Teorema de eisenstein

En matemáticas, el teorema de Eisenstein, que lleva el nombre del matemático alemán Gotthold Eisenstein, se aplica a los coeficientes de cualquier serie de potencias que sea una función algebraica con coeficientes de números racionales. Mediante el teorema se puede demostrar fácilmente, por ejemplo, que la función exponencial debe ser una función trascendental.

Teorema

Supongamos que

. . antn{displaystyle sum _{}a_{n}t^{n}

es una serie de potencias formal con coeficientes racionales a_n, que tiene un radio de convergencia distinto de cero en el plano complejo, y en su interior representa una función analítica que en realidad es una función algebraica. Entonces, el teorema de Eisenstein establece que existe un número entero distinto de cero A, tal que Aⁿ a_n son todos números enteros.

Esto tiene una interpretación en términos de números p-ádicos: con una extensión apropiada de la idea, el radio de convergencia p-ádico de la serie es al menos 1, para casi todos los p (es decir, los números primos fuera de un conjunto finito S). De hecho, esa afirmación es un poco más débil, ya que ignora cualquier suma parcial inicial de la serie, de una manera que puede variar según p. Para los otros primos el radio es distinto de cero.

Historia

El artículo original de Eisenstein es la breve comunicación Über eine allgemeine Eigenschaft der Reihen-Entwicklungen aller algebraischen Functionen (1852), reproducido en Mathematische Gesammelte Werke, Band II, Chelsea Publishing Co., Nueva York, 1975, pag. 765–767.

Más recientemente, muchos autores han investigado límites precisos y efectivos cuantificando casi todos los anteriores. Véanse, por ejemplo, las secciones 11.4 y 11.55 del libro de E. Bombieri & W. Gubler.