Singularidad (matemáticas)

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Punto donde una función, una curva u otro objeto matemático no se comporta regularmente

En matemáticas, una singularidad es un punto en el que un objeto matemático dado no está definido, o un punto en el que el objeto matemático deja de comportarse bien de alguna manera en particular, como por ejemplo, al carecer diferenciabilidad o analiticidad.

Por ejemplo, la función real

{displaystyle f(x)={frac {1}{x}}}

tiene una singularidad $x=0$ , donde se acerca el valor numérico de la función $pm infty$ por lo que la función no se define. Función de valor absoluto ${displaystyle g(x)=|x|}$ también tiene una singularidad $x=0$ , ya que no es diferente allí.

La curva algebraica definida por ${displaystyle left{(x,y):y^{3}-x^{2}=0right}}$ en el $(x,y)$ sistema de coordenadas tiene una singularidad (llamado cusp) en $(0,0)$ . Para singularidades en geometría algebraica, vea el punto singular de una variedad algebraica. Para las singularidades en la geometría diferencial, vea la teoría de la singularidad.

Análisis reales

En el análisis real, las singularidades son discontinuidades o discontinuidades de la derivada (a veces también discontinuidades de derivadas de orden superior). Hay cuatro tipos de discontinuidades: tipo I, que tiene dos subtipos, y tipo II, que también se puede dividir en dos subtipos (aunque normalmente no lo es).

Para describir la forma en que se utilizan estos dos tipos de límites, supongamos que $f(x)$ es una función de un argumento real $x$ , y por cualquier valor de su argumento, decir $c$ , entonces el límite izquierdo, $f(c^{-})$ , y el límite derecho, $f(c^{+})$ , se definen por:

f(c^{-})=lim _{{xto c}}f(x)

, limitada por

<math alttext="{displaystyle xx.c{displaystyle x wonc} <img alt="x

f(c^{+})=lim _{{xto c}}f(x)

, limitada por

c}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■c{displaystyle x confianzac}c" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6ea0f4c1139b868c5de64862e226cb4c3470c7" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.435ex; height:1.843ex;"/>

El valor $f(c^{-})$ es el valor que la función $f(x)$ tiende hacia como el valor $x$ enfoques $c$ desde infra, y el valor $f(c^{+})$ es el valor que la función $f(x)$ tiende hacia como el valor $x$ enfoques $c$ desde arriba, independientemente del valor real de la función tiene en el punto donde $x=c$ .

Hay algunas funciones para las que estos límites no existen en absoluto. Por ejemplo, la función

g(x)=sin left({frac {1}{x}}right)

no tiende hacia nada como $x$ enfoques $c=0$ . Los límites en este caso no son infinitos, sino indefinidos: no hay valor que $g(x)$ Está en marcha. Borrowing from complex analysis, this is sometimes called an singularidad esencial.

Los posibles casos a un valor determinado $c$ para el argumento son los siguientes.

A punto de continuidad es un valor $c$ para la cual $f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})$ , como se espera para una función suave. Todos los valores deben ser finitos. Si $c$ no es un punto de continuidad, entonces una discontinuidad ocurre en $c$ .
A Tipo I la discontinuidad ocurre cuando ambos f()c− − ){displaystyle f(c^{-})} $f(c^{-})$ y f()c+){displaystyle f(c^{+})} $f(c^{+})$ existen y son finitos, pero al menos una de las tres condiciones siguientes también se aplica:
- $f(c^{-})neq f(c^{+})$ ;
- $f(x)$ no se define para el caso de $x=c$ ; o
- $f(c)$ tiene un valor definido, que, sin embargo, no coincide con el valor de los dos límites.
Las discontinuidades tipo I pueden distinguirse como una de las siguientes subtipos:
- A salto discontinuidad ocurre cuando $f(c^{-})neq f(c^{+})$ , independientemente de si $f(c)$ se define, e independientemente de su valor si se define.
- A discontinuidad extraíble ocurre cuando $f(c^{-})=f(c^{+})$ , también independientemente de si $f(c)$ se define, e independientemente de su valor si se define (pero que no coincide con el de los dos límites).
A Tipo II la discontinuidad ocurre cuando f()c− − ){displaystyle f(c^{-})} $f(c^{-})$ o f()c+){displaystyle f(c^{+})} $f(c^{+})$ no existe (posiblemente ambos). Esto tiene dos subtipos, que generalmente no se consideran por separado:
- An discontinuidad infinita es el caso especial cuando el límite de mano izquierda o derecha no existe, específicamente porque es infinito, y el otro límite es también infinito, o es algún número finito bien definido. En otras palabras, la función tiene una discontinuidad infinita cuando su gráfico tiene un asinto vertical.
- An singularidad esencial es un término prestado del análisis complejo (ver abajo). Este es el caso cuando uno o los otros límites $f(c^{-})$ o $f(c^{+})$ no existe, pero no porque sea un discontinuidad infinita. singularidades esenciales acercamiento no límite, ni siquiera si las respuestas válidas se extienden para incluir $pm infty$ .

En el análisis real, una singularidad o discontinuidad es una propiedad de una función únicamente. Las singularidades que puedan existir en la derivada de una función se consideran pertenecientes a la derivada, no a la función original.

Singularidades de coordenadas

Una singularidad de coordenadas se produce cuando se produce una aparente singularidad o discontinuidad en un marco de coordenadas, que se puede eliminar eligiendo un marco diferente. Un ejemplo de esto es la aparente singularidad en los 90 grados de latitud en coordenadas esféricas. Un objeto que se mueve hacia el norte (por ejemplo, a lo largo de la línea de 0 grados de longitud) en la superficie de una esfera experimentará repentinamente un cambio instantáneo de longitud en el polo (en el caso del ejemplo, saltando de la longitud 0 a la longitud 180 grados). Esta discontinuidad, sin embargo, es sólo aparente; es un artefacto del sistema de coordenadas elegido, que es singular en los polos. Un sistema de coordenadas diferente eliminaría la aparente discontinuidad (p. ej., reemplazando la representación de latitud/longitud con una representación de n vectores).

Análisis complejo

En el análisis complejo, hay varias clases de singularidades. Estos incluyen las singularidades aisladas, las singularidades no aisladas y los puntos de ramificación.

Singularidades aisladas

Supongamos que $f$ es una función que es compleja diferenciable en el complemento de un punto $a$ en un subconjunto abierto $U$ de los números complejos ${displaystyle mathbb {C}.}$ Entonces:

El punto $a$ es una singularidad extraíble $f$ si existe una función holomorfa $g$ definidas en todos los $U$ tales que ${displaystyle f(z)=g(z)}$ para todos $z$ dentro ${displaystyle Usetminus {a}}$ . La función $g$ es un reemplazo continuo para la función $f$ .
El punto $a$ es un polo o singularidad no esencial $f$ si existe una función holomorfa $g$ definidas $U$ con $g(a)$ no cero, y un número natural $n$ tales que ${displaystyle f(z)=g(z)/(z-a)^{n}}$ para todos $z$ dentro ${displaystyle Usetminus {a}}$ . El número menos semejante $n$ se llama orden del poste. El derivado de una singularidad no esencial tiene una singularidad no esencial, con $n$ aumento en 1 (excepto si $n$ es 0 para que la singularidad es extraíble).
El punto $a$ es una singularidad esencial $f$ si no es una singularidad extraíble ni un polo. El punto $a$ es una singularidad esencial si y sólo si la serie Laurent tiene infinitamente muchos poderes de grado negativo.

Singularidades no aisladas

Aparte de las singularidades aisladas, las funciones complejas de una variable pueden exhibir otro comportamiento singular. Estas se denominan singularidades no aisladas, de las cuales hay dos tipos:

Puntos de encuentro: puntos límite de singularidades aisladas. Si todos son polos, a pesar de admitir las expansiones de la serie Laurent en cada uno de ellos, entonces no es posible tal expansión en su límite.
Límites naturales: cualquier conjunto no aislado (por ejemplo, una curva) en la que las funciones no pueden continuarse analíticamente (o fuera de ellas si son curvas cerradas en la esfera Riemann).

Puntos de ramificación

Los puntos de la rama son generalmente el resultado de una función multivalorizada, como $sqrt{z}$ o $log(z)$ , que se definen dentro de un determinado dominio limitado para que la función pueda hacerse de valor único dentro del dominio. El corte es una línea o curva excluida del dominio para introducir una separación técnica entre los valores discontinuos de la función. Cuando el corte sea genuinamente necesario, la función tendrá valores distintos en cada lado de la rama cortada. La forma del corte de rama es una cuestión de elección, aunque debe conectar dos puntos de rama diferentes (como $z=0$ y $z=infty$ para $log(z)$ ) que se fijan en su lugar.

Singularidad de tiempo finito

La función recíproca, mostrando crecimiento hiperbólico.

A singularidad finita-time ocurre cuando una variable de entrada es el tiempo, y una variable de salida aumenta hacia el infinito en un tiempo finito. Estos son importantes en las ecuaciones cinemáticas y diferenciales parciales – los infinitos no ocurren físicamente, pero el comportamiento cerca de la singularidad es a menudo de interés. Matemáticamente, las singularidades más simples del tiempo finito son leyes de poder para varios exponentes de la forma $x^{{-alpha }},$ del cual el más simple es el crecimiento hiperbólico, donde el exponente es (negativo) 1: $x^{{-1}}.$ Más precisamente, con el fin de obtener una singularidad en el tiempo positivo a medida que avanza el tiempo (por lo que la salida crece a la infinidad), uno utiliza en cambio $(t_{0}-t)^{{-alpha }}$ (usando) t por el tiempo, revertir la dirección $-t$ para que el tiempo aumenta a la infinidad, y cambiar la singularidad hacia adelante de 0 a un tiempo fijo $t_{0}$ ).

Un ejemplo sería el movimiento de rebote de una pelota inelástica en un plano. Si se considera el movimiento idealizado, en el que se pierde la misma fracción de energía cinética en cada rebote, la frecuencia de los rebotes se vuelve infinita, ya que la pelota se detiene en un tiempo finito. Otros ejemplos de singularidades de tiempo finito incluyen las diversas formas de la paradoja de Painlevé (por ejemplo, la tendencia de una tiza a saltar cuando se arrastra por una pizarra) y cómo la velocidad de precesión de una moneda que gira sobre una superficie plana se acelera hacia el infinito: antes de detenerse abruptamente (como se estudió usando el juguete del disco de Euler).

Los ejemplos hipotéticos incluyen la graciosa 'ecuación del fin del mundo' de Heinz von Foerster; (Los modelos simplistas producen una población humana infinita en un tiempo finito).

Geometría algebraica y álgebra conmutativa

En geometría algebraica, una singularidad de una variedad algebraica es un punto de la variedad donde el espacio tangente no puede definirse regularmente. El ejemplo más simple de singularidades son las curvas que se cruzan entre sí. Pero hay otros tipos de singularidades, como las cúspides. Por ejemplo, la ecuación $y 2 - x 3 = 0$ define una curva que tiene una cúspide en el origen $x = y = 0$ . Uno podría definir el eje $x$ como una tangente en este punto, pero esta definición no puede ser la misma que la definición en otros puntos. De hecho, en este caso, el eje $x$ es una "doble tangente."

Para las variedades afines y proyectivas, las singularidades son los puntos donde la matriz jacobiana tiene un rango menor que en otros puntos de la variedad.

Se puede dar una definición equivalente en términos de álgebra conmutativa, que se extiende a variedades y esquemas abstractos: Un punto es singular si el anillo local en ese punto no es un anillo local regular.

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