Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

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En matemáticas, específicamente en geometría algebraica, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch es un resultado de gran alcance sobre la cohomología coherente. Es una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, sobre variedades complejas, que es a su vez una generalización del teorema clásico de Riemann-Roch para haces de líneas en superficies compactas de Riemann.

Los teoremas de tipo Riemann-Roch relacionan las características de Euler de la cohomología de un paquete de vectores con sus grados topológicos, o más generalmente sus clases características en (co)homología o análogos algebraicos de los mismos. El teorema clásico de Riemann-Roch hace esto para curvas y haces de líneas, mientras que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch generaliza esto para haces de vectores sobre variedades. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch establece ambos teoremas en una situación relativa de un morfismo entre dos variedades (o esquemas más generales) y cambia el teorema de una declaración sobre un solo paquete a una que se aplica a complejos en cadena de gavillas.

El teorema ha sido muy influyente, sobre todo para el desarrollo del teorema del índice Atiyah-Singer. Por el contrario, se pueden demostrar análogos analíticos complejos del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch utilizando el teorema del índice para familias. Alexander Grothendieck dio una primera prueba en un manuscrito de 1957, publicado posteriormente. Armand Borel y Jean-Pierre Serre escribieron y publicaron la prueba de Grothendieck en 1958. Posteriormente, Grothendieck y sus colaboradores simplificaron y generalizaron la prueba.

Formulación

Vamos. X ser un plan cuasi-proyector suave sobre un campo. Bajo estas suposiciones, el grupo Grothendieck ${displaystyle K_{0}(X)}$ de complejos atados de jerseys coherentes es canónicamente isomorfa al grupo Grothendieck de complejos atados de paquetes vectoriales de punta. Usando este isomorfismo, considere el personaje de Chern (una combinación racional de las clases de Chern) como una transformación functorial:

{displaystyle mathrm {ch} colon K_{0}(X)to A(X,mathbb {Q}),}

Donde ${displaystyle A_{d}(X,mathbb {Q})}$ es el grupo Chow de ciclos en X de la dimensión d Modulo equivalencia racional, tensored con los números racionales. En caso X se define sobre los números complejos, este último grupo mapea al grupo de cohomología topológica:

{displaystyle H^{2dim(X)-2d}(X,mathbb {Q}).}

Ahora considera un morfismo adecuado ${displaystyle fcolon Xto Y}$ entre los planes de cuasi-proyectos suaves y un complejo atado de cuchillas ${displaystyle {{mathcal {F}}^{bullet }}}$ on ${displaystyle X.}$

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch relaciona el mapa de empuje hacia adelante

{displaystyle f_{!}=sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}colon K_{0}(X)to K_{0}(Y)}

(suma alterna de imágenes directas superiores) y el avance

{displaystyle f_{*}colon A(X)to A(Y),}

por la fórmula

{displaystyle mathrm {ch} (f_{!}{mathcal {F}}^{bullet })mathrm {td} (Y)=f_{*}(mathrm {ch} ({mathcal {F}}^{bullet })mathrm {td} (X)).}

Aquí. ${displaystyle mathrm {td} (X)}$ es el género Todd de (el paquete tangente de) X. Así el teorema da una medida precisa por la falta de conmutación de tomar el impulso hacia adelante en los sentidos anteriores y el personaje de Chern y muestra que los factores de corrección necesarios dependen de X y Y Sólo. De hecho, dado que el género Todd es functorial y multiplicativo en secuencias exactas, podemos reescribir la fórmula Grothendieck–Riemann–Roch como

{displaystyle mathrm {ch} (f_{!}{mathcal {F}}^{bullet })=f_{*}(mathrm {ch} ({mathcal {F}}^{bullet })mathrm {td} (T_{f})),}

Donde ${displaystyle T_{f}}$ es la hoja tangente relativa de f, definido como el elemento ${displaystyle TX-f^{*}(TY)}$ dentro ${displaystyle K_{0}(X)}$ . Por ejemplo, cuando f es un morfismo suave, ${displaystyle T_{f}}$ es simplemente un paquete vectorial, conocido como el paquete tangente a lo largo de las fibras de f.

Utilizando la teoría de la homotopía A1, Navarro & Navarro (2017) a la situación en la que f es un mapa adecuado entre dos esquemas suaves.

Generalizar y especializarse

Las generalizaciones del teorema se pueden hacer al caso no fumador considerando una generalización adecuada de la combinación ${displaystyle mathrm {ch} (-)mathrm {td} (X)}$ y al caso no propietario considerando la cohomología con soporte compacto.

El teorema aritmético de Riemann-Roch extiende el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a esquemas aritméticos.

El teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es (esencialmente) el caso especial donde Y es un punto y el campo es el cuerpo de números complejos.

Ivan Panin y Alexander Smirnov demostraron una versión del teorema de Riemann-Roch para teorías de cohomología orientada. Se ocupa de operaciones multiplicativas entre teorías de cohomología orientadas algebraicas (como el cobordismo algebraico). El caso Grothendieck-Riemann-Roch es un caso particular de este resultado, y el personaje de Chern surge naturalmente en este contexto.

Ejemplos

Paquetes de vectores en una curva

Un paquete vectorial ${displaystyle Eto C}$ de rango ${displaystyle n}$ y grado ${displaystyle d}$ (definido como el grado de su determinante; o equivalentemente el grado de su primera clase Chern) en una curva proyectiva suave sobre un campo ${displaystyle k}$ tiene una fórmula similar a Riemann-Roch para paquetes de línea. Si tomamos ${displaystyle X=C}$ y ${displaystyle Y={*}}$ un punto, entonces la fórmula Grothendieck-Riemann-Roch se puede leer como

{displaystyle {begin{aligned}mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\f_{*}(mathrm {ch} (E)mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\&=d+n(1-g);end{aligned}}}

por lo tanto,

{displaystyle chi (C,E)=d+n(1-g).}

Esta fórmula también sostiene que las ondas coherentes de rango ${displaystyle n}$ y grado ${displaystyle d}$ .

Mapas suaves y adecuados

Una de las ventajas de la fórmula Grothendieck–Riemann–Roch es que se puede interpretar como una versión relativa de la fórmula Hirzebruch–Riemann–Roch. Por ejemplo, un morfismo suave ${displaystyle fcolon Xto Y}$ tiene fibras que son todas equidimensionales (y isomorfos como espacios topológicos cuando la base cambia a ${displaystyle mathbb {C} }$ ). Este hecho es útil en moduli-teoría al considerar un espacio moduli ${displaystyle {mathcal {M}}}$ parametrizar espacios adecuados suaves. Por ejemplo, David Mumford utilizó esta fórmula para deducir relaciones del anillo Chow en el espacio moduli de curvas algebraicas.

Módulos de curvas

Para la pila de moduli del género ${displaystyle g}$ curvas (y sin puntos marcados) ${displaystyle {overline {mathcal {M}}}_{g}}$ hay una curva universal ${displaystyle pi colon {overline {mathcal {C}}}_{g}to {overline {mathcal {M}}}_{g}}$ Donde ${displaystyle {overline {mathcal {C}}}_{g}={overline {mathcal {M}}}_{g,1}}$ (es la pila moduli de curvas de género ${displaystyle g}$ y un punto marcado. Entonces, él define el Clases tautológicas

{displaystyle {begin{aligned}K_{{overline {mathcal {C}}}_{g}/{overline {mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(omega _{{overline {mathcal {C}}}_{g}/{overline {mathcal {M}}}_{g}})\kappa _{l}&=pi _{*}(K_{{overline {mathcal {C}}}_{g}/{overline {mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\mathbb {E} &=pi _{*}(omega _{{overline {mathcal {C}}}_{g}/{overline {mathcal {M}}}_{g}})\lambda _{l}&=c_{l}(mathbb {E})end{aligned}}}

Donde ${displaystyle 1leq lleq g}$ y ${displaystyle omega _{{overline {mathcal {C}}}_{g}/{overline {mathcal {M}}}_{g}}}$ es la hoja de dualización relativa. Note la fibra de ${displaystyle omega _{{overline {mathcal {C}}}_{g}/{overline {mathcal {M}}}_{g}}}$ sobre un punto ${displaystyle [C]in {overline {mathcal {M}}}_{g}}$ esta es la hoja dualizante ${displaystyle omega _{C}}$ . Fue capaz de encontrar relaciones entre ${displaystyle lambda _{i}}$ y ${displaystyle kappa _{i}}$ describiendo ${displaystyle lambda _{i}}$ en términos de una suma de ${displaystyle kappa _{i}}$ (corollario 6.2) en el anillo de chow ${displaystyle A^{*}({mathcal {M}}_{g})}$ del locus suave usando Grothendieck–Riemann–Roch. Porque... ${displaystyle {overline {mathcal {M}}}_{g}}$ es una pila suave Deligne-Mumford, que consideró una cubierta por un esquema ${displaystyle {tilde {mathcal {M}}}_{g}to {overline {mathcal {M}}}_{g}}$ que presenta ${displaystyle {overline {mathcal {M}}}_{g}=[{tilde {mathcal {M}}}_{g}/G]}$ para un grupo finito ${displaystyle G}$ . Usa Grothendieck–Riemann–Roch en ${displaystyle omega _{{tilde {mathcal {C}}}_{g}/{tilde {mathcal {M}}}_{g}}}$ para llegar

{displaystyle mathrm {ch} (pi _{!}(omega _{{tilde {mathcal {C}}}/{tilde {mathcal {M}}}}))=pi _{*}(mathrm {ch} (omega _{{tilde {mathcal {C}}}/{tilde {mathcal {M}}}})mathrm {Td} ^{vee }(Omega _{{tilde {mathcal {C}}}/{tilde {mathcal {M}}}}^{1}))}

Porque

{displaystyle mathbf {R} ^{1}pi _{!}({omega _{{tilde {mathcal {C}}}_{g}/{tilde {mathcal {M}}}_{g}}})cong {mathcal {O}}_{tilde {M}},}

esto da la fórmula

{displaystyle mathrm {ch} (mathbb {E})=1+pi _{*}({text{ch}}(omega _{{tilde {mathcal {C}}}/{tilde {mathcal {M}}}}){text{Td}}^{vee }(Omega _{{tilde {mathcal {C}}}/{tilde {mathcal {M}}}}^{1})).}

La computación de ${displaystyle mathrm {ch} (mathbb {E})}$ entonces se puede reducir aún más. Incluso en dimensiones ${displaystyle 2k}$ ,

{displaystyle {text{ch}}(mathbb {E})_{2k}=0.}

Además, en la dimensión 1,

{displaystyle lambda _{1}=c_{1}(mathbb {E})={frac {1}{12}}(kappa _{1}+delta),}

Donde ${displaystyle delta }$ es una clase en el límite. En el caso ${displaystyle g=2}$ y en el lacus liso ${displaystyle {mathcal {M}}_{g}}$ hay relaciones

{displaystyle {begin{aligned}lambda _{1}&={frac {1}{12}}kappa _{1}\lambda _{2}&={frac {lambda _{1}^{2}}{2}}={frac {kappa _{1}^{2}}{288}}end{aligned}}}

que se puede deducir analizando el carácter Chern de ${displaystyle mathbb {E} }$ .

Incrustación cerrada

Incrustaciones cerradas ${displaystyle fcolon Yto X}$ tener una descripción usando la fórmula Grothendieck-Riemann-Roch también, mostrando otro caso no-trivial donde se sostiene la fórmula. Para una variedad suave ${displaystyle X}$ de la dimensión ${displaystyle n}$ y una subvariedad ${displaystyle Y}$ de la codimensión ${displaystyle k}$ , hay la fórmula

{displaystyle c_{k}({mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}

Usando la secuencia exacta corta

{displaystyle 0to {mathcal {I}}_{Y}to {mathcal {O}}_{X}to {mathcal {O}}_{Y}to 0}

ahí está la fórmula

{displaystyle c_{k}({mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}

para la hoja ideal desde ${displaystyle 1=c({mathcal {O}}_{X})=c({mathcal {O}}_{Y})c({mathcal {I}}_{Y})}$ .

Aplicaciones

Cuasi-proyectividad de espacios de módulos

Grothendieck–Riemann–Roch se puede utilizar para probar que un espacio de moduli grueso ${displaystyle M}$ , como el espacio moduli de curvas algebraicas apuntadas ${displaystyle M_{g,n}}$ , admite una incrustación en un espacio proyector, por lo tanto es una variedad cuasi-proyecto. Esto puede lograrse mirando cuchillas asociadas canónicamente en ${displaystyle M}$ y estudiar el grado de los paquetes de línea asociados. Por ejemplo, ${displaystyle M_{g,n}}$ tiene la familia de curvas

{displaystyle pi colon C_{g,n}to M_{g,n}}

con secciones

{displaystyle s_{i}colon M_{g,n}to C_{g,n}}

correspondiente a los puntos marcados. Puesto que cada fibra tiene el paquete canónico ${displaystyle omega _{C}}$ , hay los paquetes de línea asociados

{displaystyle Lambda _{g,n}(pi)=det(mathbf {R} pi _{*}(omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))}

{displaystyle chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}

{displaystyle Lambda _{g,n}(pi)otimes left(bigotimes _{i=1}^{n}chi _{g,n}^{(i)}right)}

es un amplio paquete de línea^{pg 209}, por lo tanto el espacio de moduli grueso ${displaystyle M_{g,n}}$ es casi proyectivo.

Historia

La versión de Alexander Grothendieck del teorema de Riemann-Roch se transmitió originalmente en una carta a Jean-Pierre Serre alrededor de 1956-1957. Se hizo público en el primer Arbeitstagung de Bonn, en 1957. Posteriormente, Serre y Armand Borel organizaron un seminario en la Universidad de Princeton para comprenderlo. El artículo final publicado fue, de hecho, la exposición Borel-Serre.

La importancia del enfoque de Grothendieck se basa en varios puntos. En primer lugar, Grothendieck cambió la afirmación misma: en ese momento se entendió que el teorema era un teorema sobre una variedad, mientras que Grothendieck lo vio como un teorema sobre un morfismo entre variedades. Al encontrar la generalización correcta, la prueba se volvió más simple mientras que la conclusión se volvió más general. En resumen, Grothendieck aplicó un fuerte enfoque categórico a un análisis difícil. Además, Grothendieck introdujo los grupos K, como se analizó anteriormente, lo que allanó el camino para la teoría K algebraica.

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