Subgrupo frattini

En las matemáticas, particularmente en la teoría del grupo, Subgrupo de Frattini ${displaystyle Phi (G)}$ de un grupo G es la intersección de todos los subgrupos maximales de G. Para el caso de que G no tiene subgrupos maximales, por ejemplo el grupo trivial {e} o un grupo Prüfer, se define por ${displaystyle Phi (G)=G}$. Es análogo al radical de Jacobson en la teoría de los anillos, e intuitivamente se puede pensar como el subgrupo de "elementos pequeños" (ver la caracterización "no-generador" abajo). Es nombrado por Giovanni Frattini, quien definió el concepto en un documento publicado en 1885.

Algunos datos

• ${displaystyle Phi (G)}$ es igual al conjunto de todos no-generadores o elementos no generadores de G. Un elemento no generador de G es un elemento que siempre se puede eliminar de un conjunto generador; es decir, un elemento a de G tal como sea X es un conjunto generador de G que contiene a, ${displaystyle Xsetminus {a}}$ es también un conjunto generador de G.
• ${displaystyle Phi (G)}$ es siempre un subgrupo característico de G; en particular, es siempre un subgrupo normal de G.
• Si G es finito, entonces ${displaystyle Phi (G)}$ es nilpotente.
• Si G es un grupo p finito, entonces ${displaystyle Phi (G)=G^{p}[G,G]}$. Así el subgrupo Frattini es el subgrupo normal más pequeño (con respecto a la inclusión) N tal que el grupo cociente ${displaystyle G/N}$ es un grupo abeliano elemental, es decir, isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos de orden p. Moreover, if the quotient group ${displaystyle G/Phi (G)}$ (también llamado el Frattini cociente de G) tiene orden ${displaystyle p^{k}$, entonces k es el menor número de generadores para G (es decir, la más pequeña cardenalidad de un conjunto generador para G). En particular un finito p- el grupo es cíclico si y sólo si su cociente Frattini es cíclico (de orden) p). Un finito p- el grupo es abeliano elemental si y sólo si su subgrupo Frattini es el grupo trivial, ${displaystyle Phi (G)={e}$.
• Si H y K son finitos, entonces ${displaystyle Phi (Htimes K)=Phi (H)times Phi (K)}$.

Un ejemplo de un grupo con subgrupo Frattini notrivial es el grupo cíclico G de orden ${displaystyle p^{2}$, donde p es primo, generado por aAquí, ${displaystyle Phi (G)=leftlangle a^{p}rightrangle }$.