Teorema de los cosenos

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En trigonometría, la ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno, regla del coseno, teorema de los cosenos o teorema de al-Kashi) relaciona las longitudes de los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos. Usando la notación como en la Fig. 1, la ley de los cosenos establece ${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma,}$

donde γ denota el ángulo contenido entre los lados de longitud a y b y opuesto al lado de longitud c. Para la misma figura, las otras dos relaciones son análogas: ${displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos alpha,}$ ${displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos beta.}$

La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras, que se cumple solo para triángulos rectángulos: si el ángulo γ es un ángulo recto (de medida 90 grados, oπ/2radianes), entonces cos γ = 0, y por lo tanto la ley de los cosenos se reduce al teorema de Pitágoras: ${ estilo de visualización c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

La ley de los cosenos es útil para calcular el tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y su ángulo encerrado, y para calcular los ángulos de un triángulo si se conocen los tres lados.

Historia

Aunque la noción de coseno aún no se había desarrollado en su época, los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen un teorema geométrico temprano casi equivalente a la ley de los cosenos. Los casos de triángulos obtusos y triángulos acutángulos (correspondientes a los dos casos de coseno negativo o positivo) se tratan por separado en las Proposiciones 12 y 13 del Libro 2. Las funciones trigonométricas y el álgebra (en particular los números negativos) estando ausentes en la época de Euclides, el declaración tiene un sabor más geométrico:

Proposición 12En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que contienen el ángulo obtuso en el doble del rectángulo contenido por uno de los lados alrededor del ángulo obtuso, es decir, aquel sobre el que cae la perpendicular, y la recta cortada por fuera por la perpendicular hacia el ángulo obtuso.— Elementos de Euclides, traducción de Thomas L. Heath.

Usando la notación como en la Fig. 2, la declaración de Euclides se puede representar mediante la fórmula ${displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).}$

Esta fórmula puede transformarse en la ley de los cosenos observando que CH = (CB) cos(π − γ) = −(CB) cos γ. La Proposición 13 contiene un enunciado completamente análogo para los triángulos acutángulos.

Los Elementos de Euclides allanaron el camino para el descubrimiento de la ley de los cosenos. En el siglo XV, Jamshīd al-Kāshī, un matemático y astrónomo persa, proporcionó la primera declaración explícita de la ley de los cosenos en una forma adecuada para la triangulación. Proporcionó tablas trigonométricas precisas y expresó el teorema en una forma adecuada para el uso moderno. A partir de la década de 2020, en Francia, la ley de los cosenos todavía se conoce como Théorème d'Al-Kashi.

El teorema fue popularizado en el mundo occidental por François Viète en el siglo XVI. A principios del siglo XIX, la notación algebraica moderna permitió escribir la ley de los cosenos en su forma simbólica actual.

Usos

El teorema se usa en triangulación, para resolver un triángulo o círculo, es decir, para encontrar (ver Figura 3):

el tercer lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos: ${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}-2abcos gamma }},;}$
los ángulos de un triángulo si se conocen los tres lados: ${displaystyle gamma =arccos left({frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}right),;}$
el tercer lado de un triángulo si se conocen dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (también se puede usar el teorema de Pitágoras para hacer esto si se trata de un triángulo rectángulo): ${displaystyle a=bcos gamma pm {sqrt {c^{2}-b^{2}sin^{2}gamma }},.}$

Estas fórmulas producen errores de redondeo elevados en los cálculos de punto flotante si el triángulo es muy agudo, es decir, si c es pequeño en relación con a y b o γ es pequeño en comparación con 1. Incluso es posible obtener un resultado ligeramente mayor que uno para el coseno de un ángulo.

La tercera fórmula que se muestra es el resultado de resolver a en la ecuación cuadrática a − 2 ab cos γ + b − c = 0. Esta ecuación puede tener 2, 1 o 0 soluciones positivas correspondientes al número de triángulos posibles dados los datos. Tendrá dos soluciones positivas si b sen γ < c < b, solo una solución positiva si c = b sen γ, y ninguna solución si c < b sen γ. Estos diferentes casos también se explican por la ambigüedad de la congruencia lado-lado-ángulo.

Pruebas

Usando la fórmula de la distancia

Considere un triángulo con lados de longitud a, b, c, donde θ es la medida del ángulo opuesto al lado de longitud c. Este triángulo se puede colocar en el sistema de coordenadas cartesianas con el lado a alineado a lo largo del eje "x" y el ángulo θ colocado en el origen, trazando las componentes de los 3 puntos del triángulo como se muestra en la Fig. 4: ${displaystyle A=(bcos theta,bsin theta),B=(a,0),{text{ y }}C=(0,0).}$

Por la fórmula de la distancia, ${displaystyle c={sqrt {(abcos theta)^{2}+(0-bsin theta)^{2}}}.}$

Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando ${displaystyle {begin{alineado}c^{2}&{}=(abcos theta)^{2}+(-bsin theta)^{2}\c^{2}& {}=a^{2}-2abcos theta +b^{2}cos ^{2}theta +b^{2}sin ^{2}theta \c^{2}& {}=a^{2}+b^{2}(sin ^{2}theta +cos ^{2}theta)-2abcos theta \c^{2}&{}= a^{2}+b^{2}-2abcos theta.end{alineado}}}$

Una ventaja de esta prueba es que no requiere la consideración de diferentes casos para cuando el triángulo es agudo, rectángulo u obtuso.

Usando trigonometría

Dejar caer la perpendicular sobre el lado c a través del punto C, una altura del triángulo, muestra (ver Fig. 5) ${displaystyle c=acos beta +bcos alpha.}$

(Esto sigue siendo cierto si α o β son obtusos, en cuyo caso la perpendicular queda fuera del triángulo). Multiplicando por c se obtiene ${displaystyle c^{2}=accos beta +bccos alpha.}$

Considerando las otras dos alturas del triángulo se obtiene ${displaystyle a^{2}=accos beta +abcos gamma,}$ ${displaystyle b^{2}=bccos alpha +abcos gamma.}$

Sumando las dos últimas ecuaciones se obtiene ${displaystyle a^{2}+b^{2}=accos beta +bccos alpha +2abcos gamma.}$

Restando la primera ecuación de la última se obtiene ${displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=accos beta +bccos alpha +2abcos gamma -(accos beta +bccos alfa)}$

que simplifica a ${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos gamma.}$

Esta prueba utiliza la trigonometría en el sentido de que trata los cosenos de los diversos ángulos como cantidades por derecho propio. Utiliza el hecho de que el coseno de un ángulo expresa la relación entre los dos lados que encierran ese ángulo en cualquier triángulo rectángulo. Otras demostraciones (a continuación) son más geométricas en el sentido de que tratan una expresión como cos γ simplemente como una etiqueta para la longitud de un determinado segmento de línea.

Muchas demostraciones tratan los casos de ángulos obtuso y agudo γ por separado.

Usando el teorema de Pitágoras

Caso de un ángulo obtuso

Euclides demostró este teorema aplicando el teorema de Pitágoras a cada uno de los dos triángulos rectángulos de la figura mostrada (AHB y CHB). Usando d para denotar el segmento de línea CH y h para la altura BH, el triángulo AHB nos da ${ estilo de visualización c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},}$

y el triángulo CHB da ${displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.}$

Expandiendo la primera ecuación da ${displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.}$

Sustituyendo la segunda ecuación en esta, se obtiene lo siguiente: ${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.}$

Esta es la Proposición 12 de Euclides del Libro 2 de los Elementos. Para transformarlo en la forma moderna de la ley de los cosenos, tenga en cuenta que ${displaystyle d=acos(pi -gamma)=-acos gamma.}$

Caso de un ángulo agudo

La prueba de Euclides de su Proposición 13 procede en la misma línea que su prueba de la Proposición 12: aplica el teorema de Pitágoras a ambos triángulos rectángulos formados dejando caer la perpendicular sobre uno de los lados que encierran el ángulo γ y usa el cuadrado de una diferencia para simplificar.

Otra prueba en el caso agudo

Usando más trigonometría, la ley de los cosenos se puede deducir usando el teorema de Pitágoras solo una vez. De hecho, usando el triángulo rectángulo en el lado izquierdo de la Fig. 6 se puede demostrar que:

{displaystyle {begin{alineado}c^{2}&=(bacos gamma)^{2}+(asin gamma)^{2}\&=b^{2}-2ab cos gamma +a^{2}cos ^{2}gamma +a^{2}sin ^{2}gamma \&=b^{2}+a^{2}-2ab porque gamma,end{alineado}}}

utilizando la identidad trigonométrica

{displaystyle cos ^{2}gamma +sin ^{2}gamma =1.}

Esta prueba necesita una ligera modificación si b < a cos(γ). En este caso, el triángulo rectángulo al que se aplica el teorema de Pitágoras se desplaza fuera del triángulo ABC. El único efecto que esto tiene en el cálculo es que la cantidad b − a cos(γ) se reemplaza por a cos(γ) − b. Como esta cantidad entra en el cálculo solo a través de su cuadrado, el resto de la prueba no se ve afectada. Sin embargo, este problema solo ocurre cuando β es obtuso y puede evitarse reflejando el triángulo sobre la bisectriz deγ.

Con referencia a la Fig. 6, vale la pena señalar que si el ángulo opuesto al lado a es α entonces: $tan alpha ={frac {asin gamma }{bacos gamma }}.$

Esto es útil para el cálculo directo de un segundo ángulo cuando se dan dos lados y un ángulo incluido.

Usando el teorema de Ptolomeo

Con referencia al diagrama, el triángulo ABC con lados AB = c, BC = a y AC = b se dibuja dentro de su circunferencia circunscrita como se muestra. El triángulo ABD se construye congruente con el triángulo ABC con AD = BC y BD = AC. Las perpendiculares de D y C se encuentran con la base AB en E y F respectivamente. Entonces: ${begin{alineado}&BF=AE=BCcos {hat {B}}=acos {hat {B}}\Rightarrow &DC=EF=AB-2BF=c-2acos { sombrero {B}}.end{alineado}}$

Ahora, la ley de los cosenos se expresa mediante una aplicación directa del teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico ABCD: ${begin{alineado}&ADtimes BC+ABtimes DC=ACtimes BD\Rightarrow &a^{2}+c(c-2acos {hat {B}})=b^{ 2}\Flecha derecha &a^{2}+c^{2}-2accos {hat {B}}=b^{2}.end{alineado}}$

Claramente, si el ángulo B es recto, entonces ABCD es un rectángulo y la aplicación del teorema de Ptolomeo produce el teorema de Pitágoras: $a^{2}+c^{2}=b^{2}.cuádruple$

Al comparar áreas

También se puede probar la ley de los cosenos calculando áreas. El cambio de signo cuando el ángulo γ se vuelve obtuso hace necesaria una distinción de casos.

Recordar que

a, b y c son las áreas de los cuadrados de lados a, b y c, respectivamente;
si γ es agudo, entonces ab cos γ es el área del paralelogramo cuyos lados a y b forman un ángulo de γ′ =π/2− γ;
si γ es obtuso, y por tanto cos γ es negativo, entonces − ab cos γ es el área del paralelogramo cuyos lados a y b forman un ángulo de γ′ = γ −π/2.

Caso agudo. La Figura 7a muestra un heptágono cortado en pedazos más pequeños (de dos maneras diferentes) para obtener una demostración de la ley de los cosenos. Las distintas piezas son

en rosa, las áreas a, b a la izquierda y las áreas 2 ab cos γ y c a la derecha;
en azul, el triángulo ABC, a la izquierda ya la derecha;
en gris, triángulos auxiliares, todos congruentes con ABC, un número igual (a saber, 2) tanto a la izquierda como a la derecha.

La igualdad de áreas a la izquierda y a la derecha da $,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2abcos gamma ,.$

Caso obtuso. La Figura 7b corta un hexágono de dos maneras diferentes en pedazos más pequeños, dando una prueba de la ley de los cosenos en el caso de que el ángulo γ sea obtuso. Tenemos

en rosa, las áreas a, b, y −2 ab cos γ a la izquierda y c a la derecha;
en azul, el triángulo ABC dos veces, tanto a la izquierda como a la derecha.

La igualdad de áreas a la izquierda y a la derecha da $,a^{2}+b^{2}-2abcos(gamma)=c^{2}.$

La prueba rigurosa deberá incluir pruebas de que varias formas son congruentes y, por lo tanto, tienen el mismo área. Esto utilizará la teoría de triángulos congruentes.

Usando la geometría del círculo.

Usando la geometría del círculo, es posible dar una prueba más geométrica que usando solo el teorema de Pitágoras. Se evitan las manipulaciones algebraicas (en particular, el teorema del binomio).

Caso de ángulo agudo γ, donde a > 2 b cos γ. Deja caer la perpendicular de A sobre a = BC, creando un segmento de línea de longitud b cos γ. Duplica el triángulo rectángulo para formar el triángulo isósceles ACP. Construya el círculo con centro A y radio b, y su tangente h = BH a través de B. La tangente h forma un ángulo recto con el radio b (Elementos de Euclides: Libro 3, Proposición 18; o ver aquí), por lo que el triángulo amarillo en la Figura 8 es recto. Aplicar el teorema de Pitágoras para obtener ${ estilo de visualización c^{2}=b^{2}+h^{2}.}$

Luego use el teorema de la tangente secante (Elementos de Euclides: Libro 3, Proposición 36), que dice que el cuadrado en la tangente a través de un punto B fuera del círculo es igual al producto de los dos segmentos de línea (desde B) creados por cualquier secante del círculo a través de B. En el presente caso: BH = BC · BP, o ${displaystyle h^{2}=a(a-2bcos gamma).}$

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene la ley de los cosenos: ${displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2bcos gamma).}$

Note que h es la potencia del punto B con respecto al círculo. El uso del teorema de Pitágoras y el teorema de la secante tangente puede ser reemplazado por una sola aplicación del teorema de la potencia de un punto.

Caso de ángulo agudo γ, donde a < 2 b cos γ. Deja caer la perpendicular de A sobre a = BC, creando un segmento de línea de longitud b cos γ. Duplica el triángulo rectángulo para formar el triángulo isósceles ACP. Construya el círculo con centro A y radio b, y una cuerda a través de B perpendicular a c = AB, la mitad de la cual es h = BH. Aplicar el teorema de Pitágoras para obtener ${displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}$

Ahora usa el teorema de la cuerda (Elementos de Euclides: Libro 3, Proposición 35), que dice que si dos cuerdas se cortan, el producto de los dos segmentos de línea obtenidos en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos de línea obtenidos en la otra cuerda. En el presente caso: BH = BC · BP, o ${displaystyle h^{2}=a(2bcos gamma -a).}$

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene la ley de los cosenos: $b^{2}=c^{2}+a(2bcos gamma -a),.$

Nótese que la potencia del punto B con respecto a la circunferencia tiene el valor negativo − h.

Caso de ángulo obtuso γ. Esta demostración utiliza directamente el teorema de la potencia de un punto, sin los triángulos auxiliares que se obtienen al construir una tangente o una cuerda. Construya un círculo con centro B y radio a (vea la Figura 9), que corta la secante a través de A y C en C y K. La potencia del punto A con respecto a la circunferencia es igual tanto a AB − BC como a AC · AK. Por lo tanto, ${begin{alineado}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2acos(pi -gamma))\&{}=b(b-2acos gamma),end{alineado}}$

que es la ley de los cosenos.

Usando medidas algebraicas para segmentos de línea (permitiendo números negativos como longitudes de segmentos) el caso de ángulo obtuso (CK > 0) y ángulo agudo (CK < 0) puede tratarse simultáneamente.

Usando la ley de los senos

Usando la ley de los senos y sabiendo que los ángulos de un triángulo deben sumar 180 grados, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones (las tres incógnitas son los ángulos): ${frac {c}{sin gamma}}={frac {b}{sin beta}},$ ${frac {c}{sin gamma}}={frac {a}{sin alpha}},$ ${ estilo de visualización alfa + beta + gamma = pi.}$

Entonces, usando la tercera ecuación del sistema, obtenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables: ${frac {c}{sin gamma }}={frac {b}{sin(alpha +gamma)}},$ ${frac {c}{sin gamma}}={frac {a}{sin alpha}},$

donde hemos utilizado la propiedad trigonométrica de que el seno de un ángulo suplementario es igual al seno del ángulo.

Usando la identidad (ver Identidades de suma y diferencia de ángulos) $sin(alpha +gamma)=sin alpha cos gamma +sin gamma cos alpha$

lleva a ${displaystyle c(sin alpha cos gamma +sin gamma cos alpha)=bsin gamma,}$ ${displaystyle csin alpha =asin gamma.}$

Dividiendo todo el sistema por cos γ, tenemos: ${displaystyle c(sin alpha +tan gamma cos alpha)=btan gamma,}$ ${displaystyle {frac {csin alpha }{cos gamma }}=atan gamma,}$ ${displaystyle {frac {c^{2}sin ^{2}alpha }{cos ^{2}gamma }}=a^{2}tan ^{2}gamma.}$

Por lo tanto, a partir de la primera ecuación del sistema, podemos obtener ${frac {csin alpha }{bccos alpha }}=tan gamma$

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación y usando ${displaystyle 1+tan ^{2}gamma ={frac {1}{cos ^{2}gamma }}}$

podemos obtener una ecuación con una variable: ${displaystyle c^{2}sin ^{2}alpha left[1+{frac {c^{2}sin ^{2}alpha }{(bccos alpha)^{2 }}}right]=a^{2}cdot {frac {c^{2}sin ^{2}alpha }{(bccos alpha)^{2}}}}$

Multiplicando por (b − c cos α), podemos obtener la siguiente ecuación: $(bccos alpha)^{2}+c^{2}sin ^{2}alpha =a^{2}.$

Esto implica ${displaystyle b^{2}-2bccos alpha +c^{2}cos ^{2}alpha +c^{2}sin ^{2}alpha =a^{2}.}$

Recordando la identidad pitagórica, obtenemos la ley de los cosenos: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosalpha.$

Usando vectores

Denotar ${displaystyle {overrightarrow {CB}}={vec {a}}, {overrightarrow {CA}}={vec {b}}, {overrightarrow {AB}}={vec {c }}}$

Por lo tanto, ${displaystyle {vec {c}}={vec {a}}-{vec {b}}}$

Tomando el producto escalar de cada lado consigo mismo: ${displaystyle {vec {c}}cdot {vec {c}}=({vec {a}}-{vec {b}})cdot ({vec {a}}-{ ve {b}})}$ ${displaystyle Vert {vec {c}}Vert ^{2}=Vert {vec {a}}Vert ^{2}+Vert {vec {b}}Vert ^{2} -2,{vec {a}}cdot {vec {b}}}$

Usando la identidad (ver producto punto) ${displaystyle {vec {u}}cdot {vec {v}}=Vert {vec {u}}Vert ,Vert {vec {v}}Vert cos angle ({ vec {u}}, {vec {v}})}$

lleva a ${displaystyle Vert {vec {c}}Vert ^{2}=Vert {vec {a}}Vert ^{2}+{Vert {vec {b}}Vert }^{ 2}-2,Vert {vec {a}}Vert !;Vert {vec {b}}Vert cos angle ({vec {a}}, {vec { b}})}$

El resultado sigue.

Caso isósceles

Cuando a = b, es decir, cuando el triángulo es isósceles con los dos lados incidentes en el ángulo γ iguales, la ley de los cosenos se simplifica significativamente. Es decir, debido a que a + b = 2 a = 2 ab, la ley de los cosenos se convierte en $cos gamma =1-{frac {c^{2}}{2a^{2}}}$

o ${displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-cos gamma).}$

Análogo de tetraedros

Un enunciado análogo comienza tomando α, β, γ, δ como las áreas de las cuatro caras de un tetraedro. Denote los ángulos diedros por ${displaystyle {widehat {beta gamma}}}$ etc. Entonces ${displaystyle alpha ^{2}=beta ^{2}+gamma ^{2}+delta ^{2}-2left[beta gamma cos left({widehat {beta gamma }}right)+gamma delta cos left({widehat {gamma delta }}right)+delta beta cos left({widehat {delta beta }} bien bien].}$

Versión adecuada para ángulos pequeños

Cuando el ángulo, γ, es pequeño y los lados adyacentes, a y b, tienen una longitud similar, el lado derecho de la forma estándar de la ley de los cosenos está sujeto a una cancelación catastrófica en aproximaciones numéricas. En situaciones donde esta es una preocupación importante, una versión matemáticamente equivalente de la ley de los cosenos, similar a la fórmula haversine, puede resultar útil: ${begin{alineado}c^{2}&=(ab)^{2}+4absin ^{2}left({frac {gamma }{2}}right)\&=(ab)^{2}+4aboperatorname {haversin} (gamma).end{alineado}}$

En el límite de un ángulo infinitesimal, la ley de los cosenos degenera en la fórmula de la longitud del arco circular, c = a γ.

En geometría esférica e hiperbólica

Versiones similares a la ley de los cosenos para el plano euclidiano también se cumplen en una esfera unitaria y en un plano hiperbólico. En geometría esférica, un triángulo se define por tres puntos u, v y w en la esfera unitaria, y los arcos de grandes círculos que conectan esos puntos. Si estos círculos máximos forman ángulos A, B y C con lados opuestos a, b, c, entonces la ley esférica de los cosenos afirma que se cumplen las dos relaciones siguientes: ${begin{alineado}cos a&=cos bcos c+sin bsin ccos A\cos A&=-cos Bcos C+sin Bsin Ccos a.end {alineado}}$

En geometría hiperbólica, un par de ecuaciones se conocen colectivamente como la ley hiperbólica de los cosenos. El primero es ${displaystyle cosh a=cosh bcosh c-sinh bsinh ccos A}$

donde sinh y cosh son el seno y el coseno hiperbólicos, y el segundo es ${displaystyle cos A=-cos Bcos C+sin Bsin Ccosh a.}$

Como en la geometría euclidiana, se puede usar la ley de los cosenos para determinar los ángulos A, B, C a partir del conocimiento de los lados a, b, c. A diferencia de la geometría euclidiana, también es posible lo contrario en ambos modelos no euclidianos: los ángulos A, B, C determinan los lados a, b, c.

Fórmula unificada para superficies de curvatura constante

Definiendo dos funciones ${ estilo de visualización cos _ {R}}$ y ${ estilo de visualización sin _ {R}}$ como ${displaystyle cos _{R}(x)=cos(x/R)quad}$ y ${displaystyle quad sin _{R}(x)=Rcdot sin(x/R)}$

permite unificar las fórmulas de plano, esfera y pseudoesfera en: ${displaystyle cos _{R}(BC)=cos _{R}(AB)cdot cos _{R}(AC)+{frac {1}{R^{2}}}sin _ {R}(AB)cdot sin_{R}(AC)cdot cos({widehat {BAC}}).}$

En esta notación $R$ es un número complejo, que representa el radio de curvatura de la superficie.

Porque ${displaystyle Ren mathbb {R} }$ la superficie es una esfera de radio $R$ , y su curvatura constante es igual a ${ estilo de visualización 1/R^{2};}$
porque ${displaystyle R=iR'dos puntos R'in mathbb {R} }$ la superficie es una pseudoesfera de radio (imaginario) $R,$ con curvatura constante igual a ${ estilo de visualización 1/R^{2}=-1/R'^{2};}$
para ${displaystyle Rtoinfty}$ : la superficie tiende a un plano euclidiano, con curvatura cero constante.

Verificación de la fórmula para la geometría no euclidiana

En los dos primeros casos, ${ estilo de visualización cos _ {R}}$ y ${ estilo de visualización sin _ {R}}$ están bien definidos en todo el plano complejo para todos ${displaystyle Rneq 0}$ , y recuperar los resultados anteriores es sencillo.

Por lo tanto, para una esfera de radio $1$ ${displaystyle cos(BC)=cos(AB)cdot cos(AC)+sin(AB)cdot sin(AC)cdot cos({widehat {BAC}})}$ .

Asimismo, para una pseudoesfera de radio $i$ ${displaystyle cosh(BC)=cosh(AB)cdot cosh(AC)-sinh(AB)cdot sinh(AC)cdot cos({widehat {BAC}}).}$

De hecho, ${ estilo de visualización cosh (x) = cos (x/i)}$ y ${ estilo de visualización sinh (x) = i cdot sin (x/i).}$

Verificando la fórmula en el límite de la geometría euclidiana

En el plano euclidiano se deben calcular los límites apropiados para la ecuación anterior: ${displaystyle cos _{R}(x)=cos(x/R)=1-{frac {1}{2}}cdot {frac {x^{2}}{R^{2 }}}+oizquierda({frac {1}{R^{4}}}derecha)}$

y ${displaystyle sin _{R}(x)=Rcdot sin(x/R)=x+oleft({frac {1}{R^{3}}}right)}$ .

Aplicando esto a la fórmula general para un $R$ rendimiento finito: ${displaystyle {begin{alineado}1-{frac {BC^{2}}{2R^{2}}}+oleft[{frac {1}{R^{4}}}right ]={}&left[1-{frac {AB^{2}}{2R^{2}}}+oleft({frac {1}{R^{4}}}right) right]cdot left[1-{frac {AC^{2}}{2R^{2}}}+oleft({frac {1}{R^{4}}}right) right]+\[5pt]&{}+{frac {1}{R^{2}}}left[AB+oleft({frac {1}{R^{3}}} right)right]cdot left[AC+oleft({frac {1}{R^{3}}}right)right]cdot cos({widehat {BAC}}) end{alineado}}}$

Recolectando términos, multiplicando con ${ estilo de visualización -2R^{2},}$ y tomando ${displaystyle Rtoinfty}$ se obtiene la fórmula esperada: ${displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2cdot ABcdot ACcdot cos({widehat {BAC}}).}$

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