Si y solo si

En lógica y campos relacionados como matemáticas y filosofía, "si y solo si" (abreviado como "iff") es un conector lógico bicondicional entre declaraciones, donde ambas declaraciones son verdaderas o ambas son falsas.

El conectivo es bicondicional (una declaración de equivalencia material) y se puede comparar con el condicional material estándar ("solo si", igual a "si... entonces") combinado con su reverso ("si"); de ahí el nombre. El resultado es que la verdad de cualquiera de las declaraciones conectadas requiere la verdad de la otra (es decir, ambas declaraciones son verdaderas o ambas son falsas), aunque es controvertido si el conectivo así definido se traduce correctamente por el inglés &# 34;si y sólo si"—con su significado preexistente. Por ejemplo, P si y solo si Q significa que P es verdadero siempre que Q sea verdadero, y el único caso en el que P es verdadero si Q también es verdadero, mientras que en el caso de P si Q, podría haber otros escenarios donde P es verdadero y Q es falso.

Por escrito, las frases comúnmente utilizadas como alternativas a P "si y solo si" Q incluyen: Q es necesario y suficiente para P, para P es necesario y suficiente que Q, P es equivalente (o materialmente equivalente) a Q (comparar con la implicación material), P precisamente si Q, P precisamente (o exactamente) cuando Q, P exactamente en el caso Q, y P por si acaso Q. Algunos autores consideran "iff" como inadecuado en la escritura formal; otros lo consideran un "caso límite" y tolerar su uso.

En fórmulas lógicas, símbolos lógicos, como Administración Administración {displaystyle leftrightarrow } y .. {displaystyle Leftrightarrow, se utilizan en lugar de estas frases; véase § Notación abajo.

Definición

La tabla de la verdad P .. {displaystyle Leftrightarrow Q es el siguiente:

Tabla de la verdad

P	Q	P ⇒ ⇒ {displaystyle "Rightarrow" Q	P Alternativa Alternativa {displaystyle Leftarrow Q	P.. {displaystyle Leftrightarrow Q
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Es equivalente al producido por la puerta XNOR y opuesto al producido por la puerta XOR.

Uso

Notación

Los símbolos lógicos correspondientes son "manzana", ".. {displaystyle Leftrightarrow", y "fuerte", y a veces "olf". Estos suelen tratarse como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de la lógica matemática (en particular los de la lógica de primer orden, en lugar de la lógica proposicional) hacen una distinción entre estos, en los que la primera, ↔, se utiliza como un símbolo en las fórmulas lógicas, mientras que α se utiliza en el razonamiento sobre esas fórmulas lógicas (por ejemplo, en metalógica). En la notación polaca de Łukasiewicz, es el símbolo prefijo 'E'.

Otro término para el conectivo lógico, es decir, el símbolo en fórmulas lógicas, es nor exclusivo.

En TeX, "si y sólo si" se muestra como una flecha doble larga: ⟺ ⟺ {displaystyle iff } via comando iff.

Pruebas

En la mayoría de los sistemas lógicos, se prueba un enunciado de la forma "P iff Q" demostrando "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P", o "si P, entonces Q" y "si no-P, entonces no-Q". Demostrar este par de declaraciones a veces conduce a una prueba más natural, ya que no hay condiciones obvias en las que uno inferiría un bicondicional directamente. Una alternativa es probar la disyunción "(P y Q) o (no-P y no-Q)", que a su vez puede inferirse directamente de cualquiera de sus disyuntivas, es decir, porque "ysi" es funcional de verdad, "P iff Q" sigue si se ha demostrado que P y Q son verdaderos o falsos.

Origen de iff y pronunciación

Uso de la abreviatura "iff" apareció impreso por primera vez en el libro General Topology de John L. Kelley de 1955. Su invención a menudo se le atribuye a Paul Halmos, quien escribió "Yo inventé 'iff,' para 'si y solo si', pero nunca pude creer que yo fuera realmente su primer inventor."

No está claro cómo "iff" estaba destinado a ser pronunciado. En la práctica actual, la sola 'palabra' "si" casi siempre se lee como las cuatro palabras "si y solo si". Sin embargo, en el prefacio de Topología general, Kelley sugiere que debería leerse de otra manera: "En algunos casos donde el contenido matemático requiere 'si y solo si' y la eufonía exige algo menos Yo uso Halmos' 'iff'". Los autores de un libro de texto de matemáticas discretas sugieren: "Si necesita pronunciar iff, realmente quédese con 'ff' para que la gente escuche la diferencia de 'if'", lo que implica que "iff" podría pronunciarse como [ɪfː].

Uso en definiciones

Técnicamente, las definiciones son "si y solo si" declaraciones; algunos textos, como la Topología general de Kelley, siguen las estrictas exigencias de la lógica y usan "si y solo si" o iff en definiciones de nuevos términos. Sin embargo, este uso lógicamente correcto de "si y solo si" relativamente poco común y pasa por alto el hecho lingüístico de que el "si" de una definición se interpreta en el sentido de "si y solo si". La mayoría de los libros de texto, trabajos de investigación y artículos (incluidos los artículos de Wikipedia en inglés) siguen la convención lingüística para interpretar "si" como "si y solo si" siempre que se trate de una definición matemática (como en "un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita").

Distinción de "si" y "solo si"

• "Madison comerá el fruto si es una manzana". (equivalente a "Sólo si Madison comerá la fruta, puede ser una manzana" o "Madison comerá el fruto ← la fruta es una manzana")

  Esto indica que Madison comerá frutas que son manzanas. Sin embargo, no excluye la posibilidad de que Madison también pueda comer plátanos u otros tipos de fruta. Todo lo que se sabe por cierto es que ella comerá todas y todas las manzanas que ella sucede. Que la fruta es una manzana suficiente condición para que Madison coma la fruta.

• "Madison comerá el fruto sólo si es una manzana". (equivalente a "Si Madison comerá la fruta, entonces es una manzana" o "Madison comerá el fruto → la fruta es una manzana")

  Esto indica que la única fruta que Madison comerá es una manzana. No excluye, sin embargo, la posibilidad de que Madison rechace una manzana si está disponible, en contraste con (1), lo que requiere que Madison coma cualquier manzana disponible. En este caso, que una fruta determinada es una manzana necesario condición para que Madison lo coma. No es una condición suficiente ya que Madison podría no comer todas las manzanas que se le da.

• "Madison comerá el fruto si es una manzana". (equivalente a "Madison comerá el fruto Administración la fruta es una manzana")

  Esta declaración deja claro que Madison comerá todas y sólo aquellas frutas que son manzanas. No dejará ninguna manzana sin comer, y no comerá ningún otro tipo de fruta. Que una fruta dada es una manzana necesario y a suficiente condición para que Madison coma la fruta.

La suficiencia es lo contrario de la necesidad. Es decir, dado P→Q (es decir, si P entonces Q), P sería una condición suficiente para Q, y Q sería una condición necesaria para P. Además, dado P→Q, es cierto que ¬Q→¬P (donde ¬ es la negación operador, es decir, "no"). Esto significa que la relación entre P y Q, establecida por P→Q, se puede expresar de la siguiente manera, todas equivalentes, maneras:

P es suficiente para Q

Q es necesario P

¬ es suficiente para ¬

¬ es necesario ¬

Como ejemplo, tome el primer ejemplo anterior, que dice P→Q, donde P es "la fruta en la pregunta es una manzana" y P es "Madison comerá la fruta en cuestión". Las siguientes son cuatro formas equivalentes de expresar esta misma relación:

Si la fruta en cuestión es una manzana, entonces Madison la comerá.

Sólo si Madison comerá la fruta en cuestión, es una manzana.

Si Madison no comerá la fruta en cuestión, entonces no es una manzana.

Sólo si la fruta en cuestión no es una manzana, Madison no la comerá.

Aquí, el segundo ejemplo se puede reformular en la forma de si... entonces como "Si Madison se come la fruta en cuestión, entonces es una manzana"; tomando esto junto con el primer ejemplo, encontramos que el tercer ejemplo se puede establecer como 'Si la fruta en cuestión es una manzana, entonces Madison se la comerá; y si Madison se come la fruta, entonces es una manzana".

En términos de diagramas de Euler

• 

  A es un subconjunto adecuado B. Un número está en A sólo si está dentro B; un número está en B si está dentro A.

• 

  C es un subconjunto pero no un subconjunto adecuado B. Un número está en B si y sólo si está dentro C, y un número está en C si y sólo si está dentro B.

Los diagramas de Euler muestran relaciones lógicas entre eventos, propiedades, etc. "P solo si Q", "si P entonces Q" y "P→Q" todos significan que P es un subconjunto, ya sea propio o impropio, de Q. "P si Q", "si Q entonces P", y Q→P todos significan que Q es un conjunto propio o subconjunto impropio de P. "P si y solo si Q" y "Q si y solo si P" ambos significan que los conjuntos P y Q son idénticos entre sí.

Uso más general

Iff también se usa fuera del campo de la lógica. Dondequiera que se aplique la lógica, especialmente en las discusiones matemáticas, tiene el mismo significado que el anterior: es una abreviatura de si y solo si, lo que indica que una declaración es necesaria y suficiente para la otra. Este es un ejemplo de jerga matemática (aunque, como se señaló anteriormente, if se usa con más frecuencia que iff en declaraciones de definición).

Los elementos de X son todos y sólo los elementos de Y significa: "Para cualquier z en el dominio del discurso, z está en X si y solo si z está en Y.& #34;