Teorema de carmichael

En teoría de números, el teorema de Carmichael, que lleva el nombre del matemático estadounidense R. D. Carmichael, establece que, para cualquier secuencia de Lucas no degenerada del primer tipo U_n(P, Q) con parámetros relativamente primos P, Q y discriminante positivo, un elemento U_n con n ≠ 1, 2, 6 tiene al menos un divisor primo que no divide a ningún anterior excepto el duodécimo número de Fibonacci F(12) = U ₁₂(1, −1) = 144 y su equivalente U₁₂(−1, −1) = −144.

En particular, para n mayor que 12, el nésimo número de Fibonacci F(n) tiene al menos un divisor primo que no No divida ningún número de Fibonacci anterior.

Carmichael (1913, Teorema 21) demostró este teorema. Recientemente, Yabuta (2001) proporcionó una prueba sencilla.

Estado

Dados dos números enteros relativamente primos P y Q, tal que 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">D=P2− − 4Q■0{displaystyle D=P^{2}-4Q0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8edcf49e5e862b68bd362e7ea0763b88da913c7" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.001ex; height:3.009ex;"/> y PQ ل 0, vamos U_n()P, Q) ser la secuencia de Lucas del primer tipo definida por

1.end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">U0()P,Q)=0,U1()P,Q)=1,Un()P,Q)=P⋅ ⋅ Un− − 1()P,Q)− − Q⋅ ⋅ Un− − 2()P,Q) para n■1.{fnMicrosoft Sans Serif}(P,Q)}=0,U_{1}(P,Q) limit=1,\U_{n}(P,Q)}(Pcdot U_{n-1}(P,Q)-Qcdot U_{n-2}(P,Q)qquad {mbox1.end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da3f4b6f2d0e931b10fb8f101ab3ed07d9f751e" style="vertical-align: -4.005ex; width:60.427ex; height:9.176ex;"/>

Entonces, por n ل 1, 2, 6, U_n()P, Q) tiene al menos un divisor primario que no divide ningún U_m()P, QCon m c) n, excepto U₁₂(1, −1) = F(12) = 144, U₁₂(1,−1) = −F(12) = −144. Tal como un primo p se llama factor característico o a primitivo divisor de U_n()P, Q). De hecho, Carmichael mostró un teorema ligeramente más fuerte: Para n ل 1, 2, 6, U_n()P, Q) tiene al menos un divisor primitivo no dividir D Salvo U₃(1, −2) = U₃(1, −2) = 3, U₅(1, −1) = U₅(1,−1) = F(5) = 5, U₁₂(1, −1) = F(12) = 144, U₁₂(1,−1) = −F(12) = −144.

Tenga en cuenta que D debe ser mayor que 0; así los casos U₁₃(1, 2), U₁₈(1, 2) y U₃₀(1, 2), etc. no están incluidos, ya que en este caso D = −7 < 0.

Casos Fibonacci y Pell

Las únicas excepciones en el caso Fibonacci para n hasta 12 son:

F(1) = 1 and F(2) = 1, which have no prime divisors

F(6) = 8, cuyo único divisor principal es 2 (que es F(3))

F(12) = 144, cuyos únicos divisores principales son 2 (que es F(3)) y 3 (que es F(4))

El divisor primo primitivo más pequeño de F(n) es

1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 23, 3001, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 211, 433494437, 43,... A001578 en el OEIS)

El teorema de Carmichael dice que cada número de Fibonacci, aparte de las excepciones enumeradas anteriormente, tiene al menos un divisor primitivo.

Si n >1, entonces el nésimo número de Pell tiene al menos un divisor primo que no divide ningún número de Pell anterior. El divisor primo primitivo más pequeño del nésimo número de Pell es

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 23, 229, 1153, 1549, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 241,... A246556 en el OEIS)