes y mapeos conformes, dio un tratamiento basado en el trabajo de Herbert Grötzsch y René de Possel de principios de la década de 1930; fue el precursor de los mapeos cuasiconformales y los diferenciales cuadráticos, más tarde desarrollados como la técnica de la métrica extrema debido a Oswald Teichmüller. Menahem Schiffer dio un tratamiento basado en principios variacionales muy generales, resumidos en discursos que dio al Congreso Internacional de Matemáticos en 1950 y 1958. En un teorema sobre "variación de frontera" (para distinguirlo de la "variación interior"), derivó una ecuación diferencial y una desigualdad, que se basó en una caracterización teórica de la medida de los segmentos de línea recta debido a Ughtred Shuttleworth Haslam-Jones de 1936. Haslam-Jones& #39; la prueba se consideró difícil y solo Schober y Campbell-Lamoureux le dieron una prueba satisfactoria a mediados de la década de 1970.

Schiff (1993) proporcionó una prueba de uniformización para dominios de rendijas paralelas que era similar al teorema de mapeo de Riemann. Para simplificar la notación, se tomarán rendijas horizontales. En primer lugar, por la desigualdad de Bieberbach, cualquier función univalente g(z) = z + c z² + ··· con z en el disco de la unidad abierta debe satisfacer |c| ≤ 2. En consecuencia, si f(z) = z + a₀ + a₁ z ^–1 + ··· es univalente en | z | > R, luego | f(z) – a₀ | ≤ 2 | z |: tomar S > R, conjunto g(z) = S [f(S/z) – b]^–1 para < span class="texhtml">z en el disco de la unidad, eligiendo b para que el denominador no esté en ninguna parte -desaparecer, y aplicar el lema de Schwarz. A continuación, la función f_R(z) = < span class="texhtml">z + R²/z se caracteriza por un & #34;condición extrema" como función univalente única en z > R de la forma z + a₁ z^–1 + ··· que maximiza Re a_{1< /i>}: esta es una consecuencia inmediata del teorema del área de Grönwall, aplicado a la familia de funciones univalentes f(z R) / R en z > 1.

Para demostrar ahora que el dominio multiconexo G ⊂ ℂ ∪ {∞} se puede uniformar mediante un mapeo conforme de hendidura paralela horizontal f(z) = z + a< /i>₁ z^–1 + ···, tomar R lo suficientemente grande como para que ∂G quede en el disco abierto |z | < R. Para S > R, univalencia y la estimación | f(z) | ≤ 2 |z| implica que, si z se encuentra en G con | z | ≤ S, luego | f(z) | ≤ 2S. Dado que la familia de f univalentes está limitada localmente en G {∞}, por el teorema de Montel forman una familia normal. Además, si f_n está en la familia y tiende a f uniformemente en compacta, entonces f también está en la familia y cada coeficiente de Laurent la expansión en ∞ de f_n tiende al coeficiente correspondiente de f. Esto se aplica en particular al coeficiente: por compacidad hay un f univalente que maximiza Re a ₁. Para comprobar que f(z) = z + a₁ + ⋅⋅⋅ es la transformación de rendija paralela requerida, suponga reductio ad absurdum que f(G) = G₁< /span> tiene un componente compacto y conectado K de su límite que no es una rendija horizontal. Entonces el complemento G₂ de K en ℂ ∪ {∞} simplemente se conecta con G₂ ⊃ < i>G₁. Según el teorema de mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme h(w) = < i>w + b₁ w⁻¹ + ⋅⋅⋅ tal que h(G₂) es ℂ con una ranura horizontal eliminada. Entonces h(f(z)) = z + (a₁ + b₁)z⁻¹ + ⋅⋅⋅ y por lo tanto Re (a₁ + b₁) ≤ Re a₁ por la extremalidad de < i>f. Por lo tanto, Re b₁ ≤ 0. Por otro lado, por el teorema de mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme k(w) = w + c₀ + c₁ w< /i>⁻¹ + ⋅⋅⋅ de |w| > S sobre G₂. Entonces f(k(w)) − c₀ = w + (a₁ + c₁) w⁻¹ + ⋅⋅⋅. Por la maximalidad estricta para el mapeo de rendijas en el párrafo anterior Re c₁ < Re (b₁ + c₁), de modo que Re b₁ > 0. Las dos desigualdades para Re b₁ son contradictorias.

La prueba de la unicidad de la transformación de rendija paralela conforme se da en Goluzin (1969) y Grunsky (1978). Aplicando la inversa de la transformada de Joukowsky h al dominio de la rendija horizontal, se puede suponer que G es un dominio delimitado por el círculo unitario C₀ y contiene arcos analíticos C_i y puntos aislados (las imágenes de otra la inversa de la transformada de Joukowsky bajo la otra rendijas horizontales paralelas). Por lo tanto, tomando un a fijo en G, hay un mapeo univalente F₀(w) = < i>h ∘ f (w) = (w - < i>a)⁻¹ + a₁ (w − a) + a₂(w − a)² + ⋅⋅ ⋅ con imagen un dominio de hendidura horizontal. Suponga que F₁(w) es otro uniformizador con F₁(w) = (w - a)⁻¹ + b₁ (< i>w − a) + b₂( w − a)² + ⋅⋅⋅. Las imágenes bajo F₀ o F₁ de cada C_i tienen un Las coordenadas y también lo son los segmentos horizontales. Por otro lado F₂(w) = F₀(w) − F₁(w< /i>) es holomorfo en G. Si es constante, entonces debe ser idénticamente cero ya que F₂(a) = 0. Suponga que F₂ no es constante. Luego, por suposición F₂(C_i) son todas líneas horizontales. Si t no está en una de estas líneas, el principio del argumento de Cauchy muestra que el número de soluciones de F₂(w) = t en G es cero (cualquier t eventualmente será rodeado por contornos en G cerca de C_i 's). Esto contradice el hecho de que la función holomorfa no constante F₂ es un mapeo abierto.

Prueba de croquis a través del problema de Dirichlet

Dada U y un punto z₀ en U, queremos construir una función f que asigna U al disco unitario y z₀ a 0. Para este esquema, supondremos que U está acotado y su límite es suave, como lo hizo Riemann. Escribe

${displaystyle f(z)=(z-z_{0}e^{g(z)}$

donde g = u + iv es alguna (por determinar) función holomorfa con parte real u y parte imaginaria v. Entonces queda claro que z₀ es el único cero de f. Requerimos |f(z)| = 1 para z ∈ ∂U, entonces necesitamos

${displaystyle u(z)=-log Silencio.$

en el límite. Dado que u es la parte real de una función holomorfa, sabemos que u es necesariamente una función armónica; es decir, satisface la ecuación de Laplace.

La pregunta entonces es: ¿existe una función armónica de valor real u que esté definida en todas las U y tenga la condición límite dada? La respuesta positiva la proporciona el principio de Dirichlet. Una vez establecida la existencia de u, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la función holomorfa g nos permiten encontrar v (este argumento depende de la suposición de que U sea simplemente conexo). Una vez que se han construido u y v, hay que comprobar que la función resultante f tiene todas las propiedades requeridas.

Teorema de uniformización

El teorema de mapeo de Riemann se puede generalizar al contexto de las superficies de Riemann: si U es un subconjunto abierto no vacío simplemente conectado de una superficie de Riemann, entonces U es biholomorfa a una de las siguientes: la esfera de Riemann, C o D. Esto se conoce como el teorema de uniformización.

Teorema de mapeo de Riemann suave

En el caso de un dominio acotado simplemente conectado con un límite suave, la función de mapeo de Riemann y todas sus derivadas se extienden por continuidad hasta el cierre del dominio. Esto se puede probar utilizando las propiedades de regularidad de las soluciones del problema del valor límite de Dirichlet, que se derivan de la teoría de los espacios de Sobolev para dominios planos o de la teoría potencial clásica. Otros métodos para probar el teorema de mapeo suave de Riemann incluyen la teoría de las funciones del núcleo o la ecuación de Beltrami.

Algoritmos

El mapeo conforme computacional se destaca en problemas de análisis aplicado y física matemática, así como en disciplinas de ingeniería, como el procesamiento de imágenes.

A principios de la década de 1980 se descubrió un algoritmo elemental para computar mapas conformales. Puestos ${displaystyle z_{0},ldotsz_{n}$ en el plano, el algoritmo calcula un mapa conformativo explícito del disco unitario en una región atada por una curva Jordan ${displaystyle gamma }$ con ${displaystyle z_{0},ldotsz_{n}in gamma.}$ Este algoritmo converge para las regiones de Jordania en el sentido de límites uniformemente cercanos. Hay estimaciones uniformes correspondientes sobre la región cerrada y el disco cerrado para las funciones de mapeo y sus inversos. Se obtienen estimaciones mejoradas si los puntos de datos se basan en un ${displaystyle C^{1}$ curva o un K-quasicircle. El algoritmo fue descubierto como un método aproximado para la soldadura conformal; sin embargo, también se puede ver como una discretización de la ecuación diferencial Loewner.

Lo siguiente es conocido acerca de la aproximación numérica del mapeo conforme entre dos dominios planos.

Resultados positivos:

• Hay un algoritmo A que computa el mapa uniformador en el siguiente sentido. Vamos ${displaystyle Omega }$ ser un dominio conectado simplemente, y ${displaystyle w_{0}in Omega.}$ Se proporciona a A por un oráculo que lo representa en un sentido pixelado (es decir, si la pantalla se divide en ${displaystyle 2^{n}times 2^{n}$ píxeles, el oráculo puede decir si cada píxel pertenece al límite o no). Luego A compute los valores absolutos del mapa de uniformización ${displaystyle phi:(Omegaw_{0})to (D,0)}$ con precisión ${displaystyle 2^{-n}$ en el espacio atado por ${displaystyle Ccdot n^{2}$ y tiempo ${displaystyle 2^{O(n)}$, donde C depende sólo del diámetro ${displaystyle Omega }$ y ${displaystyle d(w_{0},partial Omega).}$ Además, el algoritmo calcula el valor de φ(w) con precisión ${displaystyle 2^{-n}$ mientras ${displaystyle Silenciophi (w) sometidatraducido1-2^{-n}$ Además, Una consulta ΩΩ con precisión de la mayoría ${displaystyle 2^{-O(n)}$ En particular, si יΩ es el espacio polinomio computable en el espacio ${displaystyle n^{a}$ para alguna constante ${displaystyle ageq 1}$ y tiempo ${displaystyle T(n) won2^{O(n^{a}}}$ entonces A se puede utilizar para calcular el mapa de uniformización en el espacio ${displaystyle Ccdot n^{max(a,2)}$ y tiempo ${displaystyle 2^{O(n^{a}}}$

• Hay un algoritmo A′ que computa el mapa uniformado en el siguiente sentido. Vamos ${displaystyle Omega }$ ser un dominio conectado simplemente, y ${displaystyle w_{0}in Omega.}$ Supongamos eso para algunos ${displaystyle n=2^{k}$ ΩΩ se da a A′ con precisión ${fnMicroc} {1}{n}}$ por ${displaystyle O(n^{2}}$ Pixels. Entonces... A′ calcula los valores absolutos del mapa uniformado ${displaystyle phi:(Omegaw_{0})to (D,0)}$ dentro de un error de ${displaystyle O(1/n)}$ en espacio aleatorizado ${displaystyle O(k)}$ y tiempo polinomio en ${displaystyle n=2^{k}$ (es decir, por una BPL)n)-máquina). Además, el algoritmo calcula el valor de ${displaystyle phi (w)}$ con precisión ${fnMicroc} {1}{n}}$ mientras ${displaystyle Silenciophi (w) {1}{n}.}$

Resultados negativos:

• Supongamos que hay un algoritmo A que dio un dominio simplemente conectado ${displaystyle Omega }$ con un límite lineal computable y un radio interior 1/2 y un número ${displaystyle n}$ computa el primero ${displaystyle 20n}$ dígitos del radio conformal ${displaystyle r(Omega0),}$ entonces podemos usar una llamada a A para resolver cualquier instancia de un #SAT(nCon un tiempo lineal. En otras palabras, #P es reducible poli-time para calcular el radio conformal de un conjunto.

• Considere el problema de calcular el radio conformal de un dominio simplemente conectado ${displaystyle ¡Oh!$ donde el límite ${displaystyle Omega }$ se da con precisión ${displaystyle 1/n}$ por una colección explícita de ${displaystyle O(n^{2}}$ Pixels. Denota el problema de computar el radio con precisión ${displaystyle 1/n^{c}$ por ${displaystyle CONF(n,n^{c}).}$ Entonces, ${displaystyle MAJ_{n}$ es AC0 reducible a ${displaystyle CONF(n,n^{c}}$ para cualquier ${displaystyle 0 segnunció {tfrac {1}{2}}$