Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

En matemáticas, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, que lleva el nombre de Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann y Gustav Roch, es el resultado de Hirzebruch de 1954 que generaliza el teorema clásico de Riemann-Roch sobre Riemann. superficies a todas las variedades algebraicas complejas de dimensiones superiores. El resultado allanó el camino para que el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch se demostrara unos tres años después.

Enunciado del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch se aplica a cualquier paquete de vectores holomorfos E en una variedad compleja compacta X, para calcular la característica holomorfa de Euler de E en cohomología de gavilla, es decir, la suma alterna

χ χ ()X,E)=. . i=0n()− − 1)idimC⁡ ⁡ Hi()X,E){displaystyle chi (X,E)=sum _{i=0}{n}(-1)^{i}dim _{mathbb [C}H^{i}(X,E)}

de las dimensiones como espacios vectoriales complejos, donde n es la dimensión compleja de X.

El teorema de Hirzebruch declara que χ(X, E) es computable en términos de las clases de Chern c_k()E) de E, y las clases Todd tdj⁡ ⁡ ()X){displaystyle operatorname {td} _{j}(X)} del paquete de tangente holomorfo X. Todas estas mentiras en el anillo de cohomología X; mediante el uso de la clase fundamental (o, en otras palabras, la integración X) podemos obtener números de clases en H2n()X).{displaystyle H^{2n}(X). } La fórmula Hirzebruch afirma que

χ χ ()X,E)=. . chn− − j⁡ ⁡ ()E)tdj⁡ ⁡ ()X),{displaystyle chi (X,E)=sum operatorname {ch} _{n-j}(E)operatorname {td} _{j}(X),}

donde la suma se toma sobre todos los j relevantes (por lo que 0 ≤ j ≤ n), utilizando el carácter Chern ch(E) en cohomología. En otras palabras, los productos se forman en el anillo de cohomología de todos los componentes 'coincidentes' grados que suman 2n. Formulado de manera diferente, da la igualdad.

χ χ ()X,E)=∫ ∫ Xch⁡ ⁡ ()E)td⁡ ⁡ ()X){displaystyle chi (X,E)=int _{X}operatorname {ch} (E)operatorname {td} (X)}

Donde td⁡ ⁡ ()X){displaystyle operatorname {td} (X)} es la clase Todd del grupo tangente X.

Casos especiales significativos son cuando E es un paquete de líneas complejo y cuando X es una superficie algebraica (fórmula de Noether ). El teorema de Riemann-Roch de Weil para paquetes de vectores en curvas y el teorema de Riemann-Roch para superficies algebraicas (ver más abajo) están incluidos en su alcance. La fórmula también expresa de manera precisa la vaga noción de que las clases de Todd son en cierto sentido recíprocas del carácter de Chern.

Teorema de Riemann Roch para curvas

Para curvas, el teorema Hirzebruch–Riemann–Roch es esencialmente el teorema clásico Riemann–Roch. Para ver esto, recuerde eso para cada divisor D en una curva hay una hoja invertible O(D) (que corresponde a un paquete de línea) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de O(D). Para curvas la clase Todd es 1+c1()T()X))/2,{displaystyle 1+c_{1}(T(X)/2,} y el personaje de Chern de una hoja OD) es sólo 1+c₁(O)D)), por lo que el teorema Hirzebruch-Riemann-Roch declara que

h0()O()D))− − h1()O()D))=c1()O()D))+c1()T()X))/2 {displaystyle h^{0}({mathcal {O}(D))-h^{1}({mathcal {O}(D))=c_{1}({mathcal {O}(D)))+c_{1}(T(X))/2\\\ } (integrado sobre X).

Pero h⁰(O(D)) es solo l(D), la dimensión del sistema lineal de D, y por la dualidad de Serre h¹(O(D)) = h⁰(O(K − D)) = l(K − D) donde K es el divisor canónico. Además, c₁(O(D)) integrado sobre X es el grado de D y c₁(T(X)) integrados sobre X es la clase 2 de Euler − 2g de la curva X, donde g es el género. Entonces obtenemos el teorema clásico de Riemann Roch.

l l ()D)− − l l ()K− − D)=deg()D)+1− − g.{displaystyle ell (D)-ell (K-D)={text{deg}(D)+1-g.}

Para paquetes de vectores V, el carácter Chern es rango(V) + c₁(V), por lo que obtenemos el teorema de Riemann Roch de Weil para paquetes de vectores sobre curvas:

h0()V)− − h1()V)=c1()V)+rango⁡ ⁡ ()V)()1− − g).{displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+operatorname {rank} (V)(1-g). }

Teorema de Riemann Roch para superficies

Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies

χ χ ()D)=χ χ ()O)+()()D.D)− − ()D.K))/2.{displaystyle chi (D)=chi ({mathcal {O})+(D.D)-(D.K))/2.}

combinado con la fórmula de Noether.

Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h²(O(D)) como h⁰(O(K − D)), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no existe una manera fácil de escribir h¹(O(D)) en una forma que no implica cohomología de gavilla (aunque en la práctica a menudo desaparece).

Riemann – Roch asintótica

Sea D un divisor Cartier amplio sobre una variedad proyectiva irreducible X de dimensión n. Entonces

h0()X,OX()mD))=()Dn)n!.mn+O()mn− − 1).{displaystyle h^{0}left(X,{mathcal {O}_{X}(mD)right)={frac {(D^{n}}}}.m^{n}+O(m^{n-1}). }

Más generalmente, si F{displaystyle {fnMithcal}} cualquier hoja coherente en X entonces

h0()X,F⊗ ⊗ OX()mD))=rango⁡ ⁡ ()F)()Dn)n!.mn+O()mn− − 1).{displaystyle h^{0}left(X,{mathcal {F}otime {mathcal {O}_{X}(mD)right)=operatorname {fn} {fn}}.m^{n-1}. }