Sector hiperbólico

A sector hiperbólico es una región del plano cartesiano atada por una hiperbola y dos rayos del origen a ella. Por ejemplo, los dos puntos ()a1/a) y ()b1/b) sobre la hiperbola rectangular xy = 1, o la región correspondiente cuando esta hiperbola se vuelve a escalar y su orientación se altera por una rotación que sale del centro en el origen, como con la unidad hiperbola. Un sector hiperbólico en posición estándar tiene a = 1 y b ■ 1.

Los sectores hiperbólicos son la base de las funciones hiperbólicos.

Área

El área de un sector hiperbólico en posición estándar es el logaritmo natural de b.

Prueba: integra bajo 1/x de 1 a b, suma el triángulo {(0, 0), (1, 0), (1, 1)}, y restar el triángulo {(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)} (ambos triángulos de que tienen la misma área).

Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico corresponde a un ángulo hiperbólico positivo en el origen, definiéndose la medida de este último como el área del primero.

Triángulo hiperbólico

Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico determina un triángulo hiperbólico, el triángulo derecho con un vértice en el origen, base en el rayo diagonal Sí.=x, y tercer vértice en el hiperbola

${displaystyle xy=1,,}$

siendo la hipotenusa el segmento desde el origen hasta el punto (x, y) en la hipérbola. La longitud de la base de este triángulo es

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y la altitud es

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donde u es el ángulo hiperbólico apropiado.

La analogía entre funciones circulares e hiperbólicas fue descrita por Augustus De Morgan en su Trigonometría y álgebra doble (1849). William Burnside usó tales triángulos, proyectando desde un punto en la hiperbola xy = 1 sobre la diagonal principal, en su artículo "Nota sobre el teorema de adición para funciones hiperbólicas".

Logaritmo hiperbólico

Se sabe que f(x) = x^p tiene una antiderivada algebraica excepto en el caso p = –1 correspondiente a la cuadratura de la hipérbola. Los demás casos vienen dados por la fórmula de cuadratura de Cavalieri. Mientras que Arquímedes había logrado la cuadratura de la parábola en el siglo III a. C. (en La cuadratura de la parábola), la cuadratura hiperbólica requirió la invención en 1647 de una nueva función: Gregoire de Saint-Vincent abordó el problema de calcular las áreas delimitadas por una hipérbola. Sus hallazgos llevaron a la función logaritmo natural, alguna vez llamada logaritmo hiperbólico ya que se obtiene integrando o encontrando el área debajo de la hipérbola.

Antes de 1748 y la publicación de Introducción al Análisis del Infinito, el logaritmo natural se conocía en términos del área de un sector hiperbólico. Leonhard Euler cambió eso cuando introdujo funciones trascendentales como 10^x. Euler identificó e como el valor de b que produce una unidad de área (bajo la hipérbola o en un sector hiperbólico en posición estándar). Entonces el logaritmo natural podría reconocerse como la función inversa a la función trascendental e^x.

Para acomodar el caso de los logaritmos negativos y los ángulos hiperbólicos negativos correspondientes, se construyen diferentes sectores hiperbólicos según si x es mayor o menos de uno. Un triángulo derecho variable con área 1/2 es ${displaystyle V={(x,1/x), (x,0), (0,0)}.}$ El caso isosceles es ${displaystyle T={(1,1), (1,0), (0,0)}.}$ El logaritmo natural es conocido como el área bajo Sí. 1/x entre uno y x. Un ángulo hiperbólico positivo es dado por el área de ${displaystyle int _{1}{x}{frac T-V.$ Un ángulo hiperbólico negativo es dado por el negativo de la zona ${displaystyle int _{x}{1}{frac V-T.$ Esta convención está de acuerdo con un logaritmo natural negativo x en (0,1).

Geometría hiperbólica

Cuando Felix Klein escribió su libro sobre geometría no euclidiana en 1928, proporcionó una base para el tema haciendo referencia a la geometría proyectiva. Para establecer una medida hiperbólica en una línea, señaló que el área de un sector hiperbólico proporcionaba una ilustración visual del concepto.

Los sectores hiperbólicos también se pueden dibujar a la hiperbola ${displaystyle Y... {1+x^{2}}}$. El área de estos sectores hiperbólicos se ha utilizado para definir la distancia hiperbólica en un libro de texto geométrico.