Semiperímetro

En geometría, el semiperímetro de un polígono es la mitad de su perímetro. Aunque tiene una derivación tan simple del perímetro, el semiperímetro aparece con tanta frecuencia en fórmulas para triángulos y otras figuras que se le da un nombre separado. Cuando el semiperímetro aparece como parte de una fórmula, normalmente se indica con la letra s.

Motivación: triángulos

El semiperímetro se utiliza con mayor frecuencia para triángulos; la fórmula para el semiperímetro de un triángulo con lados de longitud a, b, c

${displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}$

Propiedades

En cualquier triángulo, cualquier vértice y el punto donde el círculo externo opuesto toca el triángulo dividen el perímetro del triángulo en dos longitudes iguales, creando así dos caminos, cada uno de los cuales tiene una longitud igual al semiperímetro. Si A, B, B', C' son como se muestra en la figura, entonces los segmentos que conectan un vértice con la tangencia del excírculo opuesto (AA', BB', CC', que se muestra en rojo en el diagrama) se conocen como divisores, y

${displaystyle {begin{aligned}s tendría que haber tenido éxito*begin{aligned}seguirfnciped}seguirA'C habit\\\\fnMicrosoft Sans Serif}}}}}}}}}}$

Los tres divisores concurren en el punto de Nagel del triángulo.

Una cuchilla de triángulo es un segmento de línea que biseca el perímetro del triángulo y tiene un extremo en el punto medio de uno de los tres lados. Entonces, cualquier cuchilla, como cualquier divisor, divide el triángulo en dos caminos, cada uno de cuya longitud es igual al semiperímetro. Las tres cuchillas concurren en el centro del círculo de Spieker, que es el círculo interior del triángulo medial; El centro de Spieker es el centro de masa de todos los puntos de las aristas del triángulo.

Una línea que pasa por el incentro del triángulo biseca el perímetro si y sólo si también biseca el área.

El semiperímetro de un triángulo es igual al perímetro de su triángulo medial.

Según la desigualdad del triángulo, la longitud del lado más largo de un triángulo es menor que el semiperímetro.

Fórmulas que involucran el semiperímetro

Para triángulos

El área A de cualquier triángulo es el producto de su inradio (el radio de su círculo inscrito) y su semiperímetro:

${displaystyle A=rs.}$

El área de un triángulo también se puede calcular a partir de su semiperímetro y las longitudes de los lados a, b, c usando Heron's fórmula:

${displaystyle A={sqrt {sleft(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)}}}$

El radio circunstante R de un triángulo también se puede calcular a partir de las longitudes del semiperímetro y de los lados:

${displaystyle R={frac}}}}}$

Esta fórmula se puede derivar de la ley de los senos.

El inradio es

${displaystyle r={sqrt {frac { s-a)(s-b)}{s}}}}}$

La ley de las cotangentes da las cotangentes de los semiángulos en los vértices de un triángulo en términos del semiperímetro, los lados y el inradio.

La longitud de la bisectriz interna del ángulo opuesto al lado de la longitud a es

${displaystyle T_{a}={frac {2{b+c}}$

En un triángulo derecho, el radio del excirco en la hipotenusa equivale al semiperímetro. El semiperímetro es la suma del inradius y el doble del circunradius. El área del triángulo derecho es ${displaystyle (s-a)(s-b)}$ Donde a, b son las piernas.

Para cuadriláteros

La fórmula para el semiperímetro de un cuadrilátero con longitudes de lados a, b, c, d es

${displaystyle s={frac {a+b+d}{2}}$

Una de las fórmulas del área de un triángulo que involucra el semiperímetro también se aplica a los cuadriláteros tangenciales, que tienen un círculo y en los cuales (según el teorema de Pitot) los pares de lados opuestos tienen longitudes que suman el semiperímetro, es decir, el área es el producto del inradio y el semiperímetro:

${displaystyle K=rs.}$

La forma más simple de la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico tiene una forma similar a la de la fórmula de Heron para el área del triángulo:

${displaystyle K={sqrt {left(s-aright)left(s-bright)left(s-cright)left(s-dright)}}$

La fórmula de Bretschneider generaliza esto a todos los cuadriláteros convexos:

${displaystyle K={sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcdcdot cos ^{2}left({frac {alpha +gamma }{2}right)}}}}}} }$

en el cual α y γ son dos ángulos opuestos.

Los cuatro lados de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de una ecuación de cuarto grado parametrizada por el semiperímetro, el inradio y el circunradio.

Polígonos regulares

El área de un polígono regular convexo es el producto de su semiperímetro y su apotema.

Círculos

El semiperímetro de un círculo, también llamado semicircunferencia, es directamente proporcional a su radio r:

${displaystyle s=picdot r.!$

La constante de proporcionalidad es el número pi, π.