Sistema de coordenadas esféricas

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Sistema de coordinación tridimensional
Coordinaciones esféricas ()r, Silencio, φ) como comúnmente utilizado en física (ISO 80000-2:2019 convención): distancia radial r (distancia al origen), ángulo polar Silencio (theta) (ángulo con respecto al eje polar), y ángulo azimutal φ (fi) (ángulo de rotación del plano meridiano inicial). El símbolo *** (rho) se utiliza a menudo en lugar de r.
Coordinaciones esféricas ()r, Silencio, φ) como se utiliza a menudo en matemáticas: distancia radial r, ángulo azimutal Silencio, y ángulo polar φ. Los significados de Silencio y φ han sido intercambiados en comparación con la convención de física. Como en física, *** (rho) se utiliza a menudo en lugar de r, para evitar confusión con el valor r en coordenadas polares cilíndricas y 2D.
Un globo que muestra la distancia radial, ángulo polar y ángulo azimutal de un punto P con respecto a una esfera unitaria, en la convención de matemáticas. En esta imagen, r iguales 4/6, Silencio equivale a 90°, y φ equivale a 30°.

En matemáticas, un sistema de coordenadas esféricas es un sistema de coordenadas para un espacio tridimensional donde la posición de un punto se especifica mediante tres números: la distancia radial de ese punto desde un origen fijo, su ángulo polar medido desde una dirección cenital fija, y el ángulo azimutal de su proyección ortogonal sobre un plano de referencia que pasa por el origen y es ortogonal al cenit, medido desde una dirección de referencia fija en ese plano. Puede verse como la versión tridimensional del sistema de coordenadas polares.

La distancia radial también se llama radio o coordenada radial. El ángulo polar puede llamarse colatitud, ángulo cenital, ángulo normal o ángulo de inclinación.

Cuando el radio es fijo, las dos coordenadas angulares forman un sistema de coordenadas en la esfera, a veces llamado coordenadas polares esféricas.

El uso de símbolos y el orden de las coordenadas difiere entre fuentes y disciplinas. Este artículo utilizará la convención ISO con frecuencia encontrada en física: ()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)} da la distancia radial, ángulo polar y ángulo azimutal. Por el contrario, en muchos libros de matemáticas, ()*** *** ,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (rhothetavarphi)} o ()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)} da la distancia radial, ángulo azimutal y ángulo polar, cambiando los significados de Silencio y φ. También se utilizan otros convenios, como r para el radio del zaxis, tan gran cuidado debe ser tomado para comprobar el significado de los símbolos.

Según las convenciones de los sistemas de coordenadas geográficas, las posiciones se miden por latitud, longitud y altura (altitud). Hay una serie de sistemas de coordenadas celestes basados en diferentes planos fundamentales y con diferentes términos para las distintas coordenadas. Los sistemas de coordenadas esféricas usados en matemáticas normalmente usan radianes en lugar de grados y miden el ángulo azimutal en sentido antihorario desde el eje x hasta el eje y-eje en lugar de en el sentido de las agujas del reloj desde el norte (0°) al este (+90°) como el sistema de coordenadas horizontales. El ángulo polar a menudo se reemplaza por el ángulo de elevación medido desde el plano de referencia hacia el eje Z positivo, de modo que el ángulo de elevación de cero está en el horizonte; el ángulo de depresión es el negativo del ángulo de elevación.

El sistema de coordenadas esféricas generaliza el sistema de coordenadas polares bidimensional. También se puede extender a espacios de dimensiones superiores y luego se lo denomina sistema de coordenadas hiperesféricas.

Definición

Para definir un sistema de coordenadas esféricas, se deben elegir dos direcciones ortogonales, el cenit y la referencia azimutal, y un punto origen en espacio. Estas opciones determinan un plano de referencia que contiene el origen y es perpendicular al cenit. Las coordenadas esféricas de un punto P se definen entonces de la siguiente manera:

El signo del azimut se determina eligiendo lo que es un sentido positivo de girar sobre el cenit. Esta elección es arbitraria y forma parte de la definición del sistema de coordenadas.

El ángulo de elevación es el ángulo firmado entre el plano de referencia y el segmento de línea OP, donde los ángulos positivos están orientados hacia el cenit. De manera equivalente, es de 90 grados (π/2 radianes) menos el ángulo de inclinación.

Si la inclinación es cero o 180 grados (π radianes), el acimut es arbitrario. Si el radio es cero, tanto el acimut como la inclinación son arbitrarios.

En álgebra lineal, el vector desde el origen O hasta el punto P a menudo se denomina vector de posición de P.

Convenios

Existen varias convenciones diferentes para representar las tres coordenadas, y para el orden en que deben ser escritas. El uso de ()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)} para denotar distancia radial, inclinación (o elevación), y azimut, respectivamente, es práctica común en física, y se especifica por norma ISO 80000-2:2019, y anterior en ISO 31-11 (1992).

Sin embargo, algunos autores (incluyendo matemáticos) utilizan *** para la distancia radial, φ para inclinación (o elevación) y Silencio por azimut, y r para el radio del zaxis, que "produce una extensión lógica de la notación habitual de coordenadas polares". Algunos autores también pueden enumerar el azimut antes de la inclinación (o elevación). Algunas combinaciones de estas opciones resultan en un sistema de coordenadas zurdo. La convención estándar ()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)} conflictos con la notación habitual de coordenadas polares bidimensionales y coordenadas cilíndricas tridimensionales, donde Silencio a menudo se utiliza para el azimut.

Los ángulos normalmente se miden en grados (°) o radianes (rad), donde 360° = 2π rad. Los grados son más comunes en geografía, astronomía e ingeniería, mientras que los radianes se usan comúnmente en matemáticas y física teórica. La unidad de distancia radial suele estar determinada por el contexto.

Cuando el sistema se usa para tres espacios físicos, se acostumbra usar el signo positivo para los ángulos de acimut que se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección de referencia en el plano de referencia, visto desde el lado cenital del avión. Esta convención se utiliza, en particular, para las coordenadas geográficas, donde el "cenit" la dirección es el norte y los ángulos de azimut (longitud) positivos se miden hacia el este desde algún meridiano principal.

Principales convenios
coordenadascorrespondientes direcciones geográficas locales
()Z, X, Y)		derecho/izquierda
()r, Silencioinc, φaz,right)()U, S, E)derecho
()r, φaz,right, Silencioel)()U, E, N)derecho
()r, Silencioel, φaz,right)()U, N, E)izquierda
Nota: EastingE), al norte (N), hacia arriba (U). El ángulo local de azimut se mediría, por ejemplo, en sentido contrario desde S a E en el caso de ()U, S, E).

Coordenadas únicas

Cualquier triple de coordenadas esféricas ()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)} especifica un solo punto de espacio tridimensional. Por otro lado, cada punto tiene infinitamente muchas coordenadas esféricas equivalentes. Uno puede agregar o restar cualquier número de giros completos a cualquier medida angular sin cambiar los ángulos mismos, y por lo tanto sin cambiar el punto. También es conveniente, en muchos contextos, permitir distancias radiales negativas, con la convención que ()− − r,− − Silencio Silencio ,φ φ +180∘ ∘ ){displaystyle (-r,-thetavarphi {+}180^{circ }} equivale a ()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)} para cualquier r, Silencio, y φ. Además, ()r,− − Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,-thetavarphi)} equivale a ()r,Silencio Silencio ,φ φ +180∘ ∘ ){displaystyle (r,thetavarphi {+}180^{circ }}.

Si es necesario definir un conjunto único de coordenadas esféricas para cada punto, se deben restringir sus rangos. Una elección común es

r ≥ 0,
0° ≤ Silencio ≤ 180°π rad),
0° ≤ φ 0°2π rad).

Sin embargo, el acimut φ suele estar restringido al intervalo (−180°, +180°], o (−π, +π] en radianes, en lugar de [0, 360°). Esto es la convención estándar para la longitud geográfica.

Para θ, el rango [0°, 180°] para inclinación es equivalente a [−90°, +90°] para elevación. En geografía, la latitud es la elevación.

Incluso con estas restricciones, si θ es 0° o 180° (la elevación es 90° o −90°), entonces el ángulo de acimut es arbitrario; y si r es cero, tanto el acimut como la inclinación/elevación son arbitrarios. Para hacer que las coordenadas sean únicas, se puede usar la convención de que en estos casos las coordenadas arbitrarias son cero.

Trazado

Para trazar un punto a partir de sus coordenadas esféricas (r, θ, φ), donde θ es la inclinación, mueva r unidades desde el origen en la dirección cenital, rotar θ sobre el origen hacia la dirección de referencia del azimut, y gire φ sobre el cenit en la dirección adecuada.

Aplicaciones

Así como el sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales es útil en el plano, un sistema de coordenadas esféricas bidimensionales es útil en la superficie de una esfera. En este sistema, la esfera se toma como una esfera unitaria, por lo que el radio es la unidad y generalmente se puede ignorar. Esta simplificación también puede ser muy útil cuando se trata de objetos como matrices rotacionales.

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría con respecto a un punto, como las integrales de volumen dentro de una esfera, el campo de energía potencial que rodea una masa o carga concentrada, o la simulación del clima global en el interior de un planeta. atmósfera. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana x2 + y2 + z2 = c2 tiene la ecuación simple r = c en coordenadas esféricas.

Dos ecuaciones diferenciales parciales importantes que surgen en muchos problemas físicos, la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz, permiten una separación de variables en coordenadas esféricas. Las porciones angulares de las soluciones de tales ecuaciones toman la forma de armónicos esféricos.

Otra aplicación es el diseño ergonómico, donde r es la longitud del brazo de una persona estacionaria y los ángulos describen la dirección del brazo a medida que se extiende.

El patrón de salida de un altavoz industrial mostrado utilizando tramas polares esféricas tomadas a seis frecuencias

El modelado tridimensional de los patrones de salida de los altavoces se puede utilizar para predecir su rendimiento. Se requieren varios gráficos polares, tomados en una amplia selección de frecuencias, ya que el patrón cambia mucho con la frecuencia. Los gráficos polares ayudan a mostrar que muchos altavoces tienden a ser omnidireccionales en frecuencias más bajas.

El sistema de coordenadas esféricas también se usa comúnmente en el desarrollo de juegos 3D para rotar la cámara alrededor de la posición del jugador.

En geografía

En una primera aproximación, el sistema de coordenadas geográficas utiliza el ángulo de elevación (latitud) en grados al norte del plano del ecuador, en el rango −90° ≤ φ ≤ 90°, en lugar de inclinación. La latitud es latitud geocéntrica, medida en el centro de la Tierra y designada de diversas formas por ψ, q, φ′, φc, φg o latitud geodésica, medida por la vertical local del observador y comúnmente denominada φ. El ángulo polar, que es 90° menos la latitud y oscila entre 0 y 180°, se denomina colatitud en geografía.

El ángulo acimutal (longitud), comúnmente indicado por λ, se mide en grados este o al oeste de algún meridiano de referencia convencional (más comúnmente el meridiano de referencia IERS), por lo que su dominio es −180° ≤ λ ≤ 180°. Para posiciones en la Tierra u otro cuerpo celeste sólido, el plano de referencia suele tomarse como el plano perpendicular al eje de rotación.

En lugar de la distancia radial, los geógrafos suelen utilizar la altitud por encima o por debajo de alguna superficie de referencia (datum vertical), que puede ser el nivel medio del mar. La distancia radial r se puede calcular a partir de la altitud sumando el radio de la Tierra, que es de aproximadamente 6360 ± 11 km (3952 ± 7 millas).

Sin embargo, los sistemas de coordenadas geográficas modernos son bastante complejos y las posiciones implícitas en estas fórmulas simples pueden estar equivocadas por varios kilómetros. Los significados estándar precisos de latitud, longitud y altitud están definidos actualmente por el Sistema Geodésico Mundial (WGS) y tienen en cuenta el aplanamiento de la Tierra en los polos (alrededor de 21 km o 13 millas) y muchos otros detalles.

Los sistemas de coordenadas planetarias usan formulaciones análogas al sistema de coordenadas geográficas.

En astronomía

Se utilizan una serie de sistemas de coordenadas astronómicas para medir el ángulo de elevación desde diferentes planos fundamentales. Estos planos de referencia son el horizonte del observador, el ecuador celeste (definido por la rotación de la Tierra), el plano de la eclíptica (definido por la órbita de la Tierra alrededor del Sol), el plano de la tierra terminador (normal a la dirección instantánea al Sol), y el ecuador galáctico (definido por la rotación de la Vía Láctea).

Conversiones del sistema de coordenadas

Como el sistema de coordenadas esféricas es solo uno de muchos sistemas de coordenadas tridimensionales, existen ecuaciones para convertir coordenadas entre el sistema de coordenadas esféricas y otros.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas esféricas de un punto en la convención ISO (es decir, para física: radio r, inclinación θ, azimut φ) se puede obtener de sus coordenadas cartesianas (x, y, z) por las fórmulas

0\pi +arctan {frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{text{if }}z0,\arctan({frac {y}{x}})+pi &{text{if }}x<0{text{ and }}ygeq 0,\arctan({frac {y}{x}})-pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y0,\-{frac {pi }{2}}&{text{if }}x=0{text{ and }}yr=x2+Sí.2+z2Silencio Silencio =arccos⁡ ⁡ zx2+Sí.2+z2=arccos⁡ ⁡ zr={}arctan⁡ ⁡ x2+Sí.2zsiz■0π π +arctan⁡ ⁡ x2+Sí.2zsiz.0+π π 2siz=0yxSí.ل ل 0indefinidossix=Sí.=z=0φ φ =Sgn⁡ ⁡ ()Sí.)arccos⁡ ⁡ xx2+Sí.2={}arctan⁡ ⁡ ()Sí.x)six■0,arctan⁡ ⁡ ()Sí.x)+π π six.0ySí.≥ ≥ 0,arctan⁡ ⁡ ()Sí.x)− − π π six.0ySí..0,+π π 2six=0ySí.■0,− − π π 2six=0ySí..0,indefinidossix=0ySí.=0.{displaystyle {begin{aligned}r {x^{2}+y^{2}+z^{2}theta ''arccos {frac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}}=rccos {frac {fnMicrosoft Sans}={begin{cases}arctan {fnMicroc} {x^{2}+y^{2}}{z}} {text{if}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} - ¿Qué? + 'arctan {frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}{z}} {text{if}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ }{2} {text{if}z=0{text{ and }xyneq 0\{text{undefinido}} {texto{if} }x=y=z=0\end{cases}\varphi &=operatorname {sgn}(y)arccos {frac {x}{sqrt {fnMicrosoft Sans Serif} }{2} {text{if }x=0{text{ and }}y {\\{undefinido}} {text{if{if} }x=0{text{ and }}y=0.end{cases}end{aligned}}}0\pi +arctan {frac {sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{text{if }}z0,\arctan({frac {y}{x}})+pi &{text{if }}x<0{text{ and }}ygeq 0,\arctan({frac {y}{x}})-pi &{text{if }}x<0{text{ and }}y0,\-{frac {pi }{2}}&{text{if }}x=0{text{ and }}y

La tangente inversa indicada en φ = arctan y/x debe estar adecuadamente definido, teniendo en cuenta el cuadrante correcto de (x, y). Ver el artículo sobre atan2.

Alternativamente, la conversión se puede considerar como dos conversiones secuenciales de rectangular a polar: la primera en el plano cartesiano xy desde (x, y) a (R, φ), donde R es la proyección de r en el plano xy, y el segundo en el zR-plano cartesiano desde (z, R ) a (r, θ). Los cuadrantes correctos para φ y θ están implícitos en la corrección de las conversiones de plano rectangular a polar.

Estas fórmulas asumen que los dos sistemas tienen el mismo origen, que el plano de referencia esférico es el plano cartesiano xy, que θ es la inclinación desde z dirección, y que los ángulos acimutales se miden desde el eje cartesiano x (de modo que el y el eje tiene φ = +90°). Si θ mide la elevación desde el plano de referencia en lugar de la inclinación desde el cenit, el arccos de arriba se convierte en un arcsen, y el cos θ y sin θ a continuación se cambian.

Por el contrario, las coordenadas cartesianas pueden recuperarse de las coordenadas esféricas (radius r, inclinación θ, azimut φ), donde r ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π), por

x=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ ,Sí.=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ ,z=r#⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle {begin{aligned}x limit=rsin theta ,cos varphi\y simultáneamente=rsin theta ,sin varphi\z reducida=rcos theta.end{aligned}}

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas cilíndricas (axial radio ρ, azimut φ, elevación z) puede convertirse en coordenadas esféricas (radio central r, inclinación θ, azimut φ), por las fórmulas

r=*** *** 2+z2,Silencio Silencio =arctan⁡ ⁡ *** *** z=arccos⁡ ⁡ z*** *** 2+z2,φ φ =φ φ .{displaystyle {begin{aligned}r ventaja={sqrt {rho ^{2}+z^{2}}}}}\theta >arctan {fnMicroc} ¿Qué? - ¿Qué?

Por el contrario, las coordenadas esféricas se pueden convertir en coordenadas cilíndricas mediante las fórmulas

*** *** =rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ,φ φ =φ φ ,z=r#⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle {begin{aligned}rho < rsintheta\varphi >varphi\z Pulse=rcos theta.end{aligned}}}

Estas fórmulas asumen que los dos sistemas tienen el mismo origen y el mismo plano de referencia, miden el ángulo azimutal φ en el mismo sentidos desde el mismo eje, y que el ángulo esférico θ es la inclinación del cilíndrico z.

Generalización

También es posible trabajar con elipsoides en coordenadas cartesianas usando una versión modificada de las coordenadas esféricas.

Sea P un elipsoide especificado por el conjunto de niveles

ax2+bSí.2+cz2=d.{displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}

Las coordenadas esféricas modificadas de un punto en P en la convención ISO (es decir, para física: radius r, inclinación θ, azimut φ) se puede obtener a partir de sus coordenadas cartesianas (x, y, z) por las fórmulas

x=1arpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ ,Sí.=1brpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ ,z=1cr#⁡ ⁡ Silencio Silencio ,r2=ax2+bSí.2+cz2.{displaystyle {begin{aligned}x limit={frac {1}{2}{2}{2}{2}{2} {c}} {c}} {sqrt {b}}rsin theta,svarphi\\z}{c} {c} {c} {c}} {c}}} {c} {2}{2}{2}{2} {c} {c} {c}{c}}{c}}{c} {c}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}}} {c} {c}}}}} {c}}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {ccc}}}} {ccc}}}} {cccc}}}}}}}}} {cc} {c} {

Un elemento de volumen infinitesimal está dado por

dV=Silencio∂ ∂ ()x,Sí.,z)∂ ∂ ()r,Silencio Silencio ,φ φ )SilenciodrdSilencio Silencio dφ φ =1abcr2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio drdSilencio Silencio dφ φ =1abcr2drdΩ Ω .{displaystyle mathrm {d} V=left sometida{frac {partial (x,y,z)}{partial (r,thetavarphi)}}}justo para siempre,dr,dtheta ,dvarphi ={frac {1} {sqh}} {b}cH0}s}smfnfnfnfnfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMientras, theta ,mathrm {d} varphi ={frac {1} {abc}}r^{2},mathrm {d} r,mathrm {d} Omega.

El factor de raíz cuadrada proviene de la propiedad del determinante que permite extraer una constante de una columna:

SilenciokabckdefkghiSilencio=kSilencioabcdefghiSilencio.{begin{vmatrix}}=k{vmatrix}a logrob implicac\\dctac\ccc}=k{begin{vmatrix}a logrob implicac\d se limite âTMa âTMa âTMa âTMa}

Integración y diferenciación en coordenadas esféricas

Unidad vectorial en coordenadas esféricas

Las siguientes ecuaciones (Iyanaga 1977) asumen que la colatitud θ es la inclinación desde la z eje (polar) (ambiguo desde x, y, y z son mutuamente normales), como en la convención física discutida.

El elemento de línea para un desplazamiento infinitesimal desde (r, θ, φ) a (r + dr, θ + dθ, φ + dφ) es

dr=drr^ ^ +rdSilencio Silencio Silencio Silencio ^ ^ +rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ φ φ ^ ^ ,{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} =mathrm {d} r,{hat {mathbf {r} }+r,mathrm {d} theta ,{hat {boldsym {boltheta }}+rsin {theta },mathrm {d} varphi ,mathbf {hat {boldsymbol {varphi }
r^ ^ =pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ x^ ^ +pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ Sí.^ ^ +#⁡ ⁡ Silencio Silencio z^ ^ ,Silencio Silencio ^ ^ =#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ x^ ^ +#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ Sí.^ ^ − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio z^ ^ ,φ φ ^ ^ =− − pecado⁡ ⁡ φ φ x^ ^ +#⁡ ⁡ φ φ Sí.^ ^ {displaystyle {begin{aligned}{hat {mathbf {r}} {=sin theta cos varphi ,{hat {mathbf {x} }+sin theta sin varphi ,{hat {mathbf {y} }+cos theta ,{hat {mathbf {z}}\{hat {boldsymbol {thetat }} {cos theta cos varphi ,{hat {mathbf {x} }+cos theta sin varphi ,{hat {mathbf {y}}sin theta ,{hat {mathbf {z}}},{hat {boldsymbol {varphi }} {=-sin varphi ,{hat {mathbf {x} }cos varphi ,{hat {mathbf {y}end{aligned}}
rSilencioφx̂.ẑ
R=()pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio − − pecado⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ φ φ 0).{displaystyle R={begin{pmatrix}sin theta cos varphi &sin theta varphi &cos theta cos varphi &cos varphi > theta sin varphi >sin theta \_sin varphi > varphi &0end{pmatrix}}}}}

Esto da la transformación de la esférica a la cartesiana, al revés está dada por su inversa. Nota: la matriz es una matriz ortogonal, es decir, su inversa es simplemente su transpuesta.

Los vectores unitarios cartesianos están relacionados con los vectores unitarios esféricos por:

[x^ ^ Sí.^ ^ z^ ^ ]=[pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ − − pecado⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio − − pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 0][r^ ^ Silencio Silencio ^ ^ φ φ ^ ^ ]{displaystyle {begin{bmatrix}mathbf {hat {x} Mathbf {hat {y} Mathbf {hat {z} end{bmatrix}={begin{bmatrix}sin theta cos varphi > theta cos varphi &-sin varphipe theta sin varphi > cos theta sin varphi > varphi \cos varphicos theta > {bolbfin] {fnh}\\fnK}\\fnh}\\\\fnK}\\\\\\fn\fnK}}\\\\\\\fn\\\fn\\fn\\fnHHHHHHHHHHHH00}}}}\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fnHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {fnK} {fnK}}}end{bmatrix}}

La forma general de la fórmula para probar el elemento de línea diferencial, es

dr=.. i∂ ∂ r∂ ∂ xidxi=.. iSilencio∂ ∂ r∂ ∂ xiSilencio∂ ∂ r∂ ∂ xiSilencio∂ ∂ r∂ ∂ xiSilenciodxi=.. iSilencio∂ ∂ r∂ ∂ xiSilenciodxix^ ^ i,{displaystyle mathrm {d} mathbf {r} =sum _{i}{fracpartial mathbf {r} }{partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ x_{i}=sum _{i}left forever{frac {fnK}} {fn}}}justo en la vida {fnMicroc {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}} {f}}}}} {f}}}} {fnf}}}}}}}}}} { {fnK}} {fnMicroc {partial mathbf {r}{partial {f} {f} {f}} {f}} {f}}} {fn}}}}} {f}}}} {b}}}}}}}}} {b}}b}b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}bppppbppppppppppppppppppppppppppppppbhpppppppppppppppbhbhbhbhbhbhbhbhbhbhp {fnMicrosoft Sans Serif} x_{i}=sum _{i}left forever{frac {partial mathbf {r} ¿Qué? x_{i},{hat {boldsymbol {x}_{i},}
r{displaystyle mathbf {r}

Para aplicar esto al presente caso, hay que calcular cómo r{displaystyle mathbf {r} cambia con cada una de las coordenadas. En las convenciones utilizadas,

r=[rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ r#⁡ ⁡ Silencio Silencio ].{displaystyle mathbf {r} ={begin{bmatrix}rsin theta ,cos varphi \rsin theta ,sin varphi \rcos theta end{bmatrix}}.}

Por lo tanto,

∂ ∂ r∂ ∂ r=[pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio ]=r^ ^ ,∂ ∂ r∂ ∂ Silencio Silencio =[r#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ r#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ − − rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio ]=rSilencio Silencio ^ ^ ,∂ ∂ r∂ ∂ φ φ =[− − rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ 0]=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio φ φ ^ ^ .{displaystyle {frac {partial mathbf {r} }{partial r}={begin{bmatrix}sin theta ,cos varphi \sin theta ,sin varphi \cos theta end{bmatrix}=mathbf {hat {r}quad {frac {partial mathbf {r} {r} {} {theta} {begin} {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin} {begin}begin {begin {begin {begin} {begin}begin {begin}begin {begin {begin {begin {bmatrix}begin {begin {begin {bmatrix}begin {betrix}begin {begin {begin}begin}begin {begin {begin}b }={begin{bmatrix}rcos theta ,cos varphi \rcos theta ,sin varphi \-rsin theta end{bmatrix}=r,{hat {boldsymbol {theta }}}}},quad {frac {partial {Mathbf}}}} {begin {begin {begin} {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {begin {bmatrixbegin {begin {bmatrixbegin {bmatrixbegin {begin {begin {bmatrixbmatrixbmatrixbmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }{partial varphi }={begin{bmatrix}-rsin theta ,sin varphi \rsin theta ,cos varphi \0end{bmatrix}= rsin theta ,mathbf {hat {boldsymbol {varphi }}}

Los coeficientes deseados son las magnitudes de estos vectores:

Silencio∂ ∂ r∂ ∂ rSilencio=1,Silencio∂ ∂ r∂ ∂ Silencio Silencio Silencio=r,Silencio∂ ∂ r∂ ∂ φ φ Silencio=rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle lefttención{frac {partial mathbf {r}{partial r}}right WordPress=1,quad left sometida{frac {partial mathbf {r} {}{partial thetatata } {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

El elemento de superficie que se extiende desde θ hasta θ + dθ y φ a φ + dφ en una superficie esférica de radio (constante) r es entonces

dSr=.∂ ∂ r∂ ∂ Silencio Silencio × × ∂ ∂ r∂ ∂ φ φ .dSilencio Silencio dφ φ =SilenciorSilencio Silencio ^ ^ × × rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio φ φ ^ ^ Silencio=r2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio dSilencio Silencio dφ φ .{displaystyle mathrm {d} S_{r}=leftpers{frac {partial {mathbf {r} }{partial theta {fnMicrosoft Sans Serif} }{partial varphi }rightPrincipum {d} theta ,mathrm {d} varphi =left arrestr{hat {boldsymbol {theta }times rsin theta {boldsymbol {hat {varphi } 'justo de la vida=r^{2} theta ,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi ~.}

Por lo tanto, el ángulo sólido diferencial es

dΩ Ω =dSrr2=pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio dSilencio Silencio dφ φ .{displaystyle mathrm {d} Omega ={frac {mathrm {d} - Sí. theta ,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi.}

El elemento de superficie en una superficie de ángulo polar θ constante (un cono con vértice en el origen) es

dSSilencio Silencio =rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ dr.{displaystyle mathrm {d} S_{theta }=rsin theta ,mathrm {d} varphi ,mathrm {d} r.}

El elemento de superficie en una superficie de acimut φ constante (un semiplano vertical) es

dSφ φ =rdrdSilencio Silencio .{displaystyle mathrm {d} S_{varphi }=r,mathrm {d} r,mathrm {d} theta.}

El elemento de volumen que se extiende desde r hasta r + dr, θ a θ + dθ, y φ a φ + dφ se especifica mediante el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales,

J=∂ ∂ ()x,Sí.,z)∂ ∂ ()r,Silencio Silencio ,φ φ )=()pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ r#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ − − rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ r#⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ φ φ rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ Silencio Silencio − − rpecado⁡ ⁡ Silencio Silencio 0),{displaystyle J={frac {partial (x,y,z)}{partial (r,thetavarphi)}={begin{pmatrix}sin theta cos varphi &rcos theta varphi ' rtheta sin theta varphi
dV=Silencio∂ ∂ ()x,Sí.,z)∂ ∂ ()r,Silencio Silencio ,φ φ )SilenciodrdSilencio Silencio dφ φ =r2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio drdSilencio Silencio dφ φ =r2drdΩ Ω .{displaystyle mathrm {d} V=left sometida{frac {partial (x,y,z)}{partial (r,thetavarphi)}}right eterna,mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi =r^{2}sin theta ,mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi =r^{2},mathrm {d} r,mathrm {d} Omega.

Así, por ejemplo, una función f(r, θ, φ) se puede integrar sobre cada punto en R3 mediante la integral triple

∫ ∫ 02π π ∫ ∫ 0π π ∫ ∫ 0JUEGO JUEGO f()r,Silencio Silencio ,φ φ )r2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio drdSilencio Silencio dφ φ .{displaystyle int limits _{0}^{2pi }int limits _{0}^{pi }int limits _{0}infty }f(r,thetavarphi)r^{2}sin theta ,mathrm {d} r,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi ~.}

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para el gradiente, divergencia, rotacional y (escalar) Laplaciano,

∇ f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ θ θ ^ + 1 r sin ⁡ θ ∂ f ∂ φ φ ^ , ∇ ⋅ A = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 A r ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ A θ ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ A φ ∂ φ , ∇ × A = 1 r sin ⁡ θ ( ∂ ∂ θ ( A φ sin ⁡ θ ) − ∂ A θ ∂ φ ) r ^ + 1 r ( 1 sin ⁡ θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r A φ ) ) θ ^ + 1 r ( ∂ ∂ r ( r A θ ) − ∂ A r ∂ θ ) φ ^ , ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = ( ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r ) f + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) f + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ φ 2 f . {displaystyle {begin{aligned}nabla f={}&{partial f over partial r}{hat {mathbf {r} }}+{1 over r}{partial f over partial theta }{hat {boldsymbol {theta }}}+{1 over rsin theta }{partial f over partial varphi }{hat {boldsymbol {varphi }}},\[8pt]nabla cdot mathbf {A} ={}&{frac {1}{r^{2}}}{partial over partial r}left(r^{2}A_{r}right)+{frac {1}{rsin theta }}{partial over partial theta }left(sin theta A_{theta }right)+{frac {1}{rsin theta }}{partial A_{varphi } over partial varphi },\[8pt]nabla times mathbf {A} ={}&{frac {1}{rsin theta }}left({partial over partial theta }left(A_{varphi }sin theta right)-{partial A_{theta } over partial varphi }right){hat {mathbf {r} }}\[8pt]&{}+{frac {1}{r}}left({1 over sin theta }{partial A_{r} over partial varphi }-{partial over partial r}left(rA_{varphi }right)right){hat {boldsymbol {theta }}}\[8pt]&{}+{frac {1}{r}}left({partial over partial r}left(rA_{theta }right)-{partial A_{r} over partial theta }right){hat {boldsymbol {varphi }}},\[8pt]nabla ^{2}f={}&{1 over r^{2}}{partial over partial r}left(r^{2}{partial f over partial r}right)+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {partial f over partial theta }right)+{1 over r^{2}sin ^{2}theta }{partial ^{2}f over partial varphi ^{2}}\[8pt]={}&left({frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {partial }{partial r}}right)f+{1 over r^{2}sin theta }{partial over partial theta }left(sin theta {frac {partial }{partial theta }}right)f+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}}{partial varphi ^{2}}}f~.end{aligned}}}

Además, el jacobiano inverso en coordenadas cartesianas es

J− − 1=()xrSí.rzrxzr2x2+Sí.2Sí.zr2x2+Sí.2− − ()x2+Sí.2)r2x2+Sí.2− − Sí.x2+Sí.2xx2+Sí.20).{displaystyle J^{-1}={begin{pmatrix}{dfrac {fn} {fn} {f}}} {fn}}} {f}}} {fn}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {Z} {r}\\\\\fnMicroc} {xz}{2}{2}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}} {fnMicroc}}}}} {yz}{2}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} {dfrac {-(x^{2}+y^{2}}}{2}{2}{2}{sqrt {\\\\fnMicroc}}\\\\\\\\\\\\fns}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcHcH3}}}}}}} {cHFF} {cHFF}} {cHFF}}} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cH00}}}}}} {cHFF}}}}}}} {ccH}}}}} {cc}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}ccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {x}{2}+y^{2}} {0end{pmatrix}}}
g=JTJ{displaystyle G=J^{T}J}

Distancia en coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas, dados dos puntos con φ siendo la coordenada azimutal

r=()r,Silencio Silencio ,φ φ ),r.=()r.,Silencio Silencio .,φ φ .){displaystyle {begin{aligned}{mathbf {r} âTMa=(r,thetavarphi),\{mathbf {r} âTMa âTMa âTMa,theta ',varphi ')end{aligned}}}}}}}}} {

La distancia entre los dos puntos se puede expresar como

D=r2+r.2− − 2rr.()pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio .#⁡ ⁡ ()φ φ − − φ φ .)+#⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio .){displaystyle {begin{aligned}{mathbf {cHFF} {ccH00}ccccH00}sin {theta}sin {theta '}cos {varphi -varphi ')}+cos {thetatthetat} {cH00}cH00}ccH00}cH0}ccH0}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00ccH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}

Cinemática

En coordenadas esféricas, la posición de un punto o partícula (aunque mejor escrita como triple)()r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (r,thetavarphi)}) puede ser escrito como

r=rr^ ^ .{displaystyle mathbf {r} =rmathbf {hat {}}}

Su velocidad es entonces

v=drdt=rÍ Í r^ ^ +rSilencio Silencio Í Í Silencio Silencio ^ ^ +rφ φ Í Í pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio φ φ ^ ^ {displaystyle mathbf {v} ={frac {mathrm {d} mathbf {r} {fnK} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fnf}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {\m}}}}}}}}}} {m}}}}}} {m} {m}}}}}}}} {m} {s}}}} {m}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}} {s}}}}}}}} {m}} {m} {m}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}} {s}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Oh, Dios mío. {fnMicrosoft Sans Serif}

y su aceleración es

a=dvdt=()r.. − − rSilencio Silencio Í Í 2− − rφ φ Í Í 2pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio )r^ ^ +()rSilencio Silencio .. +2rÍ Í Silencio Silencio Í Í − − rφ φ Í Í 2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio )Silencio Silencio ^ ^ +()rφ φ .. pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio +2rÍ Í φ φ Í Í pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio +2rSilencio Silencio Í Í φ φ Í Í #⁡ ⁡ Silencio Silencio )φ φ ^ ^ {displaystyle {begin{aligned}mathbf {a}={frac {mathrm {d}mathbf {v} }{mathrm {d} {fnMicrosoft Sans Serif} {theta ##### {2}-r,{dot {varphi } {2}sin ^{2}theta right)mathbf {hat {r} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }-r,{dot {varphi }} {2}sin theta cos theta right){hat {boldsymbol {theta {fnMicrosoft Sans Serif},sin theta +2{dot {f},{dot {f}, {fnf}\fnMicrosoft Sans Serif}fnfnfnMicrosoft}fnMicros} {fnMicrosoft}fnMicrosoft} {f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMis}fnMicrosoft}fnMis}fnMicrosoft}fnMis}fnMis}fnMis}fnMis}fnMis}f}fnMis}fnun}fnMientras,fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnun}fnMinMis}fnun}fnun}fn

El momento angular es

L=r× × p=r× × mv=mr2()− − φ φ Í Í pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio Silencio Silencio ^ ^ +Silencio Silencio Í Í φ φ ^ ^ ){displaystyle mathbf {L} =mathbf {r} times mathbf {p} =mathbf {r} times mmathbf {v} =mr^{2}(-{dot {varphi }sin theta ,mathbf {hat {boldsymbol {theta }}} +{dot {theta },{hat {boldsymbol {varphi }}}}}

Donde m{displaystyle m} es masa. En el caso de una constante φ o más Silencio = π/2, esto reduce al cálculo vectorial en coordenadas polares.

El operador de momento angular correspondiente se sigue de la reformulación del espacio de fases de lo anterior,

L=− − i▪ ▪ r× × Silencio Silencio =i▪ ▪ ()Silencio Silencio ^ ^ pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio )∂ ∂ ∂ ∂ φ φ − − φ φ ^ ^ ∂ ∂ ∂ ∂ Silencio Silencio ).{displaystyle mathbf {L} =-ihbar ~mathbf {r} times nabla =ihbar left({frac {hat {boldsym {boltheta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicroc {partial } {theta }}derecho). }

El par se da como

τ τ =dLdt=r× × F=− − m()2rrÍ Í φ φ Í Í pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio +r2φ φ .. pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio +2r2Silencio Silencio Í Í φ φ Í Í #⁡ ⁡ Silencio Silencio )Silencio Silencio ^ ^ +m()r2Silencio Silencio .. +2rrÍ Í Silencio Silencio Í Í − − r2φ φ Í Í 2pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio #⁡ ⁡ Silencio Silencio )φ φ ^ ^ {displaystyle mathbf {tau } ={frac {mathrm {d}mathbf {L}{mathrm {d}} {} {}} {}} {m}}} {m} {}}}} {m}}} {}}}}}}} {m}} ♪♪ times mathbf {F} =-mleft(2r{dot { dot {varphi }sin theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh}}+mleft {ddot {theta} {f} {fnh} {fnh} {fn} {fn} {fnfnh} {fnfnfnfnfnh} - ¿Qué? {varphi }} {2}sin theta cos theta right){hat {boldsymbol {varphi }

La energía cinética se da como

Ek=12m[()rÍ Í 2)+()rSilencio Silencio Í Í )2+()rφ φ Í Í pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio )2]{displaystyle E_{k}={2} {2}}}mleft[left({dot {}}{2}right)+left(r{dot {theta }}right)^{2}+left(r{dot {varphi }}}}}sin thetaright)}{2}right}right}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}ssssssssssssssss}sssssssssssssssssssssssss}}}}s}}s}s}ss}s}s}s}ss}}}s}}