Subasta Vickrey

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Una subasta de Vickrey o subasta de segundo precio con oferta sellada (SBSPA) es un tipo de subasta con oferta sellada. Los postores presentan ofertas por escrito sin conocer la oferta de las otras personas en la subasta. El postor más alto gana, pero el precio pagado es la segunda oferta más alta. Este tipo de subasta es estratégicamente similar a una subasta inglesa y brinda a los postores un incentivo para ofertar su verdadero valor. La subasta fue descrita por primera vez académicamente por el profesor de la Universidad de Columbia William Vickrey en 1961, aunque los coleccionistas de sellos la habían utilizado desde 1893. En 1797, Johann Wolfgang von Goethe vendió un manuscrito mediante una subasta de segundo precio con oferta sellada.

El artículo original de Vickrey consideraba principalmente las subastas en las que se vende un solo bien indivisible. Los términos subasta de Vickrey y subasta de oferta sellada de segundo precio son, solo en este caso, equivalentes y se usan indistintamente. En el caso de múltiples bienes idénticos, los oferentes presentan curvas de demanda inversas y pagan el costo de oportunidad.

Las subastas de Vickrey se estudian mucho en la literatura económica pero son poco comunes en la práctica. Existen variantes generalizadas de la subasta de Vickrey para subastas de unidades múltiples, como la subasta generalizada de segundo precio utilizada en los programas de publicidad en línea de Google y Yahoo! (no compatible con incentivos) y la subasta de Vickrey-Clarke-Groves (compatible con incentivos).

Propiedades

Autorrevelación y compatibilidad de incentivos

En una subasta de Vickrey con valores privados, cada postor maximiza su utilidad esperada ofertando (revelando) su valoración del artículo en venta. Este tipo de subastas a veces se utilizan para el comercio de grupos específicos en el mercado de valores respaldados por hipotecas (MBS) de agencias.

Eficiencia ex-post

Una subasta de Vickrey es una decisión eficiente (el ganador es el postor con la valoración más alta) en las circunstancias más generales; por lo tanto, proporciona un modelo de referencia contra el cual se pueden postular las propiedades de eficiencia de otros tipos de subastas. Solo es eficiente ex post (suma de transferencias igual a cero) si el vendedor se incluye como "jugador cero", cuya transferencia es igual al negativo de la suma de las transferencias de los otros jugadores (es decir, las ofertas).

Debilidades

No permite el descubrimiento de precios, es decir, el descubrimiento del precio de mercado si los compradores no están seguros de sus propias valoraciones, sin subastas secuenciales.
Los vendedores pueden usar ofertas falsas para aumentar las ganancias.

El mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves (VCG) tiene las deficiencias adicionales:

Es vulnerable a la colusión de los postores. Si todos los postores en la subasta de Vickrey revelan sus valoraciones entre sí, pueden reducir algunas o todas sus valoraciones, al tiempo que conservan quién gana la subasta.
Es vulnerable a una versión de puja fraudulenta en la que un comprador utiliza varias identidades en la subasta para maximizar sus beneficios.
No maximiza necesariamente los ingresos del vendedor; los ingresos del vendedor pueden incluso ser cero en las subastas de VCG. Si el propósito de realizar la subasta es maximizar las ganancias para el vendedor en lugar de simplemente asignar recursos entre los compradores, entonces VCG puede ser una mala elección.
Los ingresos del vendedor no son monótonos con respecto a los conjuntos de postores y ofertas.

La no monotonicidad de los ingresos del vendedor con respecto a las ofertas (sin introducir el mecanismo de costo de oportunidad VCG descrito al final de este artículo) se puede mostrar con el siguiente ejemplo. Considere 3 postores A, B y C, y dos artículos homogéneos ofertados, Y y Z.

A quiere ambos artículos y ofrece $2 por el paquete de Y y Z.
B y C ofrecen $2 cada uno por un solo artículo (oferta $2 por Y o Z), ya que realmente quieren un artículo pero no les importa si tienen el segundo.

Ahora, Y y Z se asignan a B y C, pero el precio es $0, como se puede encontrar eliminando B o C respectivamente. Si C ofrece $0 en lugar de $2, entonces el vendedor ganaría $2 en lugar de $0. Debido a que los ingresos del vendedor pueden aumentar cuando las ofertas aumentan o disminuyen, los ingresos del vendedor no son monótonos con respecto a las ofertas.

Prueba de dominancia de licitación veraz

La estrategia dominante en una subasta de Vickrey con un artículo único e indivisible es que cada postor haga una oferta por el valor real del artículo.

Sea $v_{yo}$ el valor del postor i por el artículo. Sea $bi}$ la puja del postor por el artículo. El pago para el postor i esmax_{{jneq i}} b_{j}\0&{text{de lo contrario}}end{casos}}">

La estrategia de sobrepujar está dominada por pujar con sinceridad. Suponga que el postor i hace una oferta v_{i}">.

Si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387eb6d179cc95dcef775dd73b012da0972f0832" alt="max _{{jneq i}}b_{j}entonces el postor ganaría el artículo con una oferta veraz, así como con una sobreoferta. El monto de la oferta no cambia el pago, por lo que las dos estrategias tienen pagos iguales en este caso.

b_{i}">Entonces, el postor perdería el artículo de cualquier manera, por lo que las estrategias tienen los mismos beneficios en este caso.

Si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c18d6f76566270f3e222e9a4b7a46b892b75bf" alt="v_{i}<max_{{jneq i}}b_{j}entonces solo la estrategia de sobrepujar ganara la subasta. El pago sería negativo para la estrategia de sobreoferta porque pagaron más que el valor del artículo, mientras que el pago por una oferta veraz sería cero. Así, la estrategia de pujar por encima de la valoración real de uno está dominada por la estrategia de pujar con sinceridad.

La estrategia de pujar de menos está dominada por pujar con sinceridad. Suponga que el postor i hace una oferta <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a032f59894329a9cf40ad2d7eed3c875f287ef" alt="b_{i}.

Si v_{i}">entonces el postor perdiera el artículo con una oferta verdadera y una oferta inferior, entonces las estrategias tienen beneficios iguales para este caso.

Si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bddf55440fce48bf23442ef726df416cbf60ea2" alt="max _{{jneq i}}b_{j}entonces el postor ganaría el artículo de cualquier manera, las estrategias tienen pagos iguales en este caso.

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9dd3ab81dd82b2d14ff54034006c1fb8f61ac9" alt="b_{i}<max_{{jneq i}}b_{j}El pago por la estrategia veraz sería positivo ya que pagaron menos que el valor del artículo, mientras que el pago por una oferta inferior sería cero. Por lo tanto, la estrategia de licitación insuficiente está dominada por la estrategia de licitación veraz.

La oferta veraz domina las otras estrategias posibles (suboferta y sobreoferta) por lo que es una estrategia óptima.

Equivalencia de ingresos de la subasta de Vickrey y la subasta sellada de primer precio

Las dos subastas más comunes son la subasta sellada de primer precio (o de puja alta) y la subasta abierta de precio ascendente (o inglesa). En el primero, cada comprador presenta una oferta sellada. El mejor postor recibe el artículo y paga su oferta. En este último, el subastador anuncia sucesivamente precios de venta más altos y continúa hasta que nadie está dispuesto a aceptar un precio más alto. Suponga que la valoración de un comprador es $v$ y el precio de venta actual es $b$ . Si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab9909a4f4d481fa15e5717f7a69cad1a3a34afb" alt="{ estilo de visualización v, entonces el comprador pierde al levantar la mano. Si b}">y el comprador no es el mejor postor actual, es más rentable ofertar que dejar que otro sea el ganador. Por lo tanto, es una estrategia dominante para un comprador abandonar la oferta cuando el precio solicitado alcanza su valoración. Así, al igual que en la subasta de segundo precio sellada de Vickrey, el precio pagado por el comprador con la valoración más alta es igual al segundo valor más alto.

Considere entonces el pago esperado en la subasta sellada de segundo precio. Vickrey consideró el caso de dos compradores y asumió que el valor de cada comprador era un sorteo independiente de una distribución uniforme con soporte $[0,1]$ . Con compradores pujando de acuerdo con sus estrategias dominantes, un comprador con valoración $v$ gana si el valor de su oponente <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c0a201a71e15d97ae80bb3240e3edf6b2e4cef" alt="{ estilo de visualización x . Supongamos que ese $v$ es el valor alto. Luego, el pago ganador se distribuye uniformemente en el intervalo ${ estilo de visualización [0, v]}$ y, por lo tanto, el pago esperado del ganador es $e(v)={tfrac{1}{2}}v$ .

Ahora argumentamos que en la subasta sellada de primer precio la oferta de equilibrio de un comprador con valuación $v$ es $B(v)=e(v)={tfrac{1}{2}}v$ .

Es decir, el pago del ganador en la subasta sellada de primer precio es igual al ingreso esperado en la subasta sellada de segundo precio.Prueba de equivalencia de ingresos

Supongamos que el comprador 2 puja según la estrategia ${ estilo de visualización B (v) = v/2}$ , donde $B(v)$ está la puja del comprador por una valoración $v$ . Necesitamos mostrar que la mejor respuesta del comprador 1 es usar la misma estrategia.

Tenga en cuenta primero que si el comprador 2 usa la estrategia ${ estilo de visualización B (v) = v/2}$ , entonces la oferta máxima del comprador 2 es ${ estilo de visualización B (1) = 1/2}$ y, por lo tanto, el comprador 1 gana con probabilidad 1 con cualquier oferta de 1/2 o más. Considere entonces una oferta $b$ en el intervalo ${ estilo de visualización [0,1/2]}$ . Sea el valor del comprador 2 $X$ . Entonces el comprador 1 gana si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2fb9e9e1aead3e93c03aaece3d16d24d4a98bf" alt="{ estilo de visualización B (x) = x/2 , es decir, si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa4d63cc64997f2b8681765369652feb1134676" alt="{ estilo de visualización x . Bajo el supuesto de Vickrey de valores uniformemente distribuidos, la probabilidad de ganar es ${ estilo de visualización w (b) = 2b}$ . Por lo tanto, el pago esperado del comprador 1 es $U(b)=w(b)(vb)=2b(vb)={tfrac {1}{2}}[{{v}^{{2}}}-{{(v-2b)}^ {{2}}}]$

Tenga en cuenta que ${ estilo de visualización U (b)}$ toma su máximo en ${ estilo de visualización b = v/2 = B (v)}$ .

Uso en enrutamiento de red

En el enrutamiento de redes, los mecanismos VCG son una familia de esquemas de pago basados en el concepto de valor agregado. La idea básica de un mecanismo VCG en el enrutamiento de redes es pagar al propietario de cada enlace o nodo (dependiendo del modelo de red) que sea parte de la solución, su costo declarado más su valor agregado. En muchos problemas de enrutamiento, este mecanismo no solo es a prueba de estrategia, sino también el mínimo entre todos los mecanismos a prueba de estrategia.

En el caso de flujos de red, unicast o multicast, se calcula un flujo de costo mínimo (MCF) en el gráfico G en base a los costos declarados d _k de cada uno de los enlaces y el pago se calcula de la siguiente manera:

Cada enlace (o nodo) $scriptstyle e_{k}$ en el MCF se paga $p_{k}=d_{k}+MCF(G-e_{k})-MCF(G)$ ,

donde MCF(G) indica el costo del flujo de costo mínimo en el gráfico G y G − e _k indica el gráfico G sin el vínculo e _k. Los enlaces que no están en el MCF no se pagan nada. Este problema de enrutamiento es uno de los casos en los que VCG es a prueba de estrategia y mínimo.

En 2004, se demostró que el sobrepago esperado de VCG de un gráfico aleatorio Erdős-Rényi con n nodos y probabilidad de borde p, $scriptstyle Gin G(n,p)$ se aproxima a ${frac{p}{2-p}}$

como n, enfoques $scriptstyle infty$ , para $np=omega ({sqrt {nlog n}})$ . Previo a este resultado, se sabía que el sobrepago de VCG en G (n, p) es $Omega left({frac {1}{np}}right)$

y $O(1),$

con alta probabilidad dada $np=omega (log n).,$

Generalizaciones

La generalización más obvia para bienes múltiples o divisibles es que todos los postores ganadores paguen el monto de la oferta no ganadora más alta. Esto se conoce como una subasta de precio uniforme. Sin embargo, la subasta de precio uniforme no da como resultado que los postores ofrezcan sus valores reales como lo hacen en una subasta de segundo precio, a menos que cada postor tenga demanda de una sola unidad. Una generalización de la subasta de Vickrey que mantiene el incentivo para ofertar con sinceridad se conoce como el mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves (VCG). La idea en VCG es que los elementos se asignan para maximizar la suma de las utilidades; luego, cada postor paga el "costo de oportunidad" que su presencia presenta a todos los demás jugadores. Este costo de oportunidad para un postor se define como las ofertas totales de todos los demás postores que habrían ganado si el primer postor no hubiera ofertado.

Un tipo diferente de generalización es establecer un precio de reserva, un precio mínimo por debajo del cual el artículo no se vende en absoluto. En algunos casos, establecer un precio de reserva puede aumentar sustancialmente los ingresos del subastador. Este es un ejemplo de diseño de mecanismo bayesiano óptimo.

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