Subasta de valor común

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En las subastas de valor común, el valor del artículo en venta es idéntico entre los postores, pero los postores tienen información diferente sobre el valor del artículo. Esto contrasta con una subasta de valor privado donde la valoración privada del artículo de cada postor es diferente e independiente de las valoraciones de los pares.

Un ejemplo clásico de una subasta de valores comunes puros es cuando se subasta un frasco lleno de monedas de veinticinco centavos. El frasco valdrá la misma cantidad para cualquiera. Sin embargo, cada postor tiene una estimación diferente de cuántas monedas hay en el frasco. Otros ejemplos de la vida real incluyen subastas de letras del Tesoro, ofertas públicas iniciales, subastas de espectro, pinturas muy preciadas, piezas de arte, antigüedades, etc.

Un fenómeno importante que ocurre en las subastas de valor común es la maldición del ganador. Los postores solo tienen estimaciones del valor del bien. Si, en promedio, los postores estiman correctamente, la oferta más alta tenderá a ser realizada por alguien que sobrestimó el valor del bien. Este es un ejemplo de selección adversa, similar al clásico ejemplo de "limones" de Akerlof. Los postores racionales anticiparán la selección adversa, de modo que, aunque su información resulte demasiado optimista cuando ganen, no pagan demasiado en promedio.

A veces, el término maldición del ganador se usa de manera diferente, para referirse a casos en los que los postores ingenuos ignoran la selección adversa y ofertan lo suficiente más de lo que haría un postor totalmente racional que en realidad pagan más de lo que vale el bien. Este uso prevalece en la literatura de economía experimental, en contraste con la literatura teórica y empírica sobre subastas.

Subastas de valor interdependiente

Las subastas de valor común y las subastas de valor privado son dos extremos. Entre estos dos extremos se encuentran las subastas de valor interdependiente (también llamadas: subastas de valor afiliado), donde las valoraciones de los postores (por ejemplo, $theta _{i}=theta +nu _{i}$ ) pueden tener un componente de valor común ( $theta$ ) y un $No yo}$ componente de valor privado (). Los dos componentes se pueden correlacionar de modo que la valoración privada de un postor pueda influir en la valoración de otro postor. Estos tipos de subastas comprenden la mayoría de las subastas del mundo real y, a veces, también se denominan confusamente subastas de valor común.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos, una subasta de valor común se modela como un juego bayesiano. Intentamos encontrar un equilibrio bayesiano de Nash (BNE), que es una función de la información que posee un jugador a la oferta de ese jugador. Nos centramos en una BNE simétrica (SBNE), en la que todos los licitadores utilizan la misma función.

Señales binarias, subasta de primer precio

El siguiente ejemplo se basa en Acemoglu y Özdağlar.

Hay dos postores que participan en una subasta de oferta sellada al primer precio por un objeto que tiene alta calidad (valor V) o baja calidad (valor 0) para ambos. Cada postor recibe una señal que puede ser alta o baja, con una probabilidad de 1/2. La señal está relacionada con el valor verdadero de la siguiente manera:

Si al menos un postor recibe una señal baja, entonces el valor real es 0.
Si ambos reciben una señal alta, entonces el valor verdadero es V.

Este juego no tiene SBNE en estrategias puras.

PRUEBA: Supongamos que existiera tal equilibrio b. Esta es una función de una señal a una oferta, es decir, un jugador con señal x ofrece b (x). Claramente b (bajo)=0, ya que un jugador con señal baja sabe con certeza que el verdadero valor es 0 y no quiere pagar nada por ello. Además, b (alta) ≤ V, de lo contrario no habrá ganancia en la participación. Suponga que el postor 1 tiene b1 (alto) = B1 > 0. Estamos buscando la mejor respuesta para el postor 2, b2 (alto) = B2. Hay varios casos:

El otro postor ofrece B2 < B1. Entonces, su ganancia esperada es 1/2 (la probabilidad de que el postor 1 tenga una señal baja) por −B2 (ya que en ese caso gana un artículo sin valor y paga b2 (alto)), más 1/2 (la probabilidad de que el postor 1 tiene una señal alta) por 0 (ya que en ese caso pierde el artículo). La ganancia esperada total es −B2/2, que es peor que 0, por lo que no puede ser la mejor respuesta.
El otro postor ofrece B2 = B1. Entonces, su ganancia esperada es 1/2 por −B2, más 1/2 por 1/2 por [V− B2] (dado que en ese caso, gana el artículo con probabilidad 1/2). La ganancia total esperada es (V − 3 B2)/4.
El postor b2 ofrece B2 > B1. Entonces, su ganancia esperada es 1/2 por −B2, más 1/2 por [V− B2] (dado que en ese caso, gana el artículo con probabilidad 1). La ganancia total esperada es (2 V − 4 B2)/4.

Esta última expresión es positiva sólo cuando B2 < V/2. Pero en ese caso, la expresión en el n.° 3 es mayor que la expresión en el n.° 2: siempre es mejor ofertar un poco más que el otro postor. Esto significa que no hay equilibrio simétrico.

Este resultado contrasta con el caso de valor privado, donde siempre hay una SBNE (ver subasta de oferta sellada a primer precio).

Señales independientes, subasta de segundo precio

El siguiente ejemplo se basa en.

Hay dos postores que participan en una subasta de oferta sellada al segundo precio por un objeto. Cada postor $i$ recibe señal $si}$ ; las señales son independientes y tienen una distribución uniforme continua en [0,1]. Las valoraciones son: ${displaystyle v_{i}=acdot s_{i}+bcdot s_{-i}}$

donde $a,b$ son constantes ( ${ estilo de visualización a = 1, b = 0}$ significa valores privados; $a=b$ significa valores comunes).

Aquí, existe un SBNE único en el que cada jugador puja: ${displaystyle b(s_{i})=(a+b)cdot s_{i}}$

Este resultado contrasta con el caso de valor privado, en el que en la SBNE cada jugador ofrece su valor con sinceridad (ver subasta de oferta sellada al segundo precio).

Señales dependientes, subasta de segundo precio

Este ejemplo se sugiere como una explicación para saltar las ofertas en las subastas inglesas.

Dos postores, Xenia y Yakov, participan en una subasta por un solo artículo. Las valoraciones dependen de AB y C, tres variables aleatorias independientes extraídas de una distribución uniforme continua en el intervalo [0,36]:

Xenia ve ${ estilo de visualización X: = A + B}$ ;
Yakov ve ${ estilo de visualización Y: = B + C}$ ;
El valor común del artículo es ${ estilo de visualización V: = (X + Y)/2 = (A + 2B + C)/2}$ .

A continuación consideramos varios formatos de subasta y encontramos una SBNE en cada uno de ellos. Para simplificar buscamos SBNE en el que cada postor puja $r$ multiplicado por su señal: Xenia puja ${displaystyle rcdot X}$ y Yakov puja ${displaystyle rcdot Y}$ . Tratamos de encontrar el valor de $r$ en cada caso.

En una subasta de segundo precio en sobre cerrado, existe una SBNE con $r=1$ , es decir, cada postor puja exactamente su señal.

PRUEBA: La prueba toma el punto de vista de Xenia. Suponemos que ella sabe que Yakov hace una oferta ${ estilo de visualización rY}$ , pero no lo sabe $Y$ . Encontramos la mejor respuesta de Xenia a la estrategia de Yakov. Supongamos que Xenia hace una oferta $Z$ . Hay dos casos:

${ estilo de visualización Z geq rY}$ . Entonces Xenia gana y disfruta de una ganancia neta de ${displaystyle V-rY=(X+Y-2rY)/2}$ .
${ estilo de visualización Z <rY}$ . Entonces Xenia pierde y su ganancia neta es 0.

Con todo, la ganancia esperada de Xenia (dada su señal X) es: ${displaystyle int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2rY over 2}cdot f(Y|X)dY}$

donde ${ estilo de visualización f (Y | X)}$ es la densidad de probabilidad condicional de Y dado X.

Por el teorema fundamental del cálculo, la derivada de esta expresión en función de Z es simplemente ${displaystyle {1 sobre r}{X+Z/r-2Z sobre 2}cdot f(Z/r|X)}$ . Esto es cero cuando ${ estilo de visualización X = 2Z-Z/r}$ . Entonces, la mejor respuesta de Xenia es pujar ${displaystyle Z={rXsobre 2r-1}}$ .

En un BNE simétrico, Xenia puja ${ estilo de visualización Z = rX}$ . La comparación de las dos últimas expresiones implica que $r=1$ .

Los ingresos esperados del subastador son: ${displaystyle =E[min(X,Y)]=E[B+min(A,C)]}$ ${ estilo de visualización = E [B] + E [ min (A, C)]}$ ${ estilo de visualización = 18 + 12 = 30}$

En una subasta japonesa, el resultado es el mismo que en la subasta de segundo precio, ya que la información se revela solo cuando uno de los postores sale, pero en este caso la subasta ha terminado. Entonces cada postor sale en su observación.

Señales dependientes, subasta de primer precio

En el ejemplo anterior, en una subasta a primer precio en sobre cerrado, existe una SBNE con ${ estilo de visualización r = 2/3}$ , es decir, cada postor oferta 2/3 de su señal.

${ estilo de visualización Z geq rY}$ . Entonces Xenia gana y disfruta de una ganancia neta de ${displaystyle VZ=(X+Y-2Z)/2}$ .
${ estilo de visualización Z <rY}$ . Entonces Xenia pierde y su ganancia neta es 0.

Con todo, la ganancia esperada de Xenia (dada su señal X y su oferta Z) es: ${displaystyle G(X,Z)=int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2Z over 2}cdot f(Y|X)dY}$

donde ${ estilo de visualización f (Y | X)}$ es la densidad de probabilidad condicional de Y dado X.

Como ${ estilo de visualización Y = X + CA}$ , la densidad de probabilidad condicional de Y es:

${ estilo de visualización f (Y | X) = Y- (X-1)}$ cuando ${displaystyle X-1leq Yleq X}$
${ estilo de visualización f (Y | X) = (X + 1) -Y}$ cuando ${displaystyle Xleq Yleq X+1}$

Sustituyendo esto en la fórmula anterior da que la ganancia de Xenia es: ${displaystyle G(X,Z)={1 over r^{3}}(XZ^{2}r/2+Z^{3}/3-Z^{3}r)}$

Esto tiene un máximo cuando ${displaystyle Z={rXsobre 3r-1}}$ . Pero, como queremos una BNE simétrica, también queremos tener ${ estilo de visualización Z = rX}$ . Estas dos igualdades juntas implican que ${ estilo de visualización r = 2/3}$ .

Los ingresos esperados del subastador son: ${displaystyle =E[max(fX,fY)]=(2/3)E[B+max(A,C)]}$ ${ estilo de visualización = (2/3) (E [B] + E [ max (A, C)])}$ ${ estilo de visualización = (2/3) (18 + 24) = 28}$

Tenga en cuenta que aquí, el principio de equivalencia de ingresos NO se cumple: los ingresos del subastador son más bajos en una subasta de primer precio que en una subasta de segundo precio (la equivalencia de ingresos se cumple solo cuando los valores son independientes).

Relación con la competencia de Bertrand

Las subastas de valor común son comparables a la competencia de Bertrand. Aquí, las empresas son los postores y el consumidor es el subastador. Las empresas "ofertan" precios hasta, pero sin exceder, el valor real del artículo. La competencia entre las empresas debería eliminar las ganancias. El número de empresas influirá en el éxito o no del proceso de subasta al impulsar el precio hacia el valor real. Si el número de empresas es pequeño, la colusión puede ser posible. Ver Monopolio, Oligopolio.