Método de fluxiones
Método de Fluxions es un tratado matemático por Sir Isaac Newton que sirvió como la primera formulación escrita de cálculo moderno. El libro se completó... (leer más)
En el campo matemático del análisis real, el teorema de convergencia monótona es cualquiera de una serie de teoremas relacionados que prueban la convergencia de secuencias monótonas (secuencias que no son decrecientes ni crecientes) que son también acotado. Informalmente, los teoremas establecen que si una sucesión es creciente y está acotada por un supremo, entonces la sucesión convergerá al supremo; del mismo modo, si una sucesión es decreciente y está acotada por debajo por un ínfimo, convergerá al ínfimo.
Si una secuencia de números reales es creciente y está acotada arriba, entonces su supremo es el límite.
Vamos ()an)n▪ ▪ N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} ser tal secuencia, y dejar {}an}{displaystyle {fn}} ser el conjunto de términos de ()an)n▪ ▪ N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N}. Por supuesto, {}an}{displaystyle {fn}} no está vacío y está atado arriba. Por la propiedad menos alta de números reales, c=Supn{}an}{textstyle c=sup ¿Qué? existe y es finito. Ahora, por todos 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>, existe N{displaystyle N} tales que c-varepsilon }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">aN■c− − ε ε {displaystyle a_{N} confíac-varepsilon } c - varepsilon " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1b6f8ab2625e10600e3c380492a09fba0f1df5" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.95ex; height:2.343ex;"/>, ya que de otro modo c− − ε ε {displaystyle c-varepsilon } es un límite superior de {}an}{displaystyle {fn}}, que contradice la definición de c{displaystyle c}. Entonces... ()an)n▪ ▪ N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} está aumentando, y c{displaystyle c} es su límite superior, por cada N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■N{displaystyle n confiadoN}N" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6592abd10dbd8e25e84efd66c5f4db57d41fe752" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.557ex; height:2.176ex;"/>, tenemos <math alttext="{displaystyle |c-a_{n}|leq |c-a_{N}|Silencioc− − anSilencio≤ ≤ Silencioc− − aNSilencio.ε ε {displaystyle Silencio. Silencio.<img alt="{displaystyle |c-a_{n}|leq |c-a_{N}|. Por consiguiente, por definición, el límite ()an)n▪ ▪ N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} es Supn{}an}.{textstyle sup.
Si una secuencia de números reales es decreciente y está acotada por debajo, entonces su ínfimo es el límite.
La prueba es similar a la prueba para el caso cuando la sucesión es creciente y está acotada arriba,
Si ()an)n▪ ▪ N{displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} es una secuencia monotona de números reales (es decir, si an≤an+ 1 para todos n ≥ 1 o an≥an+ 1 para todos n ≥ 1), entonces esta secuencia tiene un límite finito si y sólo si la secuencia está ligada.
Si para todos los números naturales j y k, aj,k es un número real no negativo y aj,k ≤ aj+1,k, entonces
El teorema establece que si tienes una matriz infinita de números reales no negativos tal que
entonces el límite de las sumas de las filas es igual a la suma de la serie cuyo término k viene dado por el límite de la columna k (que también es su supremo). La serie tiene una suma convergente si y solo si la secuencia (débilmente creciente) de sumas de filas está acotada y, por lo tanto, es convergente.
Como ejemplo, considere la serie infinita de filas
donde n tiende a infinito (el límite de esta serie es e). Aquí la entrada de la matriz en la fila n y la columna k es
las columnas (fijo k) están aumentando débilmente con n y obligados (por 1/k!), mientras que las filas sólo tienen finitamente muchos términos no cero, por lo que la condición 2 está satisfecho; el teorema ahora dice que usted puede calcular el límite de las sumas de la fila ()1+1/n)n{displaystyle (1+1/n)}{n} tomando la suma de los límites de la columna,1k!{fnMicroc} !.
El siguiente resultado se debe a Beppo Levi, que demostró una ligera generalización en 1906 de un resultado anterior de Henri Lebesgue. En lo que sigue, BR≥ ≥ 0{displaystyle operatorname {Mathcal {B} {R} _{geq. denota los σ σ {displaystyle sigma }- álgebra de Borel se pone en [0,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle [0,+infty]. Por definición, BR≥ ≥ 0{displaystyle operatorname {Mathcal {B} {R} _{geq. contiene el conjunto {}+JUEGO JUEGO }{displaystyle {+infty}} y todos los subconjuntos de Borel R≥ ≥ 0.{displaystyle mathbb {R} _{geq }
Vamos ()Ω Ω ,.. ,μ μ ){displaystyle (OmegaSigmamu)} ser un espacio de medida, y X▪ ▪ .. {displaystyle Xin Sigma }. Considere una secuencia no-disminución de sentido {}fk}k=1JUEGO JUEGO {displaystyle {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f}} {f} {f} {f} {f}}} {f}f}}}}} {f}}}}\\\f}}}\\\\f}}}\\\\f}}}\\\\\\\\\\\f}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ de ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Funciones no negativas mensurables fk:X→ → [0,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle [0,+]Por cada uno k≥ ≥ 1{displaystyle {kgeq 1}} y todos x▪ ▪ X{displaystyle {xin X}},
Establecer el límite de sentido de la secuencia {}fn}{displaystyle {f}} para ser f{displaystyle f}. Eso es, para todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X},
Entonces... f{displaystyle f} es ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- mensurable y
Observación 1. Las integrales pueden ser finitas o infinitas.
Observación 2. El teorema sigue siendo cierto si sus suposiciones sostienen μ μ {displaystyle mu }- Casi en todas partes. En otras palabras, es suficiente que haya un conjunto nulo N{displaystyle N} tal que la secuencia {}fn()x)}{displaystyle {f_{n}(x)}} no disminuye para cada x▪ ▪ X∖ ∖ N.{displaystyle {xin Xsetminus N} Para ver por qué esto es cierto, empezamos con una observación que permite la secuencia {}fn}{displaystyle {f}} to pointwise non-decrease almost everywhere causes its pointwise limit f{displaystyle f} para ser indefinido en algún conjunto null N{displaystyle N}. En ese conjunto nulo, f{displaystyle f} puede ser definido arbitrariamente, por ejemplo como cero, o de cualquier otra manera que preserve la mensurabilidad. Para ver por qué esto no afectará el resultado del teorema, note que desde μ μ ()N)=0,{displaystyle {mu (N)=0} tenemos, por cada uno k,{displaystyle k,}
siempre que f{displaystyle f} es ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Medible. (Estas igualdades se derivan directamente de la definición de Lebesgue integral para una función no negativa).
Observación 3. Bajo los supuestos del teorema,
(Tenga en cuenta que la segunda cadena de igualdades se deriva de la Observación 5).
Comentario 4. La siguiente prueba no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí. El teorema, por lo tanto, se puede utilizar para demostrar otras propiedades básicas, como la linealidad, pertenecientes a la integración de Lebesgue.
Nota 5 (monotonicidad de Lebesgue integral). En la prueba siguiente, aplicamos la propiedad monotónica de Lebesgue integral a funciones no negativas solamente. Específicamente (véase la Observación 4), dejar que las funciones f,g:X→ → [0,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle f,g:Xto [0,+infty] Ser ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Medible.
Prueba. Denote SF ()h){displaystyle operatorname {SF} (h)} el conjunto de simple ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Funciones mensurables s:X→ → [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle s:Xto [0,infty]} tales que 0≤ ≤ s≤ ≤ h{displaystyle 0leq sleq h} en todas partes X.{displaystyle X.}
1. Desde f≤ ≤ g,{displaystyle fleq g,} tenemos
Por definición de integral de Lebesgue y las propiedades de supremum,
2. Vamos 1X1{displaystyle {mathbf} } ser la función indicadora del conjunto X1.{displaystyle X_{1}. Puede deducirse de la definición de Lebesgue integral que
si lo notamos, por cada s▪ ▪ SF()f⋅ ⋅ 1X1),{displaystyle sin {rm}(fcdot {mathbf} {1}_{X_{1}}}} s=0{displaystyle s=0} fuera de X1.{displaystyle X_{1}. Combinado con la propiedad anterior, la desigualdad f⋅ ⋅ 1X1≤ ≤ f{displaystyle fcdot {mhm2 {1}_{X_{1}leq f} implicación
Esta demostración no se basa en el lema de Fatou; sin embargo, explicamos cómo se podría usar ese lema. Aquellos que no estén interesados en esta independencia de la prueba pueden omitir los resultados intermedios a continuación.
Lemma 1. Vamos ()Ω Ω ,.. ,μ μ ){displaystyle (OmegaSigmamu)} ser un espacio mensurable. Considerar un simple ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- función no negativa mensurable s:Ω Ω → → R≥ ≥ 0{displaystyle s: Omega to {Mathbb {R} _{geq.. Para un subconjunto S⊆ ⊆ Ω Ω {displaystyle Ssubseteq Omega }, definir
Entonces... .. {displaystyle nu } es una medida Ω Ω {displaystyle Omega }.
Monotonicity sigue de la Observación 5. Aquí, sólo probaremos la aditividad contable, dejando el resto al lector. Vamos S=⋃ ⋃ i=1JUEGO JUEGO Si{displaystyle S=bigcup - ¿Por qué? }S_{i}, donde todos los conjuntos Si{displaystyle S_{i} son dos veces descompuestos. Debido a la simplicidad,
para algunas constantes finitas no negativas ci▪ ▪ R≥ ≥ 0{displaystyle c_{i}in # Mathbb {R} # y pares conjuntos descomunales Ai▪ ▪ .. {displaystyle A_{i}in Sigma } tales que ⋃ ⋃ i=1nAi=Ω Ω {displaystyle bigcup ¿Qué? Omega. Por definición de Lebesgue integral,
Desde todos los juegos Sj∩ ∩ Ai{displaystyle S_{j}cap A_{i} son dos veces destilados, la aditividad contable μ μ {displaystyle mu }nos da
Dado que todos los sumandos son no negativos, la suma de la serie, ya sea que esta suma sea finita o infinita, no puede cambiar si el orden de la suma cambia. Por esta razón,
según sea necesario.
La siguiente propiedad es una consecuencia directa de la definición de medida.
Lemma 2. Vamos μ μ {displaystyle mu } ser una medida, y S=⋃ ⋃ i=1JUEGO JUEGO Si{displaystyle S=bigcup - ¿Por qué? }S_{i}, donde
es una cadena que no disminuye con todos sus conjuntos μ μ {displaystyle mu }- Medible. Entonces...
Paso 1. Comenzamos mostrando que f{displaystyle f} es ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #-Medible.
Nota. Si usáramos el lema de Fatou, la mensurabilidad se seguiría fácilmente de la Observación 3(a).
Para hacer esto sin usando la lema de Fatou, es suficiente mostrar que la imagen inversa de un intervalo [0,t]{displaystyle [0,t]} menores f{displaystyle f} es un elemento del sigma-álgebra .. {displaystyle Sigma } on X{displaystyle X}, porque (cerrado) intervalos generan el álgebra de sigma Borel en los reales. Desde [0,t]{displaystyle [0,t]} es un intervalo cerrado, y, para cada k{displaystyle k}, 0≤ ≤ fk()x)≤ ≤ f()x){displaystyle 0leq f_{k}(x)leq f(x)},
Por lo tanto,
Ser la imagen inversa de un Borel establecido bajo un ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Función mensurable fk{displaystyle f_{k}, cada conjunto en la intersección contable es un elemento .. {displaystyle Sigma }. Desde σ σ {displaystyle sigma }- álgebras son, por definición, cerradas bajo intersecciones contables, esto muestra que f{displaystyle f} es ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- mensurable, y el integral ∫ ∫ Xfdμ μ {displaystyle textstyle int ¿Por qué? está bien definido (y posiblemente infinito).
Paso 2. Primero demostraremos que ∫ ∫ Xfdμ μ ≥ ≥ limk∫ ∫ Xfkdμ μ .{displaystyle textstyle int ¿Qué? X}f,dmu geq lim _{k}int ¿Qué?
La definición de f{displaystyle f} monotónica {}fk}{displaystyle {f}} implicación f()x)≥ ≥ fk()x){displaystyle f(x)geq f_{k}(x)}, por cada k{displaystyle k} y todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X}. Por monotónica (o, más precisamente, su versión más estrecha establecida en la Observación 5; véase también la Observación 4) de Lebesgue integral,
y
Tenga en cuenta que el límite por la derecha existe (finito o infinito) porque, debido a la monotonicidad (ver Observación 5 y Observación 4), la secuencia no es decreciente.
Fin del Paso 2.
Ahora demostramos la desigualdad inversa. Buscamos demostrar que
Prueba usando el lema de Fatou. Según la Observación 3, la desigualdad que queremos probar es equivalente a
Pero esto último se sigue inmediatamente del lema de Fatou y la prueba está completa.
Prueba independiente. Para demostrar la desigualdad sin Usando el lema de Fatou, necesitamos una maquinaria extra. Denote SF ()f){displaystyle operatorname {SF} (f)} el conjunto de simple ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- Funciones mensurables s:X→ → [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle s:Xto [0,infty]} tales que 0≤ ≤ s≤ ≤ f{displaystyle 0leq sleq f} on X{displaystyle X}.
Paso 3. Dada una simple función s▪ ▪ SF ()f){displaystyle sin operatorname {SF} (f)} y un número real t▪ ▪ ()0,1){displaystyle tin (0,1)}, definir
Entonces... Bks,t▪ ▪ .. {displaystyle B_{k} {s,t}in Sigma }, Bks,t⊆ ⊆ Bk+1s,t{displaystyle B_{k} {s,t}subseteq B_{k+1}, y X=⋃ ⋃ kBks,t{displaystyle textstyle X=bigcup ¿Qué?.
Paso 3a. Para probar la primera reclamación, dejemos s=.. i=1mci⋅ ⋅ 1Ai{displaystyle textstyle s=sum ¿Qué? {fnMitbf} }, para una colección finita de conjuntos desmontables pares Ai▪ ▪ .. {displaystyle A_{i}in Sigma } tales que X=∪ ∪ i=1mAi{displaystyle textstyle X=cup ¿Qué?, algunas (finitas) constantes no negativas ci▪ ▪ R≥ ≥ 0{displaystyle c_{i}in # Mathbb {R} #, y 1Ai{displaystyle {mathbf} } denotando la función indicadora del conjunto Ai{displaystyle A_{i}.
Por todos x▪ ▪ Ai,{displaystyle xin A_{i},} t⋅ ⋅ s()x)≤ ≤ fk()x){displaystyle tcdot s(x)leq f_{k}(x)} si y sólo si fk()x)▪ ▪ [t⋅ ⋅ ci,+JUEGO JUEGO ].{displaystyle f_{k}(x)in [tcdot c_{i},+infty ].} Dado que los conjuntos Ai{displaystyle A_{i} son dos veces disyuntiva,
Desde la imagen previa fk− − 1()[t⋅ ⋅ ci,+JUEGO JUEGO ]){displaystyle ¿Qué? del conjunto Borel [t⋅ ⋅ ci,+JUEGO JUEGO ]{displaystyle [tcdot c_{i},+infty] bajo la función mensurable fk{displaystyle f_{k} es mensurable, y σ σ {displaystyle sigma }- los álgebras, por definición, se cierran bajo intersección finita y los sindicatos, la primera afirmación sigue.
Paso 3b. Para probar la segunda reclamación, note que, por cada k{displaystyle k} y todos x▪ ▪ X{displaystyle xin X}, fk()x)≤ ≤ fk+1()x).{displaystyle f_{k}(x)leq f_{k+1}(x).}
Paso 3c. Para probar la tercera afirmación, demostramos que X⊆ ⊆ ⋃ ⋃ kBks,t{displaystyle textstyle Xsubseteq bigcup ¿Qué?.
De hecho, si, al contrario, X⊈⋃ ⋃ kBks,t{displaystyle textstyle Xnot subseteq bigcup _{k}B_{k}{s,t}, entonces un elemento
existe tal <math alttext="{displaystyle f_{k}(x_{0})fk()x0).t⋅ ⋅ s()x0){displaystyle f_{k}(x_{0})Seleccionadocdot s(x_{0}<img alt="{displaystyle f_{k}(x_{0}), por cada k{displaystyle k}. Tomando el límite k→ → JUEGO JUEGO {displaystyle kto infty}, tenemos
Pero por suposición inicial, s≤ ≤ f{displaystyle sleq f}. Esto es una contradicción.
Paso 4. Para cada simple ().. ,BR≥ ≥ 0){displaystyle (Sigmaoperatorname {mathcal {B} {R} _{geq #- función no negativa mensurable s2{displaystyle s_{2},
Para probar esto, definir .. ()S)=∫ ∫ Ss2dμ μ {displaystyle textstyle nu (S)=int ¿Qué?. Por Lemma 1, .. ()S){displaystyle nu (S)} es una medida Ω Ω {displaystyle Omega }. Por "continuidad desde abajo" (Lema 2),
según sea necesario.
Paso 5. Ahora lo demostramos, por cada uno s▪ ▪ SF ()f){displaystyle sin operatorname {SF} (f)},
De hecho, utilizando la definición de Bks,t{displaystyle B_{k} {s,t}, la no negativa de fk{displaystyle f_{k}, y la monotónica de Lebesgue integral (ver la observación 5 y la observación 4), tenemos
para todos k≥ ≥ 1{displaystyle kgeq 1}. De conformidad con la etapa 4, como k→ → JUEGO JUEGO {displaystyle kto infty}, la desigualdad se convierte
Tomando el límite t↑ ↑ 1{displaystyle tuparrow 1} rendimientos
según sea necesario.
Paso 6. Ahora podemos demostrar la desigualdad inversa, es decir,
De hecho, por no negativo, f+=f{displaystyle F_{+}=f} y f− − =0.{displaystyle F_{-}=0.} Para el cálculo a continuación, la no negativa f{displaystyle f} es esencial. Aplicando la definición de Lebesgue integral y la desigualdad establecida en el Paso 5, tenemos
La prueba está completa.
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