Teorema de incrustación de Whitney

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Cualquier manifold m-dimensional liso puede ser encajado suavemente en el espacio real 2m

En matemáticas, particularmente en topología diferencial, hay dos teoremas de incrustación de Whitney, que llevan el nombre de Hassler Whitney:

El fuerte Whitney incrustando teorema declara que cualquier real liso $m$ - manifold dimensional (requirido también para ser Hausdorff y segundo-contable) se puede incrustar suavemente en el espacio real 2m, ${displaystyle mathbb {R} ^{2m},}$ si $m ■ 0$ . Este es el mejor límite lineal en el espacio euclidiano más pequeño que todo $m$ - cubos dimensionales incrustados, como los verdaderos espacios proyectivos de dimensión $m$ no puede ser incrustado en real $(22) m -1)$ - espacio si $m$ es un poder de dos (como se puede ver desde un argumento de clase característica, también debido a Whitney).
El débil Whitney incrustando teorema declara que cualquier función continua de una $n$ - manifold dimensional a un $m$ - dimensional manifold puede ser aproximado por una suave incrustación proporcionada $m ■ 2 n$ . Whitney también demostró que tal mapa podría ser aproximado por una inmersión proporcionada $m ■ 2 n - 1$ . Este último resultado a veces se llama Teorema de inmersión Whitney.

Un poco sobre la prueba

El esquema general de la prueba es comenzar con una inmersión ${displaystyle f:Mto mathbb {R} ^{2m}}$ con intersecciones transversales. Estos son conocidos por existir del trabajo anterior de Whitney el teorema de inmersión débil. La transversalidad de los puntos dobles se deriva de un argumento de posición general. La idea es entonces eliminar de alguna manera todas las intersecciones. Si $M$ tiene límites, uno puede eliminar las intersecciones de uno mismo simplemente por isotoping $M$ en sí mismo (la isotópica está en el dominio de $f$ ), a un submanifold de $M$ que no contiene los puntos dobles. Por lo tanto, estamos rápidamente llevados al caso donde $M$ no tiene límite. A veces es imposible quitar los puntos dobles a través de una isotopía —considerar por ejemplo la inmersión figura 8 del círculo en el plano. En este caso, hay que introducir un doble punto local.

Presentando doble punto.

Una vez que uno tiene dos puntos dobles opuestos, uno construye un bucle cerrado que conecta los dos, dando un camino cerrado en ${displaystyle mathbb {R} ^{2m}.}$ Desde ${displaystyle mathbb {R} ^{2m}}$ está simplemente conectado, se puede asumir que este camino ata un disco, y proporcionado $2 m ■ 4$ uno puede asumir (por débil Whitney incrustando teorema) que el disco está incrustado en ${displaystyle mathbb {R} ^{2m}}$ tal que interseque la imagen de $M$ sólo en su límite. Whitney entonces utiliza el disco para crear una familia de inmersiones de 1 parámetro, en efecto empujando $M$ a través del disco, eliminando los dos puntos dobles en el proceso. En el caso de la inmersión figura-8 con su doble punto introducido, el movimiento del empuje es bastante simple (foto).

Cancelando puntos dobles opuestos.

Este proceso de eliminar los puntos dobles de signo opuesto empujando el colector a lo largo de un disco se llama truco de Whitney.

Para introducir un punto doble local, Whitney creó inmersiones ${displaystyle alpha _{m}:mathbb {R} ^{m}to mathbb {R} ^{2m}}$ que son aproximadamente lineales fuera de la bola de unidad, pero que contienen un solo punto doble. Para $m = 1$ tal inmersión es dada por

{displaystyle {begin{cases}alpha:mathbb {R} ^{1}to mathbb {R} ^{2}\alpha (t)=left({frac {1}{1+t^{2}}}, t-{frac {2t}{1+t^{2}}}right)end{cases}}}

Note que si $α$ es considerado como un mapa $mathbb{R} ^{3}$ así:

{displaystyle alpha (t)=left({frac {1}{1+t^{2}}}, t-{frac {2t}{1+t^{2}}},0right)}

entonces el punto doble se puede resolver en una incrustación:

{displaystyle beta (t,a)=left({frac {1}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}, t-{frac {2t}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}, {frac {ta}{(1+t^{2})(1+a^{2})}}right).}

Aviso $β(t, 0) = α(t)$ y para $a \neq 0$ luego, como función de $t$ , $β(t, a)$ es una incrustación.

Para dimensiones superiores $m$ , hay $α m$ que se puede resolver de forma similar ${displaystyle mathbb {R} ^{2m+1}.}$ Para una incrustación en ${displaystyle mathbb {R} ^{5},}$ por ejemplo, definir

{displaystyle alpha _{2}(t_{1},t_{2})=left(beta (t_{1},t_{2}), t_{2}right)=left({frac {1}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}}, t_{1}-{frac {2t_{1}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}}, {frac {t_{1}t_{2}}{(1+t_{1}^{2})(1+t_{2}^{2})}}, t_{2}right).}

Este proceso finalmente lleva a uno a la definición:

alpha_m(t_1,t_2,cdots,t_m) = left(frac{1}{u},t_1 - frac{2t_1}{u}, frac{t_1t_2}{u}, t_2, frac{t_1t_3}{u}, t_3, cdots, frac{t_1t_m}{u}, t_m right),

dónde

u=(1+t_1^2)(1+t_2^2)cdots(1+t_m^2).

Las propiedades clave de $α m$ es que es una incrustación excepto por la clase α_m(1, 0, ... , 0) = α_m(−1, 0, ... , 0). Además, para $|(t 1, ... , t m)|$ grande, es aproximadamente la incrustación lineal $(0, t 1, 0, t 2, ... , 0, t m)$ .

Consecuencias finales del truco de Whitney

Stephen Smale utilizó el truco de Whitney para demostrar el teorema del cobordismo h; de donde se sigue la conjetura de Poincaré en dimensiones $m \geq 5$ , y la clasificación de estructuras lisas en discos (también en dimensiones 5 en adelante). Esto proporciona la base para la teoría de la cirugía, que clasifica las variedades en la dimensión 5 y superiores.

Dadas dos subvariedades orientadas de dimensiones complementarias en una variedad simplemente conectada de dimensión ≥ 5, se puede aplicar una isotopía a una de las subvariedades para que todos los puntos de intersección tengan el mismo signo.

Historia

Se dice (de manera bastante sorprendente) que la ocasión de la demostración por Hassler Whitney del teorema de incrustación para variedades suaves fue la primera exposición completa del concepto de variedad precisamente porque reunió y unificó los conceptos diferentes de variedades en ese momento: ya no había confusión sobre si las variedades abstractas, intrínsecamente definidas a través de gráficos, eran más o menos generales que las variedades extrínsecamente definidas como subvariedades del espacio euclidiano. Consulte también la historia de variedades y variedades para conocer el contexto.

Resultados más nítidos

Aunque cada uno $n$ - Manifold embeds in ${displaystyle mathbb {R} ^{2n},}$ con frecuencia se puede mejorar. Vamos $e () n)$ denota el entero más pequeño para que todo compacto conectado $n$ - Manifolds embed in ${displaystyle mathbb {R} ^{e(n)}.}$ El fuerte teorema de Whitney declara que $e () n \leq 2 n$ . Para $n = 1, 2$ tenemos $e () n) = 2 n$ Como el círculo y el programa de la botella Klein. Más generalmente, para $n = 2 k$ tenemos $e () n) = 2 n$ , como el $2 k$ - Espectáculo espacial de proyecto real dimensional. El resultado de Whitney puede mejorarse $e () n \leq 2 n - 1$ a) $n$ es un poder de 2. Esto es resultado de André Haefliger y Morris Hirsch (para $n ■ 4$ ) and C. T. C. Wall (for $n = 3$ ); estos autores utilizaron importantes resultados preliminares y casos particulares probados por Hirsch, William S. Massey, Sergey Novikov y Vladimir Rokhlin. Actualmente la función $e$ no se conoce en forma cerrada para todos los enteros (compare con el teorema de inmersión Whitney, donde se conoce el número análogo).

Restricciones en colectores

Uno puede fortalecer los resultados poniendo restricciones adicionales al múltiple. Por ejemplo, la n-sphere siempre incrusta ${displaystyle mathbb {R} ^{n+1}}$ – que es lo mejor posible (cerrado $n$ - Manifolds no puede incrustar $mathbb {R} ^{n}$ ). Cualquier compacto orientable superficie y cualquier superficie compacta con límites no vacíos incrustaciones en ${displaystyle mathbb {R} ^{3},}$ aunque sea cerrado no orientable necesidades de superficie ${displaystyle mathbb {R} ^{4}.}$

Si $N$ es una orientación compacta $n$ - dimensional, entonces $N$ incrustaciones en ${displaystyle mathbb {R} ^{2n-1}}$ (por $n$ no un poder de 2 la condición de orientabilidad es superfluo). Para $n$ a power of 2 this is a result of André Haefliger and Morris Hirsch (for $n ■ 4$ ), y Fuquan Fang (para $n = 4$ ); estos autores utilizaron importantes resultados preliminares probados por Jacques Boéchat y Haefliger, Simon Donaldson, Hirsch y William S. Massey. Haefliger demostró que si $N$ es un compacto $n$ - cuadrícula dimensional k-conectada, entonces $N$ incrustaciones en ${displaystyle mathbb {R} ^{2n-k}}$ proporcionadas $2 k + 3 \leq n$ .

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Isotope versions

Un resultado relativamente "fácil" es probar que cualquier dos incrustaciones de un doble en $R^4$ son isotópicos (ver Teoría de Knot# Dimensiones más altas). Esto se demuestra utilizando la posición general, que también permite demostrar que cualquier dos incrustaciones de una $n$ - Rápido. ${displaystyle mathbb {R} ^{2n+2}}$ son isotópicos. Este resultado es una versión de isotopía del teorema de incrustación débil Whitney.

Wu demostró que $n \geq 2$ , cualquier dos incrustaciones de una $n$ - Rápido. ${displaystyle mathbb {R} ^{2n+1}}$ son isotópicos. Este resultado es una versión de isotopía del fuerte Whitney incrustando teorema.

Como versión isotópica de su resultado de embedding, Haefliger demostró que si $N$ es un compacto $n$ -dimensional $k$ - Manifold conectado, entonces cualquier dos incrustaciones de $N$ en ${displaystyle mathbb {R} ^{2n-k+1}}$ son isotópicos proporcionados $2 k + 2 \leq n$ . La restricción de la dimensión $2 k + 2 \leq n$ es agudo: Haefliger siguió dando ejemplos de 3-esféricas no triplicadas ${displaystyle mathbb {R} ^{6}}$ (y, más generalmente, $(22) d -1)$ - Esferas en ${displaystyle mathbb {R} ^{3d}}$ ). Ver más generalizaciones.

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