Regla de la mano derecha

Encontrar la dirección del producto de la cruz por la regla de la mano derecha

En matemáticas y física, la regla de la mano derecha es un mnemotécnico común para comprender la orientación de los ejes en el espacio tridimensional. También es un método conveniente para encontrar rápidamente la dirección del producto cruzado de 2 vectores. Más que un hecho matemático, es una convención, estrechamente relacionada con la convención de que la rotación alrededor de un eje vertical es positiva si es en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativa si es en el sentido de las agujas del reloj.

La mayoría de las diversas reglas de la mano izquierda y derecha surgen del hecho de que los tres ejes del espacio tridimensional tienen dos orientaciones posibles. Uno puede ver esto manteniendo las manos hacia afuera y juntas, con las palmas hacia arriba, con los pulgares extendidos hacia la derecha y hacia la izquierda, y los dedos haciendo un movimiento curvo desde el exterior hacia arriba. (Tenga en cuenta que la imagen de la mano no es una ilustración de esto). Si el movimiento de curvatura de los dedos representa un movimiento desde el primer eje (x) al segundo (y -eje), luego el tercero (eje z) puede apuntar a lo largo de cualquiera de los pulgares. Las reglas de mano izquierda y mano derecha surgen cuando se trata de ejes de coordenadas. La regla se puede usar para encontrar la dirección del campo magnético, la rotación, las espirales, los campos electromagnéticos, las imágenes especulares y los enantiómeros en matemáticas y química.

La secuencia suele ser: dedo índice, dedo medio, pulgar. Otras dos secuencias también funcionan porque preservan el ciclo:

• Dedo medio, pulgar, dedo índice.
• Tumb, dedo índice, dedo medio (por ejemplo, ver la novena serie del billete suizo de 200 francos).

Orientación de la curva y vectores normales

En cálculo vectorial, es necesario relacionar el vector normal a una superficie con la curva que lo limita. Para una curva orientada positivamente C, delimitando una superficie S, la normal a la superficie n̂ se define de tal manera que el pulgar derecho apunta en la dirección de n̂ , y los dedos se curvan a lo largo de la orientación de la curva límite C.

Regla de mano derecha para orientación curva.

Coordenadas

Coordenadas zurdas a la izquierda,
coordenadas derecha a la derecha.

Las coordenadas suelen ser diestras.

Para las coordenadas diestros, el pulgar derecho apunta a lo largo del eje z en la dirección positiva y el movimiento de curvatura de los dedos de la mano derecha representa un movimiento desde el primer eje o eje x hasta el segundo eje o eje y. Cuando se ve desde arriba o desde el eje z, el sistema es en sentido contrario a las agujas del reloj.

Para las coordenadas zurdas, el pulgar izquierdo apunta a lo largo del eje z en la dirección positiva y el movimiento de curvatura de los dedos de la mano izquierda representa un movimiento desde el primer eje o eje x hasta el segundo eje o eje y. Cuando se ve desde arriba o desde el eje z, el sistema es en el sentido de las agujas del reloj.

Intercambiar las etiquetas de cualquiera de los dos ejes invierte la lateralidad. Al invertir la dirección de un eje (o de los tres ejes) también se invierte la lateralidad. (Si los ejes no tienen una dirección positiva o negativa, la lateralidad no tiene sentido). Invertir dos ejes equivale a una rotación de 180° alrededor del eje restante.

Rotaciones

Un cuerpo giratorio

Dirección convencional del eje de un cuerpo giratorio

En matemáticas, un cuerpo giratorio suele representarse mediante un pseudovector a lo largo del eje de rotación. La longitud del vector da la velocidad de rotación y la dirección del eje da la dirección de rotación de acuerdo con la regla de la mano derecha: los dedos derechos curvados en la dirección de rotación y el pulgar derecho apuntando en la dirección positiva del eje. Esto permite algunos cálculos sencillos utilizando el producto vectorial vectorial. Ninguna parte del cuerpo se mueve en la dirección de la flecha del eje. Por coincidencia, si el pulgar apunta hacia el norte, la Tierra gira en una dirección progresiva de acuerdo con la regla de la mano derecha. Esto hace que el Sol, la Luna y las estrellas parezcan girar hacia el oeste de acuerdo con la regla de la mano izquierda.

Hélices y tornillos

Tornillos de mano izquierda y derecha

Una hélice es una línea curva formada por un punto que gira alrededor de un centro mientras el centro se mueve hacia arriba o hacia abajo en el eje z. Las hélices son para diestros o zurdos, con los dedos doblados dando la dirección de rotación y el pulgar dando la dirección de avance a lo largo del eje z.

Las roscas de un tornillo son helicoidales y, por lo tanto, los tornillos pueden ser de mano derecha o izquierda. La regla es la siguiente: si un tornillo es para diestros (la mayoría de los tornillos lo son), apunte con el pulgar derecho en la dirección en la que desea que vaya el tornillo y gírelo en la dirección de los dedos derechos doblados.

Electromagnetismo

• Cuando la electricidad (actualidad convencional) fluye en un alambre recto largo, crea un campo magnético circular o cilíndrico alrededor del alambre según la regla de la mano derecha. La corriente convencional, que es lo opuesto al flujo real de electrones, es un flujo de cargas positivas a lo largo del positivo z-Eje. La dirección convencional de una línea magnética es dada por una aguja de brújula.
• Electromagnet: El campo magnético alrededor de un alambre es bastante débil. Si el alambre es coilado en un helix, todas las líneas de campo dentro del punto helix en la misma dirección y cada bobina sucesiva refuerza a los demás. El avance del helix, la parte no circular de la corriente, y las líneas de campo todo apuntan en el positivo z dirección. Puesto que no hay monopolio magnético, las líneas de campo salen de los +z terminar, bucle alrededor fuera del helix, y volver a entrar en el −z Fin. Los +z final donde la salida de líneas se define como el polo norte. Si los dedos de la mano derecha se curvan en la dirección del componente circular de la corriente, el pulgar derecho apunta al polo norte.
• Fuerza Lorentz: Si una carga eléctrica positiva se mueve a través de un campo magnético, experimenta una fuerza según la fuerza Lorentz, con la dirección dada por la regla de la mano derecha. Si el rizo de los dedos derecho representa una rotación desde la dirección que la carga se mueve hacia la dirección del campo magnético, entonces la fuerza está en la dirección del pulgar derecho. Debido a que la carga se mueve, la fuerza hace que el camino de partículas se doble. La fuerza de flexión es computada por el vector cross-product. Esto significa que la fuerza de flexión aumenta con la velocidad de la partícula y la fuerza del campo magnético. La fuerza es máxima cuando la dirección de partículas y los campos magnéticos están en ángulos rectos, está menos en cualquier otro ángulo y es cero cuando la partícula se mueve paralelamente al campo.

Regla de agarre de la mano derecha de Ampère

Predicción de la dirección del campo (B), dado que la corriente I flujos en la dirección del pulgar

Encontrar la dirección del campo magnético (B) para una bobina eléctrica

Regla de agarre de la mano derecha de Ampère (también llamada regla del tornillo de la mano derecha, regla de la taza de café o regla del sacacorchos) se utiliza cuando se debe definir un vector (como el vector de Euler) para representar la rotación de un cuerpo, un campo magnético o un fluido, o viceversa, cuando es necesario definir un vector de rotación para comprender cómo se produce la rotación. Revela una conexión entre la corriente y las líneas de campo magnético en el campo magnético que creó la corriente.

André-Marie Ampère, físico y matemático francés, por quien se nombró la regla, se inspiró en Hans Christian Ørsted, otro físico que experimentó con agujas magnéticas. Ørsted observó que las agujas se arremolinaban cuando estaban cerca de un cable que transportaba corriente eléctrica y concluyó que la electricidad podía crear campos magnéticos.

Solicitud

Esta regla se usa en dos aplicaciones diferentes de la ley circuital de Ampère:

1. Una corriente eléctrica pasa por un alambre recto. Cuando el pulgar se apunta en la dirección de la corriente convencional (de positivo a negativo), los dedos curled apuntarán en la dirección de las líneas de flujo magnético alrededor del conductor. La dirección del campo magnético (recorrido en contra en lugar de rotación en sentido de reloj de coordenadas al ver la punta del pulgar) es un resultado de esta convención y no un fenómeno físico subyacente.
2. Una corriente eléctrica pasa a través de un solenoide, dando lugar a un campo magnético. Al envolver la mano derecha alrededor del solenoide con los dedos en la dirección de la corriente convencional, el pulgar apunta en la dirección del polo norte magnético.

Productos cruzados

Ilustración de la regla de la derecha sobre la novena serie del billete suizo de 200 francos.

El producto vectorial de dos vectores suele tomarse en física e ingeniería. Por ejemplo, en estática y dinámica, el par es el producto cruzado de la longitud de la palanca y la fuerza, mientras que el momento angular es el producto cruzado de la distancia y el momento lineal. En electricidad y magnetismo, la fuerza ejercida sobre una partícula cargada en movimiento cuando se mueve en un campo magnético B viene dada por:

F=qv× × B{displaystyle mathbf {F} =qmathbf {v} times mathbf {B}

La dirección del producto vectorial se puede encontrar mediante la aplicación de la regla de la mano derecha de la siguiente manera:

1. El dedo índice apunta en la dirección del vector de velocidad v.
2. El dedo medio apunta en la dirección del vector de campo magnético B.
3. El pulgar apunta en la dirección del producto de la cruz F.

Por ejemplo, para una partícula cargada positivamente que se mueve hacia el norte, en una región donde el campo magnético apunta hacia el oeste, la fuerza resultante apunta hacia arriba.

Aplicaciones

La regla de la mano derecha tiene un uso generalizado en la física. A continuación se da una lista de cantidades físicas cuyas direcciones están relacionadas por la regla de la mano derecha. (Algunos de estos están relacionados solo indirectamente con productos cruzados y usan la segunda forma).

• Para un objeto giratorio, si los dedos de la mano derecha siguen la curva de un punto en el objeto, entonces el pulgar apunta a lo largo del eje de rotación en la dirección del vector de velocidad angular.
• Un par, la fuerza que la causa, y la posición del punto de aplicación de la fuerza.
• Un campo magnético, la posición del punto donde se determina, y la corriente eléctrica (o el cambio en el flujo eléctrico) que lo causa.
• Un campo magnético en una bobina de alambre y la corriente eléctrica en el alambre.
• La fuerza de un campo magnético en una partícula cargada, el campo magnético en sí, y la velocidad del objeto.
• La vorticidad en cualquier punto en el campo del flujo de un fluido
• La corriente inducida del movimiento en un campo magnético (conocido como la regla derecha de Fleming).
• El x, Sí. y z vectores de unidad en un sistema de coordenadas cartesiano se puede elegir para seguir la regla de la mano derecha. Los sistemas de coordenadas de mano derecha se utilizan a menudo en cuerpo rígido y cinemática.