Topología

En matemáticas, la topología (de las palabras griegas τόπος, 'lugar, ubicación', y λόγος, 'estudio') se ocupa de las propiedades de un objeto geométrico que se conservan bajo deformaciones continuas, como estirarse, torcerse, arrugarse y doblarse.; es decir, sin cerrar huecos, abrir huecos, rasgarse, encolarse, ni traspasarse.

Un espacio topológico es un conjunto dotado de una estructura, denominada topología, que permite definir deformaciones continuas de subespacios y, más en general, todo tipo de continuidad. Los espacios euclidianos y, de manera más general, los espacios métricos son ejemplos de un espacio topológico, ya que cualquier distancia o métrica define una topología. Las deformaciones que se consideran en topología son homeomorfismos y homotopías. Una propiedad que es invariante bajo tales deformaciones es una propiedad topológica. Ejemplos básicos de propiedades topológicas son: la dimensión, que permite distinguir entre una línea y una superficie; compacidad, que permite distinguir entre una línea y un círculo; conectividad, que permite distinguir un círculo de dos círculos que no se cruzan.

Las ideas subyacentes a la topología se remontan a Gottfried Leibniz, quien en el siglo XVII imaginó la geometria situs y el analysis situs. El problema de los siete puentes de Königsberg de Leonhard Euler y la fórmula del poliedro son posiblemente los primeros teoremas del campo. El término topología fue introducido por Johann Benedict Listing en el siglo XIX, aunque no fue hasta las primeras décadas del siglo XX cuando se desarrolló la idea de espacio topológico.

Motivación

La idea motivadora detrás de la topología es que algunos problemas geométricos no dependen de la forma exacta de los objetos involucrados, sino más bien de la forma en que se ensamblan. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas propiedades en común: ambos son objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambos separan el plano en dos partes, la parte interior y la parte exterior.

En uno de los primeros artículos sobre topología, Leonhard Euler demostró que era imposible encontrar una ruta a través de la ciudad de Königsberg (ahora Kaliningrado) que cruzara cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no dependía de la longitud de los puentes o de la distancia entre ellos, sino solo de las propiedades de conectividad: qué puentes conectan con qué islas o riberas. Este problema de los Siete Puentes de Königsberg condujo a la rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos.

De manera similar, el teorema de la bola peluda de la topología algebraica dice que "no se puede peinar el cabello en una bola peluda sin crear un mechón". Este hecho es inmediatamente convincente para la mayoría de las personas, aunque no reconozcan el enunciado más formal del teorema, que no existe un campo vectorial tangente continuo que no desaparezca en la esfera. Al igual que con los Puentes de Königsberg, el resultado no depende de la forma de la esfera; se aplica a cualquier tipo de gota lisa, siempre que no tenga agujeros.

Para lidiar con estos problemas que no se basan en la forma exacta de los objetos, uno debe tener claro en qué propiedades se basan estos problemas. De esta necesidad surge la noción de homeomorfismo. La imposibilidad de cruzar cada puente una sola vez se aplica a cualquier disposición de puentes homeomorfos a los de Königsberg, y el teorema de la bola peluda se aplica a cualquier espacio homeomorfo a una esfera.

Intuitivamente, dos espacios son homeomorfos si uno puede deformarse en el otro sin cortar ni pegar. Una broma tradicional es que un topólogo no puede distinguir una taza de café de una rosquilla, ya que una rosquilla lo suficientemente flexible podría transformarse en una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se encoge el agujero en un asa.

El homeomorfismo puede considerarse la equivalencia topológica más básica. Otra es la equivalencia de homotopía. Esto es más difícil de describir sin volverse técnico, pero la noción esencial es que dos objetos son homotópicos equivalentes si ambos resultan de "aplastar" algún objeto más grande.

homeomorfismo	Equivalencia de homotopía

Un ejercicio introductorio es clasificar las letras mayúsculas del alfabeto inglés según la equivalencia de homeomorfismo y homotopía. El resultado depende de la fuente utilizada y de si los trazos que componen las letras tienen cierto grosor o son curvas ideales sin grosor. Las figuras aquí usan la fuente sans-serif Myriad y se supone que consisten en curvas ideales sin grosor. La equivalencia de homotopía es una relación más gruesa que el homeomorfismo; una clase de equivalencia de homotopía puede contener varias clases de homeomorfismo. El caso simple de equivalencia de homotopía descrito anteriormente se puede usar aquí para mostrar que dos letras son equivalentes de homotopía. Por ejemplo, O cabe dentro de P y la cola de la P se puede aplastar en la parte del "agujero".

Las clases de homeomorfismo son:

• sin agujeros correspondientes a C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z;
• sin agujeros y tres colas correspondientes a E, F, T e Y;
• sin agujeros y cuatro colas correspondientes a X;
• un agujero y sin cola correspondiente a D y O;
• un agujero y una cola correspondientes a P y Q;
• un agujero y dos colas correspondientes a A y R;
• dos agujeros y sin cola correspondientes a B; y
• una barra con cuatro colas correspondientes a H y K; la "barra" en la K es casi demasiado corta para verla.

Las clases de homotopía son más grandes, porque las colas se pueden aplastar hasta un punto. Ellos son:

• un agujero,
• dos agujeros y
• sin agujeros

Para clasificar correctamente las letras, debemos demostrar que dos letras de la misma clase son equivalentes y dos letras de clases diferentes no son equivalentes. En el caso del homeomorfismo, esto se puede hacer seleccionando puntos y mostrando que su eliminación desconecta las letras de manera diferente. Por ejemplo, X e Y no son homeomorfos porque al quitar el punto central de X quedan cuatro piezas; cualquiera que sea el punto en Y que corresponda a este punto, su remoción puede dejar como máximo tres piezas. El caso de la equivalencia de homotopía es más difícil y requiere un argumento más elaborado que muestre que un invariante algebraico, como el grupo fundamental, es diferente en las clases supuestamente diferentes.

La topología de letras tiene relevancia práctica en la tipografía de esténcil. Por ejemplo, las plantillas de fuente Braggadocio están hechas de una sola pieza de material conectada.

Historia

La topología, como disciplina matemática bien definida, se origina a principios del siglo XX, pero algunos resultados aislados se remontan a varios siglos atrás. Entre éstas se encuentran ciertas cuestiones de geometría investigadas por Leonhard Euler. Su artículo de 1736 sobre los siete puentes de Königsberg se considera una de las primeras aplicaciones prácticas de la topología. El 14 de noviembre de 1750, Euler le escribió a un amigo que se había dado cuenta de la importancia de las aristas de un poliedro. Esto llevó a su fórmula de poliedro, V − E + F = 2 (donde V, E y Findican respectivamente el número de vértices, aristas y caras del poliedro). Algunas autoridades consideran este análisis como el primer teorema, que señala el nacimiento de la topología.

Otras contribuciones fueron realizadas por Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann y Enrico Betti. Listing introdujo el término "Topologie" en Vorstudien zur Topologie, escrito en su alemán nativo, en 1847, habiendo usado la palabra durante diez años en correspondencia antes de su primera aparición impresa. La forma inglesa "topología" se utilizó en 1883 en el obituario de Listing en la revista Nature para distinguir "la geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la que se tratan principalmente las relaciones cuantitativas".

Su trabajo fue corregido, consolidado y ampliamente ampliado por Henri Poincaré. En 1895, publicó su innovador artículo sobre Análisis Situs, que introdujo los conceptos ahora conocidos como homotopía y homología, que ahora se consideran parte de la topología algebraica.

Unificando el trabajo sobre espacios de funciones de Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli y otros, Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico en 1906. Un espacio métrico ahora se considera un caso especial de un espacio topológico general, con cualquier espacio topológico dado que potencialmente da lugar a muchos espacios métricos distintos. En 1914, Felix Hausdorff acuñó el término "espacio topológico" y dio la definición de lo que ahora se llama espacio de Hausdorff. Actualmente, un espacio topológico es una ligera generalización de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por Kazimierz Kuratowski.

La topología moderna depende en gran medida de las ideas de la teoría de conjuntos, desarrollada por Georg Cantor a finales del siglo XIX. Además de establecer las ideas básicas de la teoría de conjuntos, Cantor consideró los conjuntos de puntos en el espacio euclidiano como parte de su estudio de las series de Fourier. Para obtener más desarrollos, consulte la topología de conjunto de puntos y la topología algebraica.

El Premio Abel 2022 fue otorgado a Dennis Sullivan "por sus contribuciones innovadoras a la topología en su sentido más amplio, y en particular sus aspectos algebraicos, geométricos y dinámicos".

Conceptos

Topologías en conjuntos

El término topología también se refiere a una idea matemática específica central en el área de las matemáticas llamada topología. Informalmente, una topología dice cómo los elementos de un conjunto se relacionan espacialmente entre sí. Un mismo conjunto puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, la línea real, el plano complejo y el conjunto de Cantor se pueden considerar como el mismo conjunto con diferentes topologías.

Formalmente, sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se llama una topología en X si:

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ.
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ.
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ.

Si τ es una topología en X, entonces el par (X, τ) se denomina espacio topológico. La notación X _τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ. Por definición, toda topología es un sistema π.

Los miembros de τ se llaman conjuntos abiertos en X. Se dice que un subconjunto de X es cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos (un conjunto cerrado) o ninguno. El conjunto vacío y el propio X siempre son tanto cerrados como abiertos. Un subconjunto abierto de X que contiene un punto x se llama vecindad de x.

Funciones continuas y homeomorfismos

Una función o mapa de un espacio topológico a otro se llama continuosi la imagen inversa de cualquier conjunto abierto es abierta. Si la función asigna los números reales a los números reales (ambos espacios con la topología estándar), entonces esta definición de continuo es equivalente a la definición de continuo en cálculo. Si una función continua es uno a uno y sobre, y si el inverso de la función también es continuo, entonces la función se llama homeomorfismo y el dominio de la función se dice que es homeomorfo al rango. Otra forma de decir esto es que la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomorfos, tienen propiedades topológicas idénticas y se consideran topológicamente iguales. El cubo y la esfera son homeomorfos, al igual que la taza de café y la dona. Pero el círculo no es homeomorfo a la rosquilla.

Colectores

Si bien los espacios topológicos pueden ser extremadamente variados y exóticos, muchas áreas de la topología se enfocan en la clase más familiar de espacios conocidos como variedades. Una variedad es un espacio topológico que se parece al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de una variedad n -dimensional tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano de dimensión n. Las líneas y los círculos, pero no los ochos, son variedades unidimensionales. Las variedades bidimensionales también se denominan superficies, aunque no todas las superficies son variedades. Los ejemplos incluyen el plano, la esfera y el toro, que pueden realizarse sin autointersección en tres dimensiones, y la botella de Klein y el plano proyectivo real, que no pueden (es decir, todas sus realizaciones son superficies que no son variedades)..

Temas

Topología general

La topología general es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en la topología. Es la base de la mayoría de las demás ramas de la topología, incluida la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica. Otro nombre para la topología general es topología de conjuntos de puntos.

El objeto básico de estudio son los espacios topológicos, que son conjuntos dotados de una topología, es decir, una familia de subconjuntos, llamados conjuntos abiertos, que se cierra bajo intersecciones finitas y uniones (finitas o infinitas). Los conceptos fundamentales de topología, como continuidad, compacidad y conectividad, se pueden definir en términos de conjuntos abiertos. Intuitivamente, las funciones continuas llevan puntos cercanos a puntos cercanos. Los conjuntos compactos son aquellos que pueden ser cubiertos por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño. Los conjuntos conexos son conjuntos que no se pueden dividir en dos piezas que están muy separadas. Las palabras cercanas, arbitrariamente pequeñas y muy separadas.todos pueden hacerse precisos mediante el uso de conjuntos abiertos. Se pueden definir varias topologías en un espacio dado. Cambiar una topología consiste en cambiar la colección de conjuntos abiertos. Esto cambia qué funciones son continuas y qué subconjuntos son compactos o conectados.

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde la distancia entre dos puntos está definida por una función llamada métrica. En un espacio métrico, un conjunto abierto es una unión de discos abiertos, donde un disco abierto de radio r con centro en x es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a x es menor que r. Muchos espacios comunes son espacios topológicos cuya topología se puede definir mediante una métrica. Este es el caso de la recta real, el plano complejo, los espacios vectoriales reales y complejos y los espacios euclidianos. Tener una métrica simplifica muchas pruebas.

Topología algebraica

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra para estudiar espacios topológicos. El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicas que clasifiquen espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque normalmente la mayoría clasifica hasta la equivalencia homotópica.

Las más importantes de estas invariantes son los grupos de homotopía, la homología y la cohomología.

Aunque la topología algebraica usa principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible usar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite una prueba conveniente de que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.

Topología diferencial

La topología diferencial es el campo que trata con funciones diferenciables en variedades diferenciables. Está estrechamente relacionado con la geometría diferencial y juntos forman la teoría geométrica de las variedades diferenciables.

Más específicamente, la topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren solo una estructura suave en una variedad para ser definida. Las variedades suaves son "más blandas" que las variedades con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstrucciones para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura de Riemann son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad suave; es decir, uno puede "aplanar" suavemente ciertas variedades, pero podría requerir distorsionar el espacio y afectar la curvatura o el volumen.

Topología geométrica

La topología geométrica es una rama de la topología que se centra principalmente en variedades de baja dimensión (es decir, espacios de dimensiones 2, 3 y 4) y su interacción con la geometría, pero también incluye alguna topología de dimensión superior. Algunos ejemplos de temas en topología geométrica son la orientabilidad, las descomposiciones de manijas, la planitud local, el arrugamiento y el teorema de Schönflies plano y de dimensiones superiores.

En la topología de alta dimensión, las clases características son un invariante básico y la teoría de la cirugía es una teoría clave.

La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones: cada superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de 3 geometrías posibles: curvatura positiva/esférica, curvatura cero/plana y curvatura negativa/hiperbólica – y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones – cada 3-variedad se puede cortar en pedazos, cada uno de que tiene una de ocho geometrías posibles.

La topología bidimensional se puede estudiar como geometría compleja en una variable (las superficies de Riemann son curvas complejas): según el teorema de uniformización, cada clase conforme de métrica es equivalente a una única compleja, y la topología tetradimensional se puede estudiar desde el punto de vista de la geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no todos los 4-variedades admiten una estructura compleja.

Generalizaciones

Ocasionalmente, uno necesita usar las herramientas de topología pero no se dispone de un "conjunto de puntos". En la topología sin sentido, se considera, en cambio, la red de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, mientras que las topologías de Grothendieck son estructuras definidas en categorías arbitrarias que permiten la definición de haces en esas categorías, y con eso la definición de teorías generales de cohomología.

Aplicaciones

Biología

La topología se ha utilizado para estudiar varios sistemas biológicos, incluidas moléculas y nanoestructuras (p. ej., objetos membranosos). En particular, la topología de circuitos y la teoría de nudos se han aplicado ampliamente para clasificar y comparar la topología de proteínas plegadas y ácidos nucleicos. La topología de circuito clasifica las cadenas moleculares plegadas en función de la disposición por pares de sus contactos intracadena y cruces de cadena. La teoría de nudos, una rama de la topología, se usa en biología para estudiar los efectos de ciertas enzimas en el ADN. Estas enzimas cortan, retuercen y vuelven a conectar el ADN, provocando nudos con efectos observables, como una electroforesis más lenta. La topología también se usa en biología evolutiva para representar la relación entre el fenotipo y el genotipo.Las formas fenotípicas que parecen bastante diferentes pueden estar separadas por solo unas pocas mutaciones dependiendo de cómo los cambios genéticos se correspondan con los cambios fenotípicos durante el desarrollo. En neurociencia, las cantidades topológicas como la característica de Euler y el número de Betti se han utilizado para medir la complejidad de los patrones de actividad en las redes neuronales.

Ciencias de la Computación

El análisis de datos topológicos utiliza técnicas de topología algebraica para determinar la estructura a gran escala de un conjunto (por ejemplo, determinar si una nube de puntos es esférica o toroidal). El método principal utilizado por el análisis de datos topológicos es:

1. Reemplace un conjunto de puntos de datos con una familia de complejos simpliciales, indexados por un parámetro de proximidad.
2. Analice estos complejos topológicos a través de la topología algebraica, específicamente, a través de la teoría de la homología persistente.
3. Codifique la homología persistente de un conjunto de datos en forma de una versión parametrizada de un número Betti, que se denomina código de barras.

Varias ramas de la semántica del lenguaje de programación, como la teoría del dominio, se formalizan mediante la topología. En este contexto, Steve Vickers, basándose en el trabajo de Samson Abramsky y Michael B. Smyth, caracteriza los espacios topológicos como álgebras booleanas o de Heyting sobre conjuntos abiertos, que se caracterizan como propiedades semidecidibles (observables de forma equivalente y finita).

Física

La topología es relevante para la física en áreas como la física de la materia condensada, la teoría cuántica de campos y la cosmología física.

La dependencia topológica de las propiedades mecánicas en sólidos es de interés en disciplinas de ingeniería mecánica y ciencia de materiales. Las propiedades eléctricas y mecánicas dependen de la disposición y las estructuras de red de las moléculas y las unidades elementales de los materiales. La resistencia a la compresión de las topologías arrugadas se estudia en un intento de comprender la alta resistencia al peso de tales estructuras que son en su mayoría espacios vacíos. La topología tiene mayor importancia en la mecánica de contacto, donde la dependencia de la rigidez y la fricción de la dimensionalidad de las estructuras superficiales es objeto de interés con aplicaciones en la física de cuerpos múltiples.

Una teoría de campos cuánticos topológicos (o teoría de campos topológicos o TQFT) es una teoría de campos cuánticos que calcula invariantes topológicos.

Aunque los TQFT fueron inventados por físicos, también son de interés matemático y están relacionados, entre otras cosas, con la teoría de nudos, la teoría de cuatro variedades en topología algebraica y la teoría de espacios de módulos en geometría algebraica. Donaldson, Jones, Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por su trabajo relacionado con la teoría de campos topológicos.

La clasificación topológica de las variedades de Calabi-Yau tiene implicaciones importantes en la teoría de cuerdas, ya que diferentes variedades pueden sostener diferentes tipos de cuerdas.

En cosmología, la topología se puede utilizar para describir la forma general del universo. Esta área de investigación se conoce comúnmente como topología del espacio-tiempo.

Robótica

Las posiciones posibles de un robot pueden describirse mediante una variedad llamada espacio de configuración. En el área de planificación de movimiento, uno encuentra caminos entre dos puntos en el espacio de configuración. Estos caminos representan un movimiento de las articulaciones del robot y otras partes en la pose deseada.

Juegos y rompecabezas

Los rompecabezas de enredos se basan en aspectos topológicos de las formas y componentes del rompecabezas.

Arte de fibra

Para crear una unión continua de piezas en una construcción modular, es necesario crear un camino ininterrumpido en un orden que rodee cada pieza y atraviese cada borde solo una vez. Este proceso es una aplicación del camino euleriano.