Suma por partes

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Teorema para simplificar sumas de productos de secuencias

En matemáticas, la suma por partes transforma la suma de productos de secuencias en otras sumas, a menudo simplificando el cálculo o (especialmente) la estimación de ciertos tipos de sumas. También se denomina lema de Abel o transformación de Abel, en honor a Niels Henrik Abel, quien lo introdujo en 1826.

Declaración

Suppose ${f_{k}}$ y ${g_{k}}$ son dos secuencias. Entonces,

{displaystyle sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}right)-sum _{k=m+1}^{n}g_{k}(f_{k}-f_{k-1}).}

Utilizando el operador de la diferencia de avance $Delta$ , se puede decir más sucintamente como

{displaystyle sum _{k=m}^{n}f_{k}Delta g_{k}=left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}right)-sum _{k=m}^{n-1}g_{k+1}Delta f_{k},}

La suma por partes es análoga a la integración por partes:

{displaystyle int f,dg=fg-int g,df,}

o a la fórmula de suma de Abel:

{displaystyle sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}right)-int _{m}^{n}g_{lfloor trfloor }f'(t)dt.}

Una afirmación alternativa es

{displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=sum _{k=m}^{n-1}f_{k}Delta g_{k}+sum _{k=m}^{n-1}g_{k}Delta f_{k}+sum _{k=m}^{n-1}Delta f_{k}Delta g_{k}}

que es análoga a la fórmula de integración por partes para semimartingalas.

Aunque las aplicaciones casi siempre se ocupan de la convergencia de secuencias, la declaración es puramente algebraica y funcionará en cualquier campo. También funcionará cuando una secuencia esté en un espacio vectorial y la otra esté en el campo relevante de escalares.

Serie de Newton

La fórmula a veces se da en una de estas formas, ligeramente diferentes.

{begin{aligned}sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}sum _{k=0}^{n}g_{k}+sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\&=f_{n}sum _{k=0}^{n}g_{k}-sum _{j=0}^{n-1}left(f_{j+1}-f_{j}right)sum _{k=0}^{j}g_{k},end{aligned}}

que representan un caso especial ( $M=1$ ) de la regla más general

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\&=sum _{i=0}^{M-1}left(-1right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+left(-1right)^{M}sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{tilde {G}}_{j}^{(M)};end{aligned}}}

ambos resultan de la aplicación iterativa de la fórmula inicial. Las magnitudes auxiliares son series de Newton:

f_{j}^{(M)}:=sum _{k=0}^{M}left(-1right)^{M-k}{M choose k}f_{j+k}

G_{j}^{(M)}:=sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 choose M-1}g_{k},

{tilde {G}}_{j}^{(M)}:=sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 choose M-1}g_{k}.

Un particular ( $M=n+1$ ) resultado es la identidad

sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.

Aquí, ${textstyle {n choose k}}$ es el coeficiente binomio.

Método

Para dos secuencias dadas ${displaystyle (a_{n})}$ y ${displaystyle (b_{n})}$ , con $nin mathbb {N}$ , uno quiere estudiar la suma de la siguiente serie:

{displaystyle S_{N}=sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}

Si definimos ${textstyle B_{n}=sum _{k=0}^{n}b_{k},}$ entonces por cada $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0,{displaystyle n confía0,}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b90cfe174f0cf1c285539df4d03d339af13d87" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.302ex; height:2.509ex;"/>$ ${displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$ y

{displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}

{displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}

Finalmente ${textstyle S_{N}=a_{N}B_{N}-sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Este proceso, llamado transformación Abel, se puede utilizar para probar varios criterios de convergencia para ${displaystyle S_{N}}$ .

Semejanza con una integración por partes

La fórmula para una integración por partes es ${textstyle int _{a}^{b}f(x)g'(x),dx=left[f(x)g(x)right]_{a}^{b}-int _{a}^{b}f'(x)g(x),dx}$ .

Aparte de las condiciones de los límites, notamos que la primera integral contiene dos funciones multiplicadas, una que se integra en la integral final ( ${displaystyle g'}$ se convierte en $g$ ) y uno que se diferencia ( $f$ se convierte en ${displaystyle f'}$ ).

El proceso del Transformación de Abel es similar, ya que una de las dos secuencias iniciales se resume ( ${displaystyle b_{n}}$ se convierte en ${displaystyle B_{n}}$ ) y el otro está diferenciado ( ${displaystyle a_{n}}$ se convierte en ${displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$ ).

Aplicaciones

Se utiliza para probar la lema de Kronecker, que a su vez, se utiliza para probar una versión de la fuerte ley de grandes números bajo restricciones de varianza.
Puede ser usado para probar el teorema de Nicomachus que la suma de la primera $n$ cubos iguala el cuadrado de la suma de la primera $n$ enteros positivos.
La suma por partes se utiliza con frecuencia para probar el teorema de Abel y la prueba de Dirichlet.
También se puede utilizar esta técnica para probar Prueba de Abel: Si ${textstyle sum _{n}b_{n}}$ es una serie convergente, y $a_{n}$ una secuencia de monótono ligada, entonces ${textstyle S_{N}=sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$ converge.

Prueba de la prueba de Abel. La suma por partes da

{displaystyle {begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),end{aligned}}}

a_{n}

{textstyle sum _{n}b_{n}}

B_{N}

N

B

a_{n}-a

{textstyle sum _{n}b_{n}}

{displaystyle sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|leq Bsum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}

a_{n}

Nto infty

Usando la misma demostración anterior, se puede demostrar que si

las sumas parciales $B_{N}$ forma una secuencia atada independientemente de $N$ ;
$<math alttext="{displaystyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n+1}-a_{n}|.. n=0JUEGO JUEGO Silencioan+1− − anSilencio.JUEGO JUEGO {displaystyle sum _{n=0}{infty - ¿Qué?<img alt="sum _{n=0}^{infty }|a_{n+1}-a_{n}|$ (para que la suma $sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|$ va a cero como $N$ va al infinito)
$lim a_{n}=0$

entonces ${textstyle S_{N}=sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$ converge.

En ambos casos, la suma de la serie satisface:

{displaystyle |S|=left|sum _{n=0}^{infty }a_{n}b_{n}right|leq Bsum _{n=0}^{infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}

Operadores de suma por partes para métodos de diferencias finitas de alto orden

Un operador de diferencia finita de suma por partes (SBP) consiste convencionalmente en un esquema interior de diferencia centrado y plantillas de límite específicas que imitan los comportamientos de la formulación de integración por partes correspondiente. Las condiciones de contorno generalmente se imponen mediante la técnica de Término de aproximación simultánea (SAT). La combinación de SBP-SAT es un marco poderoso para el tratamiento de límites. El método es el preferido por su estabilidad bien probada para simulación a largo plazo y un alto nivel de precisión.

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