Senario

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Sistema de numeral básico-6

Un sistema numérico senario () (también conocido como base-6, heximal o seximal) tiene seis como su base. Ha sido adoptado de forma independiente por un pequeño número de culturas. Al igual que el decimal, es un semiprimo, aunque es único como el producto de los dos únicos números consecutivos que son primos (2 y 3). Como seis es un número superior altamente compuesto, muchos de los argumentos a favor del sistema duodecimal también se aplican al senario. A su vez, la lógica senaria se refiere a una extensión de los sistemas lógicos ternarios de Jan Łukasiewicz y Stephen Cole Kleene ajustados para explicar la lógica de las pruebas estadísticas y los patrones de datos faltantes en las ciencias utilizando métodos empíricos.

Definición formal

El conjunto estándar de dígitos en senario es dado por ${displaystyle {mathcal {D}}_{6}=lbrace 0,1,2,3,4,5rbrace }$ , con una orden lineal $<math alttext="{displaystyle 0<1<2<3<40.1.2.3.4.5{displaystyle 0 observado1 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 <img alt="{displaystyle 0<1<2<3<4$ . Vamos ${displaystyle {mathcal {D}}_{6}^{*}}$ ser el cierre de Kleene ${displaystyle {mathcal {D}}_{6}}$ , donde $ab$ es la operación de concatenación de cadena para ${displaystyle a,bin {mathcal {D}}^{*}}$ . El sistema de números senarios para números naturales ${displaystyle {mathcal {N}}_{6}}$ es el conjunto de coeficientes ${displaystyle {mathcal {D}}_{6}^{*}/sim }$ equipado con un pedido corto, donde la clase de equivalencia $sim$ es ${displaystyle lbrace nin {mathcal {D}}_{6}^{*},nsim 0nrbrace }$ . As ${displaystyle {mathcal {N}}_{6}}$ tiene un pedido corto, es isomorfo a los números naturales $mathbb {N}$ .

Propiedades matemáticas

Tabla de multiplicación sensible
×	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10	13	20	23
4	4	12	20	24	32
5	5	14	23	32	41

Cuando se expresa en senario, todos los números primos que no sean 2 y 3 tienen 1 o 5 como dígito final. En senario, los números primos se escriben

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 531, 531... A004680 en el OEIS)

Es decir, para cada número primo p mayor que 3, uno tiene las relaciones aritméticas modulares que p ≡ 1 o 5 (mod 6) (es decir, 6 divide a p − 1 o p − 5); el dígito final es un 1 o un 5. Esto se prueba por contradicción.

Para cualquier número entero n:

Si n (mod 6), 6 años n
Si n 2 (mod 6), 2 n
Si n 3 (mod 6), 3 n
Si n 4 (mod 6), 2 n

Además, dado que los cuatro primos más pequeños (2, 3, 5, 7) son divisores o vecinos de 6, Senary tiene pruebas de divisibilidad simples para muchos números.

Además, todos los números perfectos además de 6 tienen 44 como los dos últimos dígitos cuando se expresan en senario, que se demuestra por el hecho de que cada número perfecto es de la forma ${displaystyle 2^{p-1}(2^{p}-1)}$ , donde ${displaystyle 2^{p}-1}$ es primo.

Senary es también la base numérica más grande r que no tiene más totales que 1 y r − 1, lo que hace que su tabla de multiplicar sea muy regular para su tamaño, minimizando la cantidad de esfuerzo requerido para memorizar su tabla. Esta propiedad maximiza la probabilidad de que el resultado de una multiplicación de enteros acabe en cero, dado que ninguno de sus factores lo hace.

Si un número es divisible por 2, entonces el dígito final de ese número, cuando se expresa en senario, es 0, 2 o 4. Si un número es divisible por 3, entonces el dígito final de ese número en senario es 0 o 3. Un número es divisible por 4 si su penúltima cifra es impar y su última cifra es 2, o su penúltima cifra es par y su última cifra es 0 o 4. Un número es divisible por 5 si la suma de sus dígitos senarios es divisible por 5 (el equivalente a sacar nueves en decimal). Si un número es divisible por 6, entonces el dígito final de ese número es 0. Para determinar si un número es divisible por 7, uno puede sumar sus dígitos alternos y restar esas sumas; si el resultado es divisible por 7, el numero es divisible por 7

Fracciones

Debido a que seis es el producto de los dos primeros números primos y es adyacente a los siguientes dos números primos, muchas fracciones senarias tienen representaciones simples:

Fracción	Factores primas del denominador	Representación posicional	Representación posicional	Factores primas del denominador	Fracción
Base decimal Principales factores de la base: 2, 5 Principales factores de uno debajo de la base: 3 Principales factores de uno por encima de la base: 11			Base sensible Principales factores de la base: 2, 3 Principales factores de uno debajo de la base: 5 Principales factores de uno por encima de la base: 7 (=11₆)
1/2	2	0.5	0.3	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.2	3	1/3
1/4	2	0,25	0,13	2	1/4
1/5	5	0.2	0.1111... = 0.1	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.1	2, 3	1/10
1/7	7	0.142857	0.05	11	1/11
1/8	2	0.125	0,043	2	1/12
1/9	3	0.1	0,04	3	1/13
1/10	2, 5	0.1	0,03	2, 5	1/14
1/11	11	0.09	0.0313452421	15	1/15
1/12	2, 3	0,083	0,03	2, 3	1/20
1/13	13	0.076923	0.024340531215	21	1/21
1/14	2, 7	0,0714285	0,023	2, 11	1/22
1/15	3, 5	0,06	0,02	3, 5	1/23
1/16	2	0,0625	0,0213	2	1/24
1/17	17	0.0588235294117647	0.0204122453514331	25	1/25
1/18	2, 3	0,05	0,02	2, 3	1/30
1/19	19	0.052631578947368421	0.015211325	31	1/31
1/20	2, 5	0,05	0,014	2, 5	1/32
1/21	3, 7	0.047619	0,014	3, 11	1/33
1/22	2, 11	0,045	0,01345242103	2, 15	1/34
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.01322030441	35	1/35
1/24	2, 3	0,0416	0,013	2, 3	1/40
1/25	5	0,04	0.01235	5	1/41
1/26	2, 13	0,0384615	0,0121502434053	2, 21	1/42
1/27	3	0.037	0,012	3	1/43
1/28	2, 7	0,03571428	0,0114	2, 11	1/44
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.01124045443151	45	1/45
1/30	2, 3, 5	0,03	0,01	2, 3, 5	1/50
1/31	31	0.032258064516129	0.010545	51	1/51
1/32	2	0,03125	0,01043	2	1/52
1/33	3, 11	0.03	0,01031345242	3, 15	1/53
1/34	2, 17	0,02941176470588235	0,01020412245351433	2, 25	1/54
1/35	5, 7	0,0285714	0.01	5, 11	1/55
1/36	2, 3	0,027	0,01	2, 3	1/100

Contar con los dedos

34_senario = 22_decimal, en el dedo senario contando

Se puede decir que cada mano humana regular tiene seis posiciones inequívocas; un puño, un dedo (o pulgar) extendido, dos, tres, cuatro y luego los cinco extendidos.

Si la mano derecha se usa para representar una unidad y la izquierda para representar los "seis", es posible que una persona represente los valores de cero a 55_senario (35_decimal) con los dedos, en lugar de los diez habituales que se obtienen en el conteo estándar con los dedos. p.ej. si se extienden tres dedos en la mano izquierda y cuatro en la derecha, se representa 34_senario. Esto es equivalente a 3 × 6 + 4, que es 22_decimal.

Además, este método es la forma menos abstracta de contar con dos manos que refleja el concepto de notación posicional, ya que el movimiento de una posición a la siguiente se realiza cambiando de una mano a otra. Mientras que la mayoría de las culturas desarrolladas cuentan con los dedos hasta 5 de manera muy similar, más allá de 5 culturas no occidentales se desvían de los métodos occidentales, como con los gestos numéricos chinos. Como el conteo de dedos senarios también se desvía solo más allá de 5, este método de conteo rivaliza con la simplicidad de los métodos de conteo tradicionales, un hecho que puede tener implicaciones para la enseñanza de la notación posicional a los estudiantes jóvenes.

¿Qué mano se usa para los 'seis' y cuyas unidades se reducen a la preferencia por parte del contador, sin embargo, cuando se ve desde la perspectiva del contador, el uso de la mano izquierda como el dígito más significativo se correlaciona con la representación escrita del mismo número senario. Volteando los 'seis' la mano alrededor de su parte trasera puede ayudar a desambiguar aún más qué mano representa los 'seis' y que representa las unidades. Sin embargo, la desventaja del conteo senario es que, sin un acuerdo previo, las dos partes no podrían utilizar este sistema, ya que no están seguros de qué mano representa los seises y qué mano representa los unos, mientras que el conteo basado en decimales (los números más allá de 5 se expresan con un número abierto). palma y dedos adicionales) siendo esencialmente un sistema unario solo requiere que la otra parte cuente el número de dedos extendidos.

En el baloncesto de la NCAA, los jugadores' los números uniformes están restringidos a ser números senarios de como máximo dos dígitos, de modo que los árbitros puedan señalar qué jugador cometió una infracción utilizando este sistema de conteo de dedos.

Los sistemas de conteo de dedos más abstractos, como el chisanbop o el binario de dedos, permiten contar hasta 99, 1023 o incluso más según el método (aunque no necesariamente de naturaleza senaria). El monje e historiador inglés Bede, descrito en el primer capítulo de su obra De temporum ratione, (725), titulada "Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum," un sistema que permitía contar hasta 9.999 con las dos manos.

Lenguajes naturales

A pesar de la rareza de las culturas que agrupan grandes cantidades por 6, una revisión del desarrollo de los sistemas numéricos sugiere un umbral de numerosidad en 6 (posiblemente conceptualizado como "entero", "puño" 34;, o "más allá de cinco dedos"), con 1–6 a menudo siendo formas puras, y los números a partir de entonces se construyen o se toman prestados.

Se informa que el idioma ndom de la Nueva Guinea indonesia tiene números senarios. Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36 y nif thef significa 36 × 2 = 72.

Otro ejemplo de Papua Nueva Guinea son los idiomas Yam. En estos idiomas, contar está conectado con el conteo ritualizado de ñame. Estos idiomas cuentan de base seis, empleando palabras para las potencias de seis; corriendo hasta 6⁶ para algunos de los idiomas. Un ejemplo es Komnzo con los siguientes números: nibo (6¹), fta (6² [36]), taruba (6³ [216]), maldición (6⁴ [1296]), wärämäkä (6⁵ [7776]), wi (6⁶ [46656]).

Se ha informado que algunos idiomas de Níger-Congo usan un sistema numérico senario, generalmente además de otro, como decimal o vigesimal.

También se sospecha que Proto-Uralic tenía números senarios, con un número para 7 que se tomó prestado más tarde, aunque la evidencia para construir números más grandes (8 y 9) sustractivamente a partir de diez sugiere que esto puede no ser así.

Base 36 como compresión senaria

Para algunos propósitos, el senario puede ser una base demasiado pequeña por conveniencia. Esto se puede solucionar usando su cuadrado, base 36 (hexatrigesimal), ya que entonces la conversión se facilita simplemente haciendo los siguientes reemplazos:

Decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
Base 6	0	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25
Base 36	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`A`	`B`	`C`	`D`	`E`	`F`	`G`	`H`

Decimal	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
Base 6	30	31	32	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55
Base 36	`I`	`J`	`K`	`L`	`M`	`N`	`O`	`P`	`Q`	`R`	`S`	`T`	`U`	`V`	`W`	`X`	`Y`	`Z`

Así, el número de base 36 WIKIPEDIA₃₆ es igual al número senario 523032304122213014₆. En decimal, es 91.730.738.691.298.

La elección de 36 como base es conveniente porque los dígitos se pueden representar usando los números arábigos del 0 al 9 y las letras latinas de la A a la Z: esta elección es la base del esquema de codificación base36. El efecto de compresión de 36 siendo el cuadrado de 6 hace que muchos patrones y representaciones sean más cortos en base 36:

1/9₁₀ = 0,04₆ = 0,4₃₆

1/16₁₀ = 0,0213₆ = 0,29₃₆

1/5₁₀ = 0.1₆ = 0.7₃₆

1/7₁₀ = 0.05₆ = 0.5₃₆

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