Sistema lineal

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Sistema físico que satisface el principio de la superposición

En la teoría de sistemas, a sistema lineal es un modelo matemático de un sistema basado en el uso de un operador lineal. Los sistemas lineales suelen exhibir características y propiedades mucho más simples que el caso no lineal. Como abstracción matemática o idealización, los sistemas lineales encuentran importantes aplicaciones en la teoría de control automático, procesamiento de señales y telecomunicaciones. Por ejemplo, el medio de propagación para los sistemas de comunicación inalámbrica a menudo puede ser modelado por sistemas lineales.

Definición

Un sistema determinístico general puede ser descrito por un operador, $H$ , que mapa una entrada, $x () t)$ , como función de $t$ a un producto, $Sí. () t)$ , un tipo de descripción de la caja negra.

Un sistema es lineal si y sólo si satisface el principio de superposición, o equivalentemente las propiedades de aditividad y homogeneidad, sin restricciones (es decir, para todas las entradas, todas las constantes de escalada y todo el tiempo).

El principio de superposición significa que una combinación lineal de entradas al sistema produce una combinación lineal de las salidas individuales de estado cero (es decir, salidas que establecen las condiciones iniciales en cero) correspondientes a las entradas individuales.

En un sistema que satisface la propiedad de la homogeneidad, escalar la entrada siempre resulta en escalar la respuesta cero-estado por el mismo factor. En un sistema que satisface la propiedad de la aditividad, la adición de dos entradas siempre resulta en añadir las correspondientes dos respuestas cero-estado debido a las entradas individuales.

Matemáticamente, para un sistema de tiempo continuo, dadas dos entradas arbitrarias

{displaystyle {begin{aligned}x_{1}(t)\x_{2}(t)end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}y_{1}(t)&=Hleft{x_{1}(t)right}\y_{2}(t)&=Hleft{x_{2}(t)right}end{aligned}}}

{displaystyle alpha y_{1}(t)+beta y_{2}(t)=Hleft{alpha x_{1}(t)+beta x_{2}(t)right}}

α

β

x 1 () t)

x 2 () t)

t

El sistema se define entonces mediante la ecuación $H (x (t)) = y (t)$ , donde $y (t)$ es alguna función arbitraria del tiempo, y $x (t)$ es el estado del sistema. Dado $y (t)$ y $H$ , el sistema se puede resolver para $x (t)$ .

El comportamiento del sistema resultante sometido a una entrada compleja se puede describir como una suma de respuestas a entradas más simples. En sistemas no lineales no existe tal relación. Esta propiedad matemática hace que la solución de ecuaciones de modelado sea más sencilla que muchos sistemas no lineales. Para sistemas invariantes en el tiempo, esta es la base de los métodos de respuesta de impulso o de respuesta de frecuencia (ver teoría de sistemas LTI), que describen una función de entrada general $x (t)$ en términos de impulsos unitarios o componentes de frecuencia.

Las ecuaciones diferenciales típicas de sistemas lineales invariantes en el tiempo están bien adaptadas al análisis utilizando la transformada de Laplace en el caso continuo y la transformada Z en el caso discreto (especialmente en implementaciones informáticas).

Otra perspectiva es que las soluciones a sistemas lineales comprenden un sistema de funciones que actúan como vectores en el sentido geométrico.

Un uso común de los modelos lineales es describir un sistema no lineal mediante linealización. Esto generalmente se hace por conveniencia matemática.

La definición anterior de un sistema lineal es aplicable a los sistemas SISO (single-input single-output). Para sistemas MIMO (multiple-input multiple-output), vectores de señal de entrada y salida ( ${displaystyle {mathbf {x} }_{1}(t)}$ , ${displaystyle {mathbf {x} }_{2}(t)}$ , ${displaystyle {mathbf {y} }_{1}(t)}$ , ${displaystyle {mathbf {y} }_{2}(t)}$ ) se consideran en lugar de las señales de entrada y salida ( ${displaystyle x_{1}(t)}$ , ${displaystyle x_{2}(t)}$ , ${displaystyle y_{1}(t)}$ , ${displaystyle y_{2}(t)}$ )

Esta definición de sistema lineal es análoga a la definición de una ecuación diferencial lineal en cálculo y a una transformación lineal en álgebra lineal.

Ejemplos

Un oscilador armónico simple obedece a la ecuación diferencial:

{displaystyle m{frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.}

{displaystyle H(x(t))=m{frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),}

H

Sí. () t) = 0

H () x () t) = Sí. () t)

Otros ejemplos de sistemas lineales son los descritos por ${displaystyle y(t)=k,x(t)}$ , ${displaystyle y(t)=k,{frac {mathrm {d} x(t)}{mathrm {d} t}}}$ , ${displaystyle y(t)=k,int _{-infty }^{t}x(tau)mathrm {d} tau }$ , y cualquier sistema descrito por ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. Sistemas descritos por ${displaystyle y(t)=k}$ , ${displaystyle y(t)=k,x(t)+k_{0}}$ , ${displaystyle y(t)=sin {[x(t)]}}$ , ${displaystyle y(t)=cos {[x(t)]}}$ , ${displaystyle y(t)=x^{2}(t)}$ , ${textstyle y(t)={sqrt {x(t)}}}$ , ${displaystyle y(t)=|x(t)|}$ , y un sistema con salida de simetría extraña que consiste en una región lineal y una región de saturación (constante), no son lineales porque no siempre satisfacen el principio de la superposición.

El gráfico de salida versus entrada de un sistema lineal no necesita ser una línea recta a través del origen. Por ejemplo, considere un sistema descrito por ${displaystyle y(t)=k,{frac {mathrm {d} x(t)}{mathrm {d} t}}}$ (como un condensador de capacidad constante o un ductor de inductancia constante). Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es un sinusoide, la salida es también un sinusoide, por lo que su trama de entrada de salida es un elipse centrado en el origen en lugar de una línea recta que pasa por el origen.

Además, la salida de un sistema lineal puede contener armónicos (y tener una frecuencia fundamental más pequeña que la entrada) incluso cuando la entrada es un sinusoide. Por ejemplo, considere un sistema descrito por ${displaystyle y(t)=(1.5+cos {(t)}),x(t)}$ . Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es un sinusoide de la forma ${displaystyle x(t)=cos {(3t)}}$ , utilizando identidades trigonométricas de producto a consumo se puede mostrar fácilmente que la salida es ${displaystyle y(t)=1.5cos {(3t)}+0.5cos {(2t)}+0.5cos {(4t)}}$ , es decir, la salida no consiste sólo en sinusoides de la misma frecuencia que la entrada (3 rad/s), pero en lugar de sinusoides de frecuencias 2 rad/s y 4 rad/s; además, tomando el múltiplo menos común del período fundamental de los sinusoides de la salida, se puede mostrar la frecuencia angular fundamental de la salida es 1 rad/s, que es diferente al de la entrada.

Respuesta al impulso variable en el tiempo

La respuesta al impulso variable en el tiempo $h (t 2, t 1)$ de un sistema lineal se define como la respuesta del sistema en el tiempo t = t₂ a un único impulso aplicado en el tiempo $t = t 1$ . En otras palabras, si la entrada $x (t)$ a un sistema lineal es

{displaystyle x(t)=delta (t-t_{1})}

δ(t)

Sí. () t)

{displaystyle y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})}

h () t 2, t 1)

estado de causalidad

<math alttext="{displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}h()t2,t1)=0,t2c)t1{displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<img alt="{displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}

La integral de convolución

La salida de cualquier sistema lineal general de tiempo continuo está relacionada con la entrada mediante una integral que puede escribirse en un rango doblemente infinito debido a la condición de causalidad:

{displaystyle y(t)=int _{-infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=int _{-infty }^{infty }h(t,t')x(t')dt'}

Si las propiedades del sistema no dependen del momento en el que se opera, entonces se dice que es invariante en el tiempo y $h$ es una función únicamente de la diferencia horaria $τ = t - t&# 39;$ que es cero para $τ < 0$ (es decir, $t < t'$ ). Mediante la redefinición de $h$ es posible escribir la relación entrada-salida de manera equivalente en cualquiera de las formas,

{displaystyle y(t)=int _{-infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=int _{-infty }^{infty }h(t-t')x(t')dt'=int _{-infty }^{infty }h(tau)x(t-tau)dtau =int _{0}^{infty }h(tau)x(t-tau)dtau }

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan más comúnmente por la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso llamada función de transferencia, que es:

{displaystyle H(s)=int _{0}^{infty }h(t)e^{-st},dt.}

En aplicaciones, esto suele ser una función algebraica racional de $s$ . Porque $h (t)$ es cero para $t$ , la integral también se puede escribir sobre el rango doblemente infinito y poniendo $s = iω$ sigue la fórmula para la función de respuesta de frecuencia:

{displaystyle H(iomega)=int _{-infty }^{infty }h(t)e^{-iomega t}dt}

Sistemas de tiempo discreto

La salida de cualquier sistema lineal de tiempo discreto está relacionada con la entrada mediante la suma de convolución variable en el tiempo:

{displaystyle y[n]=sum _{m=-infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=sum _{m=-infty }^{infty }{h[n,m]x[m]}}

h

{displaystyle y[n]=sum _{k=0}^{infty }{h[k]x[n-k]}=sum _{k=-infty }^{infty }{h[k]x[n-k]}}

{displaystyle k=n-m}

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