Segmento (geometría)

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En geometría, un segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene todos los puntos de la línea que se encuentran entre sus puntos finales. Un segmento de línea cerrado incluye ambos extremos, mientras que un segmento de línea abierto excluye ambos extremos; un segmento de línea semiabierta incluye exactamente uno de los puntos finales. En geometría, un segmento de línea a menudo se denota usando una línea sobre los símbolos de los dos puntos finales (como {\sobrelínea {AB}}).

Los ejemplos de segmentos de línea incluyen los lados de un triángulo o un cuadrado. De manera más general, cuando ambos puntos finales del segmento son vértices de un polígono o poliedro, el segmento de línea es un borde (de ese polígono o poliedro) si son vértices adyacentes, o una diagonal. Cuando los puntos finales se encuentran en una curva (como un círculo), un segmento de línea se llama cuerda (de esa curva).

En espacios vectoriales reales o complejos

Si V es un espacio vectorial sobre \matemáticas {R}o \matemáticas {C}, y L es un subconjunto de V , entonces L es un segmento de línea si L se puede parametrizar como {\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}

para algunos vectores \mathbf{u}, \mathbf{v} \en V\,\!. En cuyo caso, los vectores u y u + v se denominan puntos extremos de L .

A veces, es necesario distinguir entre segmentos de línea "abiertos" y "cerrados". En este caso, uno definiría un segmento de línea cerrado como el anterior, y un segmento de línea abierto como un subconjunto L que se puede parametrizar como L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}

para algunos vectores \mathbf{u}, \mathbf{v} \en V\,\!.

De manera equivalente, un segmento de línea es el casco convexo de dos puntos. Por lo tanto, el segmento de línea se puede expresar como una combinación convexa de los dos puntos finales del segmento.

En geometría, se podría definir que el punto B está entre otros dos puntos A y C , si la distancia AB sumada a la distancia BC es igual a la distancia AC . Así en \R^2, el segmento de línea con extremos A = ( a x , a y ) y C = ( c x , c y ) es la siguiente colección de puntos: {\displaystyle \left\{(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt { (x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_ {y}-a_{y})^{2}}}\derecho\}.}

Propiedades

En pruebas

En un tratamiento axiomático de la geometría, se supone que la noción de intermediación satisface un cierto número de axiomas o se define en términos de una isometría de una línea (utilizada como sistema de coordenadas).

Los segmentos juegan un papel importante en otras teorías. Por ejemplo, en un conjunto convexo , el segmento que une dos puntos cualquiera del conjunto está contenido en el conjunto. Esto es importante porque transforma parte del análisis de conjuntos convexos, al análisis de un segmento de línea. El postulado de la suma de segmentos se puede usar para agregar un segmento o segmentos congruentes con longitudes iguales y, en consecuencia, sustituir otros segmentos en otro enunciado para hacer que los segmentos sean congruentes.

Como una elipse degenerada

Un segmento de línea puede verse como un caso degenerado de una elipse, en el que el semieje menor tiende a cero, los focos van a los extremos y la excentricidad tiende a uno. Una definición estándar de una elipse es el conjunto de puntos para los cuales la suma de las distancias de un punto a dos focos es una constante; si esta constante es igual a la distancia entre los focos, el segmento de línea es el resultado. Una órbita completa de esta elipse atraviesa el segmento de línea dos veces. Como órbita degenerada, esta es una trayectoria elíptica radial.

En otras formas geométricas

Además de aparecer como bordes y diagonales de polígonos y poliedros, los segmentos de línea también aparecen en muchos otros lugares en relación con otras formas geométricas.

Triangulos

Algunos segmentos considerados con mucha frecuencia en un triángulo incluyen las tres alturas (cada una conectando perpendicularmente un lado o su extensión al vértice opuesto), las tres medianas (cada una conectando el punto medio de un lado con el vértice opuesto), las bisectrices perpendiculares de los lados ( que conectan perpendicularmente el punto medio de un lado con uno de los otros lados), y las bisectrices de los ángulos internos (cada una conecta un vértice con el lado opuesto). En cada caso, existen varias igualdades que relacionan estas longitudes de segmento con otras (discutidas en los artículos sobre los distintos tipos de segmento), así como varias desigualdades.

Otros segmentos de interés en un triángulo incluyen aquellos que conectan varios centros de triángulos entre sí, sobre todo el incentro, el circuncentro, el centro de nueve puntos, el baricentro y el ortocentro.

Cuadriláteros

Además de los lados y las diagonales de un cuadrilátero, algunos segmentos importantes son las dos bimedianas (que conectan los puntos medios de los lados opuestos) y las cuatro maltitudes (cada una conecta perpendicularmente un lado con el punto medio del lado opuesto).

Círculos y elipses

Cualquier segmento de línea recta que conecta dos puntos en un círculo o elipse se llama cuerda. Cualquier cuerda en un círculo que ya no tiene cuerda se llama diámetro, y cualquier segmento que conecta el centro del círculo (el punto medio de un diámetro) con un punto en el círculo se llama radio.

En una elipse, la cuerda más larga, que también es el diámetro más largo, se denomina eje mayor , y un segmento desde el punto medio del eje mayor (el centro de la elipse) hasta cualquiera de los extremos del eje mayor se denomina semieje mayor. . De manera similar, el diámetro más corto de una elipse se denomina eje menor , y el segmento desde su punto medio (el centro de la elipse) hasta cualquiera de sus extremos se denomina semieje menor . Las cuerdas de una elipse que son perpendiculares al eje mayor y pasan por uno de sus focos se llaman latera recta de la elipse. El segmento interfocal conecta los dos focos.

Segmento de línea dirigida

Cuando a un segmento de línea se le da una orientación (dirección), se le llama segmento de línea dirigido . Sugiere una traslación o desplazamiento (quizás causado por una fuerza). La magnitud y la dirección son indicativas de un cambio potencial. Extender un segmento de línea dirigida semi-infinitamente produce un rayo e infinitamente en ambas direcciones produce una línea dirigida . Esta sugerencia ha sido absorbida por la física matemática a través del concepto de vector euclidiano. La colección de todos los segmentos de línea dirigidos generalmente se reduce haciendo "equivalente" a cualquier par que tenga la misma longitud y orientación.Esta aplicación de una relación de equivalencia data de la introducción del concepto de equipolencia de segmentos de línea dirigida de Giusto Bellavitis en 1835.

Generalizaciones

De manera análoga a los segmentos de línea recta anteriores, también se pueden definir arcos como segmentos de una curva.

Una pelota es un segmento de línea en un espacio unidimensional.