Richard Hamilton

Richard Streit Hamilton (nacido el 10 de enero de 1943) es un matemático estadounidense que se desempeña como profesor Davies de Matemáticas en la Universidad de Columbia. Es conocido por sus contribuciones al análisis geométrico y las ecuaciones diferenciales parciales. Hamilton es mejor conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría del flujo de Ricci y el desarrollo de un programa correspondiente de técnicas e ideas para resolver la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización en el campo de la topología geométrica. Grigori Perelman se basó en los resultados de Hamilton para probar las conjeturas y recibió el Premio del Milenio por su trabajo. Sin embargo, Perelman rechazó el premio, considerando que la contribución de Hamilton era igual a la suya.

Biografía

Hamilton recibió su B.A. en 1963 de la Universidad de Yale y Ph.D. en 1966 de la Universidad de Princeton. Robert Gunning supervisó su tesis. Ha enseñado en la Universidad de California, Irvine, la Universidad de California, San Diego, la Universidad de Cornell y la Universidad de Columbia.

Las contribuciones matemáticas de Hamilton se encuentran principalmente en el campo de la geometría diferencial y, más específicamente, en el análisis geométrico. Es mejor conocido por haber descubierto el flujo de Ricci e iniciar un programa de investigación que finalmente condujo a la prueba, por parte de Grigori Perelman, de la conjetura de geometrización de William Thurston y la conjetura de Poincaré.

Por su trabajo sobre el flujo de Ricci, Hamilton recibió el Premio Oswald Veblen de Geometría en 1996 y el Premio Clay de Investigación en 2003. Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1999 y de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 2003. También recibió el premio AMS Leroy P. Steele por su contribución fundamental a la investigación en 2009, por su artículo de 1982 Tres variedades con curvatura de Ricci positiva, en el que introdujo y analizó el flujo de Ricci. sup clase="nowrap">[H82b]

En marzo de 2010, el Instituto Clay de Matemáticas, después de haber incluido la conjetura de Poincaré entre sus Problemas del Premio del Milenio, otorgó a Perelman un millón de dólares por su prueba de la conjetura en 2003. En julio de 2010, Perelman rechazó el premio y el dinero del premio, diciendo que creía que su contribución a la demostración de la conjetura de Poincaré no era mayor que la de Hamilton, quien había desarrollado el programa para la solución.

En junio de 2011, se anunció que el Premio Shaw de un millón de dólares se dividiría en partes iguales entre Hamilton y Demetrios Christodoulou "por sus trabajos altamente innovadores sobre ecuaciones diferenciales parciales no lineales en geometría lorentziana y riemanniana y sus aplicaciones a la geometría general. relatividad y topología."

En 2022, Hamilton se incorporó a la Universidad de Hawai en Mānoa como profesor adjunto.

Trabajo matemático

Hasta 2022, Hamilton ha sido autor de cuarenta y seis artículos de investigación, alrededor de cuarenta de los cuales están en el campo de los flujos geométricos.

Desigualdades de Harnack para ecuaciones de calor

En 1986, Peter Li y Shing-Tung Yau descubrieron un nuevo método para aplicar el principio de máximo para controlar las soluciones de la ecuación del calor. Entre otros resultados, demostraron que si se tiene una solución positiva u de la ecuación del calor en una variedad de Riemann cerrada de curvatura de Ricci no negativa, entonces uno tiene

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}+{frac {u}{2t}}+2du(v)+u habitv habit_{g}^{2}geq 0}$

para cualquier vector tangente v. Estas desigualdades, conocidas como "desigualdades diferenciales de Harnack" o "desigualdades Li-Yau" son útiles ya que pueden integrarse a lo largo de rutas para comparar los valores de u en dos puntos del espacio-tiempo cualesquiera. También brindan directamente información puntual sobre u, tomando v será cero.

En 1993, Hamilton demostró que los cálculos de Li y Yau podían ampliarse para mostrar que su desigualdad diferencial de Harnack era consecuencia de una desigualdad matricial más fuerte.^[H93a] Su El resultado requirió que la variedad de Riemann cerrada tuviera una curvatura seccional no negativa y un tensor de Ricci paralelo (como el toro plano o la métrica de Fubini-Study en el espacio proyectivo complejo), en ausencia de los cuales obtuvo un resultado ligeramente más débil. Estas desigualdades matriciales se conocen a veces como desigualdades de Li-Yau-Hamilton.

Hamilton también descubrió que la metodología Li-Yau podría adaptarse al flujo de Ricci. En el caso de variedades bidimensionales, descubrió que el cálculo de Li y Yau se puede adaptar directamente a la curvatura escalar a lo largo del flujo de Ricci.^[H88] En dimensiones generales, demostró que el tensor de curvatura de Riemann satisface una desigualdad complicada, formalmente análoga a su extensión matricial de la desigualdad Li-Yau, en el caso de que el operador de curvatura no sea negativo.^[H93b] Como consecuencia algebraica inmediata, la curvatura escalar satisface una desigualdad casi idéntica a la de Li y Yau. Este hecho se utiliza ampliamente en el estudio posterior de Hamilton y Perelman sobre el flujo de Ricci.

Más tarde, Hamilton adaptó su estimación de Li-Yau para el flujo de Ricci a la configuración del flujo de curvatura media, que es ligeramente más simple ya que la geometría se rige por la segunda forma fundamental, que tiene una estructura más simple que el tensor de curvatura de Riemann. ^[H95c] El teorema de Hamilton, que requiere una convexidad estricta, es naturalmente aplicable a ciertas singularidades del flujo de curvatura media debido a las estimaciones de convexidad de Gerhard Huisken y Carlo Sinestrari.

Teorema de Nash-Moser

En 1956, John Nash resolvió el problema de incrustar suavemente isométricamente variedades de Riemann en el espacio euclidiano. El núcleo de su prueba fue una novedosa "pequeña perturbación" resultado, lo que muestra que si una métrica de Riemann podría integrarse isométricamente de cierta manera, entonces cualquier métrica de Riemann cercana también podría integrarse isométricamente. Tal resultado recuerda mucho a un teorema de función implícita, y muchos autores han intentado poner la lógica de la demostración en el marco de un teorema general. Estos teoremas se conocen ahora como teoremas de Nash-Moser.

En 1982, Hamilton publicó su formulación del razonamiento de Nash, colocando el teorema en el contexto de espacios domesticados de Fréchet; Hamilton resumió el uso fundamental de Nash de restringir la transformada de Fourier para regularizar funciones al establecer secuencias exponencialmente decrecientes en espacios de Banach.^[H82a] Su formulación ha sido ampliamente citado y utilizado en el momento posterior. Él mismo lo usó para demostrar un teorema general de existencia y unicidad para ecuaciones de evolución geométrica; el teorema de la función implícita estándar no suele aplicarse en tales entornos debido a las degeneraciones introducidas por la invariancia bajo la acción del grupo de difeomorfismo.^[H82b] En particular, la buena formulación de El flujo de Ricci se deriva del resultado general de Hamilton. Aunque Dennis DeTurck dio una prueba más simple en el caso particular del flujo de Ricci, el resultado de Hamilton se ha utilizado para algunos otros flujos geométricos para los cuales el método de DeTurck es inaccesible.

Flujo de calor del mapa armónico

En 1964, James Eells y Joseph Sampson iniciaron el estudio del flujo de calor en mapas armónicos, utilizando un teorema de convergencia para el flujo para mostrar que cualquier mapa suave desde una variedad cerrada a una variedad cerrada de curvatura no positiva se puede deformar a una variedad armónica. mapa. En 1975, Hamilton consideró el problema del valor límite correspondiente para este flujo, demostrando un resultado análogo al de Eells y Sampson para la condición de Dirichlet y la condición de Neumann.^[H75] El La naturaleza analítica del problema es más delicada en este contexto, ya que la aplicación clave de Eells y Sampson del principio de máximo a la fórmula parabólica de Bochner no puede llevarse a cabo de manera trivial, debido al hecho de que el tamaño del gradiente en el límite es no controlado automáticamente por las condiciones de contorno.

Al tomar los límites de las soluciones de Hamilton al problema del valor en la frontera para fronteras cada vez más grandes, Richard Schoen y Shing-Tung Yau observaron que un mapa de energía finita desde una variedad de Riemann completa hasta una variedad de Riemann cerrada de curvatura no positiva podría deformarse en un mapa armónico de energía finita. Al demostrar la extensión del teorema de desaparición de Eells y Sampson en varios entornos geométricos, pudieron sacar sorprendentes conclusiones geométricas, como que si (M, < i>g) es una variedad riemanniana completa de curvatura de Ricci no negativa, entonces, para cualquier conjunto abierto precompacto D con un límite suave y simplemente conectado, no puede existir un homomorfismo no trivial del grupo fundamental de D en cualquier grupo que sea el grupo fundamental de una variedad de Riemann cerrada de curvatura no positiva.

Flujo de curvatura media

En 1986, Hamilton y Michael Gage aplicaron el teorema de Nash-Moser de Hamilton y el resultado de la buena posición de las ecuaciones parabólicas para demostrar la buena posición del flujo de curvatura media; consideraron el caso general de una familia de inmersiones de un parámetro de una variedad cerrada en una variedad riemanniana suave.^[GH86] Luego, se especializaron en el caso de inmersiones del círculo. S¹ en el espacio euclidiano bidimensional ℝ², que es el contexto más simple para el flujo de acortamiento de curvas. Utilizando el principio de máximo aplicado a la distancia entre dos puntos en una curva, demostraron que si la inmersión inicial es una incrustación, entonces todas las inmersiones futuras en el flujo de curvatura media también son incrustaciones. Además, se conserva la convexidad de las curvas en el futuro.

El principal resultado de Gage y Hamilton es que, dada cualquier mezcla lisa S¹ → R² que es convexo, el flujo de curvatura media correspondiente existe para una cantidad finita de tiempo, y a medida que el tiempo se acerca a su valor máximo, las curvas asintomáticamente se vuelven cada vez más pequeñas y circulares.^[GH86] Hicieron uso de resultados anteriores de Gage, así como algunos resultados especiales para curvas, como la desigualdad de Bonnesen.

En 1987, Matthew Grayson demostró un resultado complementario, demostrando que para cualquier incrustación suave S¹ → ℝ^{2< /sup>}, el flujo de curvatura media correspondiente eventualmente se vuelve convexo. En combinación con el resultado de Gage y Hamilton, se tiene esencialmente una descripción completa del comportamiento asintótico del flujo de curvatura media de círculos incrustados en ℝ². Este resultado se conoce a veces como teorema de Gage-Hamilton-Grayson. Es algo sorprendente que exista un medio tan sistemático y geométricamente definido para deformar un bucle arbitrario en ℝ² en un círculo redondo.

La comprensión moderna de los resultados de Gage-Hamilton y de Grayson suele tratar ambos escenarios a la vez, sin la necesidad de demostrar que las curvas arbitrarias se vuelven convexas y estudiar por separado el comportamiento de las curvas convexas. Sus resultados también se pueden extender a configuraciones distintas al flujo de curvatura media.

Flujo de Ricci

Hamilton extendió el principio máximo para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas al establecimiento de 2 tensores simétricos que satisfacen una ecuación diferencial parcial parabólica.^[H82b] También puso esto en el Configuración general de una sección dependiente de parámetros de un haz de vectores sobre una variedad cerrada que satisface una ecuación de calor, dando formulaciones tanto fuertes como débiles.^[H86]

En parte debido a estos desarrollos técnicos fundamentales, Hamilton pudo brindar una comprensión esencialmente completa de cómo se comporta el flujo de Ricci en variedades tridimensionales cerradas de Riemann de curvatura de Ricci positiva^[H82b] y curvatura de Ricci no negativa^[H86], variedades riemannianas cerradas de cuatro dimensiones de operador de curvatura positiva o no negativa^[H86], y Variedades de Riemann cerradas bidimensionales de característica de Euler no positiva o de curvatura positiva^[H88]. En cada caso, después de las normalizaciones apropiadas, el flujo de Ricci deforma la métrica de Riemann dada a una de curvatura constante. Esto tiene corolarios inmediatos sorprendentemente simples, como el hecho de que cualquier 3-variedad cerrada y suave que admita una métrica de Riemann de curvatura positiva también admite una métrica de Riemann de curvatura seccional positiva constante. Estos resultados son notables porque restringen en gran medida la topología de tales variedades; Se comprenden en gran medida las formas espaciales de curvatura positiva. Hay otros corolarios, como el hecho de que el espacio topológico de las métricas de Riemann de curvatura de Ricci positiva en una variedad 3 suave y cerrada está conectado por caminos. Estos "teoremas de convergencia" de Hamilton han sido ampliados por autores posteriores, en la década de 2000, para dar una prueba del teorema de la esfera diferenciable, que había sido una conjetura importante en la geometría de Riemann desde la década de 1960.

En 1995, Hamilton amplió la teoría de la compacidad de Jeff Cheeger para variedades de Riemann para dar un teorema de compacidad para secuencias de flujos de Ricci.^[H95a] Dado un flujo de Ricci en una variedad cerrada con una singularidad de tiempo finito, Hamilton desarrolló métodos de reescalado alrededor de la singularidad para producir una secuencia de flujos de Ricci; la teoría de la compacidad asegura la existencia de un flujo de Ricci limitante, que modela la geometría a pequeña escala de un flujo de Ricci alrededor de un punto singular.^[H95b] Hamilton utilizó sus principios máximos para demostrar que, para cualquier flujo de Ricci en una variedad tridimensional cerrada, el valor más pequeño de la curvatura seccional es pequeño en comparación con su valor más grande. Esto se conoce como estimación de Hamilton-Ivey; es extremadamente significativo como desigualdad de curvatura que se cumple sin supuestos condicionales más allá de la tridimensionalidad. Una consecuencia importante es que, en tres dimensiones, un flujo de Ricci limitante producido por la teoría de la compacidad tiene automáticamente una curvatura no negativa.^[H95b] Como tal, la desigualdad de Harnack de Hamilton es aplicable a la limitación del flujo de Ricci. Estos métodos fueron ampliados por Grigori Perelman, quien debido a su "teorema del no colapso" Pudo aplicar la teoría de la compacidad de Hamilton en varios contextos amplios.

En 1997, Hamilton pudo combinar los métodos que había desarrollado para definir el "flujo de Ricci con la cirugía" para variedades riemannianas de cuatro dimensiones de curvatura isotrópica positiva.^[H97] Para flujos de Ricci con datos iniciales en esta clase, pudo clasificar las posibilidades para la geometría de pequeña escala alrededor puntos con gran curvatura y, por lo tanto, modificar sistemáticamente la geometría para continuar el flujo de Ricci. Como consecuencia, obtuvo un resultado que clasifica las variedades suaves de cuatro dimensiones que admiten métricas de Riemann de curvatura isotrópica positiva. Shing-Tung Yau ha descrito este artículo como el "evento más importante" en análisis geométrico en el período posterior a 1993, marcándolo como el punto en el que quedó claro que podría ser posible probar la conjetura de geometrización de Thurston mediante los métodos de flujo de Ricci. La cuestión esencial pendiente era llevar a cabo una clasificación análoga, para la geometría de pequeña escala alrededor de puntos de alta curvatura en flujos de Ricci en variedades tridimensionales, sin ninguna restricción de curvatura; la estimación de la curvatura de Hamilton-Ivey es análoga a la condición de curvatura isotrópica positiva. Esto fue resuelto por Grigori Perelman en su famoso "teorema de vecindades canónicas". A partir de este resultado, Perelman modificó la forma del procedimiento quirúrgico de Hamilton para definir un "flujo de Ricci con cirugía" dada una métrica de Riemann suave y arbitraria en una variedad tridimensional cerrada. Esto llevó a la resolución de la conjetura de geometrización en 2003.

Otro trabajo

En uno de sus primeros trabajos, Hamilton demostró el teorema del punto fijo de Earle-Hamilton en colaboración con Clifford Earle.^[EH70] En notas de conferencias inéditas de la década de 1980, Hamilton presentó el flujo Yamabe y demostró su larga existencia. En colaboración con Shiing-Shen Chern, Hamilton estudió ciertos problemas variacionales para métricas de Riemann en geometría de contacto. También hizo contribuciones al problema de la curvatura prescrita de Ricci.

Publicaciones principales

La colección

• Cao, H. D.; Chow, B.; Chu, S. C.; Yau, S. T., eds. (2003). Documentos recogidos sobre el flujo de Ricci. Serie en Geometría y Topología. Vol. 37. Somerville, MA: International Prensa. ISBN 1-57146-110-8. MR 2145154. Zbl 1108.53002.

contiene doce artículos de Hamilton sobre el flujo de Ricci, además de diez artículos relacionados de otros autores.