Repdígito

En matemáticas recreativas, un repdigit o, a veces, monodigit es un número natural compuesto de instancias repetidas del mismo dígito en un sistema numérico posicional (a menudo implícitamente decimal). La palabra es un acrónimo de repcomido y dígito. Los ejemplos son 11, 666, 4444 y 999999. Todos los repdigits son números palindrómicos y son múltiplos de repunits. Otros dígitos repetidos bien conocidos incluyen los números primos repunit y, en particular, los números primos de Mersenne (que son dígitos repetidos cuando se representan en binario).

Repdigits son la representación en base B{displaystyle B} del número xBSí.− − 1B− − 1{displaystyle x{frac {f}{B-1}} {f}}} {f}} {f}}}} {b}}}}}} {b}}}}}}} {b}}}} {f}}}} Donde <math alttext="{displaystyle 0<x0.x.B{displaystyle 0 Seguido 0<img alt="0<x es el dígito repetido y <math alttext="{displaystyle 11.Sí.{displaystyle 1<img alt="{displaystyle 1 es el número de repeticiones. Por ejemplo, el repdigit 77777 en la base 10 es 7× × 105− − 110− − 1{displaystyle 7times {frac}{5}{10-1}}}.

Una variación de repdigits llamada Números brasileños son números que se pueden escribir como un repdigit en alguna base, no permitiendo el repdigit 11, y no permitiendo los números de un solo dígito (o todos los números serán Brasileño). Por ejemplo, 27 es un número brasileño porque 27 es el dígito de referencia 33 en base 8, mientras que 9 no es un número brasileño porque su única representación de dígito de referencia es 11₈, no permitido en la definición de números brasileños. Las representaciones de la forma 11 se consideran triviales y no están permitidas en la definición de números brasileños, porque todos los números naturales n mayores que dos tienen la representación 11_{n − 1}. Los primeros veinte números brasileños son

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33... A125134 en el OEIS).

Historia

El concepto de repdígito se ha estudiado con ese nombre desde al menos 1974, y anteriormente Beiler (1966) los llamó "números de un solo dígito". Los números brasileños fueron introducidos más tarde, en 1994, en la IX Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas que tuvo lugar en Fortaleza, Brasil. El primer problema de esta competencia, propuesto por México, fue el siguiente:

Número n ■ 0 se llama "brasileño" si existe un entero b tales que 1 b. n – 1 para la cual la representación n en base b está escrito con todos los dígitos iguales. Demostrar que 1994 es brasileño y que 1993 no es brasileño.

Primos y repeticiones

Para que un dígito repetido sea primo, debe ser una repetición (es decir, el dígito repetido es 1) y tener un número primo de dígitos en su base (excepto números triviales de un solo dígito), ya que, por ejemplo, el dígito repetido 77777 es divisible por 7, en cualquier base > 7. En particular, como las cuentas brasileñas no permiten que el número de dígitos sea exactamente dos, los primos brasileños deben tener un número impar de dígitos. Tener un número primo impar de dígitos no es suficiente para garantizar que una repunit sea primo; por ejemplo, 21 = 111₄ = 3 × 7 y 111 = 111₁₀ = 3 × 37 no son números primos. En cualquier base b dada, cada repunit primo en esa base con la excepción de 11_b (si es primo) es un primo brasileño. Los primos brasileños más pequeños son

7 = 111₂, 13 = 111₃, 31 = 11111₂ = 111₅, 43 = 111₆, 73 = 111₈, 127 = 1111111₂, 157 = 111₁₂,... A085104 en el OEIS)

Mientras que la suma de los recíprocos de los números primos es una serie divergente, la suma de los recíprocos de los números primos brasileños es una serie convergente cuyo valor, denominado "constante de los primos brasileños", es ligeramente mayor que 0,33 (secuencia A306759 en el OEIS). Esta convergencia implica que los números primos brasileños forman una fracción muy pequeña de todos los números primos. Por ejemplo, entre los 3,7×10¹⁰ números primos por debajo de 10¹², solo 8,8×10⁴ son brasileños.

Los primos de la repunidad decimal tienen la forma Rn=10n− − 19conn≥ ≥ 3{displaystyle ¿Qué? {mbox{with }ngeq 3} para los valores n enumeradas en OEIS: A004023. Se ha conjeturado que hay infinitamente muchos primos de repunidad decimal. Los representantes binarios son los números Mersenne y los primos de la reputación binaria son los primos de Mersenne.

Se desconoce si hay infinitos números primos brasileños. Si la conjetura de Bateman-Horn es cierta, entonces por cada número primo de dígitos existirían infinitos números primos con ese número de dígitos (y, en consecuencia, infinitos números primos brasileños). Alternativamente, si hay un número infinito de números primos decimales repunit, o un número infinito de números primos de Mersenne, entonces hay un número infinito de números primos brasileños. Debido a que una fracción muy pequeña de números primos son brasileños, hay infinitos números primos no brasileños, que forman la secuencia

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53... A220627 en el OEIS)

Si un número de Fermat Fn=22n+1{displaystyle F_{n}=2^{2^{n}+1} es primo, no es brasileño, pero si es compuesto, es brasileño. Contradiciendo una conjetura anterior, Resta, Marcus, Grantham y Graves encontraron ejemplos de Sophie Germain primos que son brasileños, el primero es 28792661 = 11111₇₃.

Compuestos no brasileños y potencias repunit

Los únicos números enteros positivos que no pueden ser brasileños son 1, 6, los números primos y los cuadrados de los números primos, ya que cualquier otro número es el producto de dos factores x e y con 1 < x < y − 1, y se puede escribir como xx en base y − 1. Si un cuadrado de un número primo p² es brasileño, entonces el primo p debe satisfacer la ecuación diofántica

El matemático noruego Trygve Nagell ha demostrado que esta ecuación tiene una sola solución cuando p es primo correspondiente a (p, b, q) = (11, 3, 5). Por lo tanto, el único número primo al cuadrado que es brasileño es 11² = 121 = 11111₃. También hay un cuadrado de repetición no trivial más, la solución (p, b, q) = (20, 7, 4) correspondiente a 20 ² = 400 = 1111₇, pero no es excepcional respecto a la clasificación de los números brasileños porque 20 no es primo.

Las potencias perfectas que son repunits con tres dígitos o más en alguna base b son descritas por la ecuación diofántica de Nagell y Ljunggren

Yann Bugeaud y Maurice Mignotte conjeturan que solo tres potencias perfectas son retribuciones brasileñas. Son 121, 343 y 400 (secuencia A208242 en el OEIS), los dos cuadrados enumerados arriba y el cubo 343 = 7³ = 111 ₁₈.

K-Números brasileños

• El número de formas tales que n Brasil está en OEIS: A220136. Por lo tanto, existen números que no son brasileños y otros que son brasileños; entre estos últimos enteros, algunos son una vez brasileños, otros son dos veces brasileños, o tres veces, o más. Un número que es k tiempos brasileños se llama k-Brazilian number.

• Números no brasileños o 0- Números brasileños están constituidos con 1 y 6, junto con algunos primos y algunos cuadrados de primos. La secuencia de los números no brasileños comienza con 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25,... A220570 en el OEIS).

• La secuencia de 1- Números brasileños se compone de otros primos, la única plaza de primo que es brasileño, 121, y números compuestos ≥ 8 que son el producto de sólo dos factores distintos tal que n = a × b = aa_b–1 con 1 a. b – 1. (secuencia) A288783 en el OEIS).

• El 2- Números brasileños (secuencia) A290015 en el OEIS) consta de compuestos y sólo dos primos: 31 y 8191. De hecho, según la conjetura de Goormaghtigh, estos dos primeros son las únicas soluciones conocidas de la ecuación Diofantina:
  p=xm− − 1x− − 1=Sí.n− − 1Sí.− − 1{displaystyle p={frac {fnMicroc} {fnMicroc} {y} {y}} {y}} {y}} {y} {y}}} {y}} {y}} {y}} {y}}} {y}}}}} {y}}}} {y} {y}} {y}}} {}}}} {y}}}} {y}}}} {y}}}}} {y}}}}}}}}} {}}}}}} {y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {y} {y} {y}}}} {y}}}}}}}} {y}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {y}}}}} {y}}}} {y}}}} {y}}}}} {y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} con x, Sí." 1 " n, mØ 2
  • ()p,x,Sí.,m,n) = (31, 5, 2, 3, 5) correspondiente a 31 = 11111₂ = 111₅, y,
  • ()p,x,Sí.,m,n) = (8191, 90, 2, 3, 13) correspondiente a 8191 = 11111111111₂ = 111₉₀, con 1111111111111 es la repunidad con trece dígitos 1.

• Para cada secuencia de k- Números brasileños, existe un término más pequeño. La secuencia con estos más pequeños k- Los números brasileños comienzan con 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360... OEIS: A284758. Por ejemplo, 40 es el más pequeño 4-Brasilian number con 40 = 1111₃ = 55₇ = 44₉ = 22₁₉.

• En el Dictionnaire de nombres (presque) tous les entiers, Daniel Lignon propone que un entero es altamente brasileño si es un entero positivo con más representaciones brasileñas que cualquier entero positivo más pequeño tiene. Esta definición proviene de la definición de números altamente compuestos creados por Srinivasa Ramanujan en 1915. Los primeros números altamente brasileño son 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720, y están exactamente en OEIS: A329383. De 360 a 321253732800 (quizás más), hay 80 números sucesos altamente compuestos que también son números altamente brasileños, ver OEIS: A279930.