Relación asimétrica

En matemáticas, una relación asimétrica es una relación binaria en un conjunto donde para todo si está relacionado con entonces no está relacionado con

Definicion formal

Una relación binaria es cualquier subconjunto de Dada, escribe si y solo si , lo que significa que es una abreviatura de La expresión se lee como " está relacionada con " La relación binaria se llama asimétrica si para todo si es verdadera, entonces es falsa; es decir, si entonces Esto se puede escribir en la notación de lógica de primer orden como

Una definición lógicamente equivalente es:para todos al menos uno de y es falso,

que en lógica de primer orden se puede escribir como:

Un ejemplo de una relación asimétrica es la relación "menor que" <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ebb5b330e53c9b9af8e7d7c8e0590d3a5f631e" alt="{ estilo de visualización , entre números reales: si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb239de6fee56ea8b6a65f7858d95b87632069f" alt="xentonces necesariamente no es menor que La relación "menor o igual" por otro lado, no es asimétrica, porque invirtiendo por ejemplo, produce y ambos son verdadero. Asimetría no es lo mismo que "no simétrico": la relación menor o igual es un ejemplo de una relación que no es ni simétrica ni asimétrica. La relación vacía es la única relación que es (vacuamente) tanto simétrica como asimétrica.

Propiedades

• Una relación es asimétrica si y sólo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva.
• Las restricciones y los contrarios de las relaciones asimétricas también son asimétricas. Por ejemplo, la restricción de <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ebb5b330e53c9b9af8e7d7c8e0590d3a5f631e" alt="{ estilo de visualización , de los reales a los enteros sigue siendo asimétrica, y la inversa ,}">de <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ebb5b330e53c9b9af8e7d7c8e0590d3a5f631e" alt="{ estilo de visualización , también lo es.
• Una relación transitiva es asimétrica si y sólo si es irreflexiva: si y la transitividad da una irreflexividad contradictoria.
• En consecuencia, una relación es transitiva y asimétrica si y sólo si es un orden parcial estricto.
• No todas las relaciones asimétricas son órdenes parciales estrictos. Un ejemplo de una relación asimétrica no transitiva, incluso antitransitiva, es la relación piedra, papel o tijera: si late, entonces no late y si late y late, entonces no late.
• Una relación asimétrica no necesita tener la propiedad connex. Por ejemplo, la relación de subconjunto estricto es asimétrica, y ninguno de los conjuntos y es un subconjunto estricto del otro. Una relación es conexa si y sólo si su complemento es asimétrico.