Sólido catalán

Triakis tetrahedron, pentagonal icositetrahedron y disdyakis triacontahedron.

Los sólidos arriba (ork) mostrados junto con sus duales (luz). Las partes visibles de los sólidos catalanes son pirámides regulares.

En matemáticas, un sólido catalán, o dual de Arquímedes, es un poliedro dual con un sólido de Arquímedes. Hay 13 sólidos catalanes. Deben su nombre al matemático belga Eugène Catalan, quien los describió por primera vez en 1865.

Los sólidos catalanes son todos convexos. Son transitivos de caras pero no transitivos de vértices. Esto se debe a que los sólidos duales de Arquímedes son transitivos por vértices y no transitivos por caras. Tenga en cuenta que, a diferencia de los sólidos platónicos y de Arquímedes, las caras de los sólidos catalanes no son polígonos regulares. Sin embargo, las figuras de vértices de los sólidos catalanes son regulares y tienen ángulos diédricos constantes. Al ser transitivos por caras, los sólidos catalanes son isoedros.

Además, dos de los sólidos catalanes son transitivos de arista: el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico. Estos son los duales de los dos sólidos casi regulares de Arquímedes.

Así como los prismas y antiprismas generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, las bipirámides y los trapezoedros generalmente no se consideran sólidos catalanes, a pesar de ser transitivos de caras.

Dos de los sólidos catalanes son quirales: el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal, dual al cubo chato quiral y al dodecaedro chato. Cada uno de ellos viene en dos enantiomorfos. Sin contar los enantiomorfos, bipirámides y trapezoedros, hay un total de 13 sólidos catalanes.

Lista de sólidos catalanes y sus duales

Nombre Nombre de Conway	Archimedean Dual	Facepolygon	Ortogonal cables	Fotos	Ángulos faciales (°)	Ángulo Dihedral (°)	Midradius	Caras	Edges	Vert	Sym.
triakis tetrahedron "KT"	truncated tetrahedron	Isosceles V3.6.6			112.885 33.557 33.557	129.521	1.0607	12	18	8	Td
rhombic dodecahedron "JC"	cuboctahedron	Rhombus V3.4.3.4			70.529 109.471 70.529 109.471	120	0,8660	12	24	14	Oh
triakis octahedron "KO"	truncado cubo	Isosceles V3.8.8			117.201 31.400 31.400	147.350	1.7071	24	36	14	Oh
tetrakis hexahedron "kC"	truncado octaedro	Isosceles V4.6.6			83.621 48.190 48.190	143.130	1.5000	24	36	14	Oh
deltoidal icositetraedron "oC"	rhombicuboctahedron	Kite V3.4.4.4			81.579 81.579 81.579 115.263	138.118	1.3066	24	48	26	Oh
disdyakis dodecahedron "MC"	truncated cuboctahedron	Scalene V4.6.8			87.202 55.025 37.773	155.082	2.2630	48	72	26	Oh
pentagonal icositetraedron "gC"	snub cube	Pentágono V3.3.3.3.4			114.812 114.812 114.812 114.812 80.752	136.309	1.2472	24	60	38	O
rhombic triacontahedron "JD"	icosidodecahedron	Rhombus V3.5.3.5			63.435 116,565 63.435 116,565	144	1.5388	30	60	32	Ih
triakis icosahedron "kI"	truncado dodecahedron	Isosceles V3.10.10			119.039 30.480 30.480	160.613	2.9271	60	90	32	Ih
pentakis dodecahedron "KD"	icosahedron truncado	Isosceles V5.6.6			68.619 55.691 55.691	156,719	2.4271	60	90	32	Ih
deltoidal hexecontahedron "oD"	rhombicosidodecahedron	Kite V3.4.5.4			86.974 67.783 86.974 118.269	154.121	2.1763	60	120	62	Ih
disdyakis triacontahedron "MD"	icosidodecedro truncado	Scalene V4.6.10			88.992 58.238 32.770	164.888	3.7694	120	180	62	Ih
pentagonal hexecontahedron "GD"	snub dodecahedron	Pentágono V3.3.3.3.5			118.137 118.137 118.137 118.137 67.454	153.179	2.0971	60	150	92	I

Simetría

Los sólidos catalanes, junto con sus sólidos duales de Arquímedes, se pueden agrupar en aquellos con simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica. Tanto para la simetría octaédrica como para la icosaédrica existen seis formas. El único sólido catalán con simetría tetraédrica genuina es el tetraedro triakis (dual del tetraedro truncado). El dodecaedro rómbico y el hexaedro tetrakis tienen simetría octaédrica, pero se pueden colorear para que solo tengan simetría tetraédrica. La rectificación y el desaire también existen con simetría tetraédrica, pero son platónicos en lugar de arquímedes, por lo que sus duales son platónicos en lugar de catalanes. (Se muestran con fondo marrón en la siguiente tabla).

Simetría tetraedral

Archimedean (Platonic)
Catalan (Platonic)

Simetría octadral

Archimedean
Catalan

Simetría Icosahedral

Archimedean
Catalan

Geometría

Todos los ángulos dihedral de un sólido catalán son iguales. Denotar su valor ${displaystyle theta }$ y denotar el ángulo de la cara en los vértices donde ${displaystyle p}$ caras ${displaystyle alpha _{p}$, tenemos

${displaystyle sin(theta /2)=cos(pi /p)/cos(alpha _{p}/2)}$.

Esto se puede utilizar para calcular ${displaystyle theta }$ y ${displaystyle alpha _{p}$, ${displaystyle alpha _{q}$De... ${displaystyle p}$, ${displaystyle q}$... sólo.

Caras triangulares

De los 13 sólidos catalanes, 7 tienen caras triangulares. Estos son de la forma Vp.q.r, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Los ángulos ${displaystyle alpha _{p}$, ${displaystyle alpha _{q}$ y ${displaystyle alpha _{r}$ se puede computar de la siguiente manera. Put ${displaystyle a=4cos ^{2}(pi /p)}$, ${displaystyle b=4cos ^{2}(pi /q)}$, ${displaystyle c=4cos ^{2}(pi /r)}$ y puesto

${displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}$.

Entonces

${displaystyle cos(alpha _{p})={frac {S}{2bc}-1}$,

${displaystyle sin(alpha _{p}/2)={frac {-a+b+c}{2{sqrt {bc}}}}$.

Para ${displaystyle alpha _{q}$ y ${displaystyle alpha _{r}$ las expresiones son similares, por supuesto. El ángulo dihedral ${displaystyle theta }$ puede ser calculado de

${displaystyle cos(theta)=1-2abc/S}$.

Aplicando esto, por ejemplo, al triacontahedro disdyakis (${displaystyle p=4}$, ${displaystyle q=6}$ y ${displaystyle r=10}$, por lo tanto ${displaystyle a=2}$, ${displaystyle b=3}$ y ${displaystyle c=phi +2}$, donde ${displaystyle phi }$ es la relación de oro) ${displaystyle cos(alpha _{4})={frac {2-phi # {6(2+phi)}={frac {7-4phi } {30}}$ y ${displaystyle cos(theta)={frac {-10-7phi }{14+5phi ¿Qué?$.

Caras cuadriláteros

De los 13 sólidos catalanes, 4 tienen caras cuadrilaterales. Estos son de la forma Vp.q.p.r, donde p, q y r toman sus valores entre 3, 4 y 5. El ángulo ${displaystyle alpha _{p}$puede ser computado por la siguiente fórmula:

${displaystyle cos(alpha _{p})={frac {2cos ^{2}(pi /p)-cos ^{2}(pi /q)-cos ^{2} {2cos ^{2}(pi /r)}(pi /p)+2cos(cos(pi /q)cos)cos$.

De esto, ${displaystyle alpha _{q}$, ${displaystyle alpha _{r}$ y el ángulo dihedral se puede calcular fácilmente. Alternativamente, poner ${displaystyle a=4cos ^{2}(pi /p)}$, ${displaystyle b=4cos ^{2}(pi /q)}$, ${displaystyle c=4cos ^{2}(pi /p)+4cos(pi /q)cos(pi /r)}$. Entonces... ${displaystyle alpha _{p}$ y ${displaystyle alpha _{q}$ se puede encontrar aplicando las fórmulas para el caso triangular. El ángulo ${displaystyle alpha _{r}$ puede ser calculado de forma similar, por supuesto. Las caras son gatitos, o, si ${displaystyle q=r}$, rhombi. Aplicando esto, por ejemplo, al icositetraedro deltoidal (${displaystyle p=4}$, ${displaystyle q=3}$ y ${displaystyle r=4}$), tenemos ${displaystyle cos(alpha _{4})={frac {1}{2}-{frac} {1}{4}{sqrt {2}}$.

Caras pentagonales

De los 13 sólidos catalanes, 2 tienen caras pentagonales. Estos son de la forma Vp.p.p.p.q, donde p=3, y q=4 o 5. El ángulo ${displaystyle alpha _{p}$se puede computar mediante la resolución de un grado tres ecuación:

${displaystyle 8cos ^{2}(pi /p)cos ^{3}(alpha _{p})-8cos ^{2}(pi /p)cos ^{2}(alpha _{p})+cos ^{2}(pi /q)=0}$.

Propiedades métricas

Para un sólido catalán ${displaystyle {bf}}$ Deja ${displaystyle {bf}}$ ser el dual con respecto a la mitad de la esfera ${displaystyle {bf}}$. Entonces... ${displaystyle {bf}}$ es un sólido arquímico con el mismo midsphere. Denota la longitud de los bordes de ${displaystyle {bf}}$ por ${displaystyle l}$. Vamos ${displaystyle r}$ ser el inradius de las caras ${displaystyle {bf}}$, ${displaystyle R_{m}$ el midradius de ${displaystyle {bf}}$ y ${displaystyle {bf}}$, ${displaystyle R_{i}$ el inradius de ${displaystyle {bf}}$, y ${displaystyle r_{c}$ el circumradius de ${displaystyle {bf}}$. Entonces estas cantidades se pueden expresar en ${displaystyle l}$ y el ángulo dihedral ${displaystyle theta }$ como sigue:

${displaystyle ¿Qué?$,

${displaystyle {2}={2} {4}{4} {1-cos theta }{1+cos theta }$,

${displaystyle {2}{2}{2}{8}{frac {1-cos theta)}{2}{1+cos theta }$,

${displaystyle {2} {1+cos theta }$.

Estas cantidades están relacionadas por ${displaystyle ¿Qué?$, ${displaystyle ¿Qué?$ y ${displaystyle ¿Qué?$.

Como ejemplo, dejemos ${displaystyle {bf}}$ ser un cuboctaedro con longitud de borde ${displaystyle l=1}$. Entonces... ${displaystyle {bf}}$ es un dodecaedro rhombic. Aplicar la fórmula para caras cuadrilátricas con ${displaystyle p=4}$ y ${displaystyle q=r=3}$ da ${displaystyle cos theta =-1/2}$, por lo tanto ${displaystyle R_{i}=3/4}$, ${displaystyle r_{m}={frac {1}{2}{sqrt {3}}$, ${displaystyle R_{c}=1}$, ${displaystyle r={frac {1}{4}{sqrt {3}}$.

Todos los vértices ${displaystyle {bf}}$ tipo ${displaystyle p}$ miente en una esfera con radio ${displaystyle R_{c,p}$ dado por

${displaystyle r_{c,p}{2}=r_{i}{2}+{frac {2r^{2}{1-cos alpha - Sí.$,

y de manera similar para ${displaystyle q,r,ldots }$.

Dualmente, hay una esfera que toca todas las caras de ${displaystyle {bf}}$ que son regulares ${displaystyle p}$-gones (y similarmente para ${displaystyle q,r,ldots }$) en su centro. El radio ${displaystyle r_{i,p}$ de esta esfera

${displaystyle ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}$.

Estos dos radios están relacionados por ${displaystyle ¿Qué?$. Continuando el ejemplo anterior: ${displaystyle cos alpha ¿Qué?$ y ${displaystyle cos alpha _{4}=1/3}$, que da ${displaystyle r_{c,3}={frac {3}{8}{sqrt {6}}$, ${displaystyle r_{c,4}={frac {3}{4}{sqrt {2}}$, ${displaystyle r_{i,3}={frac {1}{3}{sqrt {6}}$ y ${displaystyle {fnMicroc} {fnK}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$.

Si ${displaystyle P}$ es un vértice de ${displaystyle {bf}}$ tipo ${displaystyle p}$, ${displaystyle e}$ un borde de ${displaystyle {bf}}$ empezando ${displaystyle P}$, y ${displaystyle P^{prime }$ el punto donde el borde ${displaystyle e}$ toca la mitad de la esfera ${displaystyle {bf}}$, denota la distancia ${displaystyle PP^{prime }$ por ${displaystyle I_{p}$. Entonces los bordes de ${displaystyle {bf}}$ unir vértices de tipo ${displaystyle p}$ y tipo ${displaystyle q}$ tiene longitud ${displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}$. Estas cantidades pueden ser calculadas por

${displaystyle {fnK} {fnMicroc} {fnMicroc {cos(pi /p)}{sin(alpha _{p}}}}}}}$,

y de manera similar para ${displaystyle q,r,ldots }$. Continuando el ejemplo anterior: ${displaystyle sin(alpha ¿Qué? {1}{3}{sqrt {6}}$, ${displaystyle sin(alpha ¿Qué? {1}{3}{sqrt {3}}$, ${displaystyle l_{3}={frac {1}{8}{sqrt {6}}$, ${displaystyle {4}={4} {4}{sqrt {6}}} {fn}} {fn}}}$, por lo que los bordes del dodecaedro rhombic tienen longitud ${displaystyle {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$.

Los ángulos dihedral ${displaystyle alpha _{p,q}$entre ${displaystyle p}$-gonal y ${displaystyle q}$- caras pasadas de ${displaystyle {bf}}$ satisfacer satisfacción

${displaystyle cos alpha ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnh}={f}}={f}}= {fnMic} {cH00} {cH00}}} {cH00}}}}} {c}} {c}}}$.

Terminando el ejemplo de dodecaedro rhombic, el ángulo dihedral ${displaystyle alpha _{3,4}$ del cuboctaedro es dado por ${displaystyle cos alpha ##{3,4}=-{frac {1}{3}{sqrt {3}}$.

Construcción

La cara de cualquier poliedro catalán se puede obtener a partir de la figura del vértice del sólido dual de Arquímedes utilizando la construcción de Dorman Luke.

Aplicación a otros sólidos

Todas las fórmulas de esta sección se aplican a los sólidos platónicos, y bipyramides y trapezohedra con ángulos igual dihedral también, porque pueden derivarse de la propiedad de ángulo dihedral constante solamente. Para el trapezohedro pentagonal, por ejemplo, con caras V3.3.5.3, obtenemos ${displaystyle cos(alpha ¿Qué? frac {1}{4}-{frac {1}{4}{sqrt {5}}$, o ${displaystyle alpha - No.$. Esto no es sorprendente: es posible cortar ambos ápices de tal manera que obtengan un dodecaedro regular.