Atractor

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En el campo matemático de los sistemas dinámicos, un atractor es un conjunto de estados hacia los cuales tiende a evolucionar un sistema, para una amplia variedad de condiciones iniciales del sistema. Los valores del sistema que se acercan lo suficiente a los valores del atractor permanecen cerca incluso si se alteran levemente.

En los sistemas de dimensión finita, la variable en evolución puede representarse algebraicamente como un vector de n dimensiones. El atractor es una región en el espacio n -dimensional. En sistemas físicos, las n dimensiones pueden ser, por ejemplo, dos o tres coordenadas posicionales para cada una o más entidades físicas; en los sistemas económicos, pueden ser variables separadas, como la tasa de inflación y la tasa de desempleo.

Si la variable en evolución es bidimensional o tridimensional, el atractor del proceso dinámico puede representarse geométricamente en dos o tres dimensiones (como por ejemplo en el caso tridimensional representado a la derecha). Un atractor puede ser un punto, un conjunto finito de puntos, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado con una estructura fractal conocida como atractor extraño (ver atractor extraño a continuación). Si la variable es un escalar, el atractor es un subconjunto de la recta numérica real. Describir los atractores de los sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los logros de la teoría del caos.

Una trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna restricción especial excepto permanecer en el atractor, hacia adelante en el tiempo. La trayectoria puede ser periódica o caótica. Si un conjunto de puntos es periódico o caótico, pero el flujo en la vecindad se aleja del conjunto, el conjunto no es un atractor, sino que se denomina repelente (o repelente).

Motivación de los atractores

Un sistema dinámico generalmente se describe mediante una o más ecuaciones diferenciales o en diferencias. Las ecuaciones de un sistema dinámico dado especifican su comportamiento durante un corto período de tiempo. Para determinar el comportamiento del sistema durante un período más largo, a menudo es necesario integrar las ecuaciones, ya sea por medios analíticos o por iteración, a menudo con la ayuda de computadoras.

Los sistemas dinámicos en el mundo físico tienden a surgir de sistemas disipativos: si no fuera por alguna fuerza impulsora, el movimiento cesaría. (La disipación puede provenir de la fricción interna, las pérdidas termodinámicas o la pérdida de material, entre muchas causas). La disipación y la fuerza impulsora tienden a equilibrarse, eliminando los transitorios iniciales y asentando el sistema en su comportamiento típico. El subconjunto del espacio de fases del sistema dinámico correspondiente al comportamiento típico es el atractor, también conocido como sección atrayente o atraída.

Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son similares al concepto de atractor. Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo bajo la dinámica. Los atractores pueden contener conjuntos invariantes. Un conjunto límite es un conjunto de puntos tales que existe un estado inicial que termina arbitrariamente cerca del conjunto límite (es decir, de cada punto del conjunto) a medida que el tiempo tiende a infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que algunos puntos de un sistema converjan en un conjunto límite, pero diferentes puntos cuando se perturban ligeramente fuera del conjunto límite pueden ser eliminados y nunca regresar a la vecindad de el límite establecido.

Por ejemplo, el péndulo amortiguado tiene dos puntos invariantes: el punto x 0 de altura mínima y el punto x 1 de altura máxima. El punto x 0 también es un conjunto límite, ya que las trayectorias convergen en él; el punto x 1 no es un conjunto límite. Debido a la disipación debida a la resistencia del aire, el punto x 0 también es un atractor. Si no hubiera disipación, x 0 no sería un atractor. Aristóteles creía que los objetos se movían solo mientras eran empujados, lo cual es una formulación temprana de un atractor disipativo.

Se sabe que algunos atractores son caóticos (ver atractor extraño), en cuyo caso la evolución de dos puntos distintos del atractor da como resultado trayectorias exponencialmente divergentes, lo que complica la predicción cuando incluso el ruido más pequeño está presente en el sistema.

Definición matemática

Sea t el tiempo y sea f (t, •) una función que especifica la dinámica del sistema. Es decir, si a es un punto en un espacio de fase n -dimensional, que representa el estado inicial del sistema, entonces f (0, a) = a y, para un valor positivo de t, f (t, a) es el resultado de la evolución de este estado después de t unidades de tiempo. Por ejemplo, si el sistema describe la evolución de una partícula libre en una dimensión, entonces el espacio de fase es el plano R con coordenadas (x, v), donde x es la posición de la partícula, v es su velocidad, a = (x, v), y la evolución viene dada porf(t,(x,v))=(x+tv,v).

Un atractor es un subconjunto A del espacio de fase caracterizado por las siguientes tres condiciones:

Para cualquier vecindad abierta N de A, existe una constante positiva T tal que f (t, b) ∈ N para todo real t > T.

Dado que la cuenca de atracción contiene un conjunto abierto que contiene A, todo punto que esté lo suficientemente cerca de A es atraído por A. La definición de un atractor usa una métrica en el espacio de fase, pero la noción resultante generalmente depende solo de la topología del espacio de fase. En el caso de R, normalmente se utiliza la norma euclidiana.

Muchas otras definiciones de atractor ocurren en la literatura. Por ejemplo, algunos autores exigen que un atractor tenga medida positiva (evitando que un punto sea atractor), otros relajan el requisito de que B (A) sea una vecindad.

Tipos de atractores

Los atractores son porciones o subconjuntos del espacio de fase de un sistema dinámico. Hasta la década de 1960, se pensaba que los atractores eran subconjuntos geométricos simples del espacio de fase, como puntos, líneas, superficies y regiones simples del espacio tridimensional. En ese momento se conocían atractores más complejos que no pueden clasificarse como subconjuntos geométricos simples, como conjuntos topológicamente salvajes, pero se pensaba que eran anomalías frágiles. Stephen Smale pudo demostrar que su mapa de herradura era robusto y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor.

Dos atractores simples son un punto fijo y el ciclo límite. Los atractores pueden adoptar muchas otras formas geométricas (subconjuntos de espacio de fase). Pero cuando estos conjuntos (o los movimientos dentro de ellos) no pueden describirse fácilmente como combinaciones simples (p. ej., intersección y unión) de objetos geométricos fundamentales (p. ej., líneas, superficies, esferas, toroides, variedades), entonces el atractor se denomina atractor extraño.

Punto fijo

Un punto fijo de una función o transformación es un punto que la función o transformación asigna a sí mismo. Si consideramos la evolución de un sistema dinámico como una serie de transformaciones, entonces puede haber o no un punto que permanece fijo bajo cada transformación. El estado final hacia el que evoluciona un sistema dinámico corresponde a un punto fijo de atracción de la función de evolución de ese sistema, como la posición inferior central de un péndulo amortiguado, el nivel y la línea de flotación plana del agua que se desborda en un vaso, o el fondo el centro de un cuenco contiene una canica rodante. Pero los puntos fijos de un sistema dinámico no son necesariamente un atractor del sistema. Por ejemplo, si el tazón que contiene una canica rodante se invirtió y la canica se equilibró sobre el tazón, la parte inferior central (ahora la parte superior) del tazón es un estado fijo, pero no un atractor. Esto es equivalente a la diferencia entre equilibrios estables e inestables. En el caso de una canica encima de un cuenco invertido (una colina), ese punto en la parte superior del cuenco (colina) es un punto fijo (equilibrio), pero no un atractor (equilibrio inestable).

Además, los sistemas físicos dinámicos con al menos un punto fijo invariablemente tienen múltiples puntos fijos y atractores debido a la realidad de la dinámica en el mundo físico, incluida la dinámica no lineal de la fricción estática, la fricción, la rugosidad de la superficie, la deformación (tanto elástica como plástica), e incluso la mecánica cuántica. En el caso de una canica encima de un cuenco invertido, incluso si el cuenco parece perfectamente hemisférico y la forma esférica de la canica, son superficies mucho más complejas cuando se examinan bajo un microscopio, y sus formas cambian o se deforman durante el contacto. Se puede ver que cualquier superficie física tiene un terreno accidentado de múltiples picos, valles, puntos de silla de montar, crestas, barrancos y llanuras.Hay muchos puntos en este terreno superficial (y el sistema dinámico de una canica rugosa similar que rueda sobre este terreno microscópico) que se consideran puntos estacionarios o fijos, algunos de los cuales se clasifican como atractores.

Número finito de puntos

En un sistema de tiempo discreto, un atractor puede tomar la forma de un número finito de puntos que se visitan en secuencia. Cada uno de estos puntos se llama punto periódico. Esto se ilustra con el mapa logístico, que dependiendo del valor de su parámetro específico puede tener un atractor que consta de 1 punto, 2 puntos, 2 puntos, 3 puntos, 3 × 2 puntos, 4 puntos, 5 puntos o cualquier número entero positivo dado. de puntos

Ciclo límite

Un ciclo límite es una órbita periódica de un sistema dinámico continuo que está aislado. Se trata de un atractor cíclico. Los ejemplos incluyen las oscilaciones de un reloj de péndulo y los latidos del corazón mientras descansa. El ciclo límite de un péndulo ideal no es un ejemplo de atractor de ciclo límite porque sus órbitas no están aisladas: en el espacio de fase del péndulo ideal, cerca de cualquier punto de una órbita periódica hay otro punto que pertenece a una órbita periódica diferente, por lo que la órbita anterior no atrae. Para un péndulo físico bajo fricción, el estado de reposo será un atractor de punto fijo. La diferencia con el reloj de péndulo es que allí se inyecta energía por el mecanismo de escape para mantener el ciclo.

Retrato de fase de Van der Pol: un ciclo límite atractivo

Limitar toroide

Puede haber más de una frecuencia en la trayectoria periódica del sistema a través del estado de un ciclo límite. Por ejemplo, en física, una frecuencia puede dictar la velocidad a la que un planeta orbita alrededor de una estrella, mientras que una segunda frecuencia describe las oscilaciones en la distancia entre los dos cuerpos. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, son inconmensurables), la trayectoria deja de ser cerrada y el ciclo límite se convierte en un toro límite. Este tipo de atractor se llama N t -torus si hay N t frecuencias desproporcionadas. Por ejemplo, aquí hay un 2-torus:

Toro.png

Una serie de tiempo correspondiente a este atractor es una serie cuasiperiódica: una suma discretamente muestreada de N t funciones periódicas (no necesariamente ondas sinusoidales) con frecuencias desproporcionadas. Tal serie de tiempo no tiene una periodicidad estricta, pero su espectro de potencia aún consiste solo en líneas nítidas.

Atractor extraño

Un atractor se llama extraño si tiene una estructura fractal. Este suele ser el caso cuando la dinámica en él es caótica, pero también existen extraños atractores no caóticos. Si un atractor extraño es caótico y muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales, entonces dos puntos iniciales alternativos arbitrariamente cercanos en el atractor, después de cualquiera de varios números de iteraciones, conducirán a puntos que están arbitrariamente separados (sujeto a los límites del atractor). atractor), y después de cualquiera de varios otros números de iteraciones conducirá a puntos que están arbitrariamente cerca unos de otros. Así, un sistema dinámico con un atractor caótico es localmente inestable pero globalmente estable: una vez que algunas secuencias han entrado en el atractor, los puntos cercanos divergen entre sí pero nunca se apartan del atractor.

El término atractor extraño fue acuñado por David Ruelle y Floris Takens para describir el atractor resultante de una serie de bifurcaciones de un sistema que describe el flujo de fluidos. Los atractores extraños a menudo son diferenciables en algunas direcciones, pero algunos son como un polvo de Cantor y, por lo tanto, no son diferenciables. También se pueden encontrar atractores extraños en presencia de ruido, donde se puede demostrar que respaldan medidas de probabilidad aleatorias invariantes del tipo Sinai-Ruelle-Bowen.

Los ejemplos de atractores extraños incluyen el atractor de doble desplazamiento, el atractor de Hénon, el atractor de Rössler y el atractor de Lorenz.

Los atractores caracterizan la evolución de un sistema.

Los parámetros de una ecuación dinámica evolucionan a medida que se itera la ecuación, y los valores específicos pueden depender de los parámetros iniciales. Un ejemplo es el bien estudiado mapa logístico {displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}, cuyas cuencas de atracción para varios valores del parámetro r se muestran en la figura. Si, todos los valores { estilo de visualización r = 2,6}iniciales de xx<0 conducirán rápidamente a valores de función que van a infinito negativo; los valores iniciales de xx>1 también irán a infinito negativo. Pero para 0<x<1los valores de x convergen rápidamente a { estilo de visualización x  aproximadamente 0,615}, es decir, en este valor de r, un solo valor de x es un atractor para el comportamiento de la función. Para otros valores de r, se puede visitar más de un valor de x: si r es 3,2, los valores iniciales de 0<x<1conducirán a valores de función que alternan entre { estilo de visualización x  aproximadamente 0,513}y { estilo de visualización x  aproximadamente 0,799}. En algunos valores de r, el atractor es un solo punto (un "punto fijo"), en otros valores de r, dos valores de x se visitan a la vez (una bifurcación que duplica el período) o, como resultado de una mayor duplicación, cualquier número k × 2 valores de x; en otros valores más de r, cualquier número dado de valores de x se visita a su vez; finalmente, para algunos valores de r, se visitan una infinidad de puntos. Así, una misma ecuación dinámica puede tener varios tipos de atractores, según sus parámetros de partida.

Cuencas de atracción

La cuenca de atracción de un atractor es la región del espacio de fase, sobre el cual se definen las iteraciones, de modo que cualquier punto (cualquier condición inicial) en esa región se repetirá asintóticamente en el atractor. Para un sistema lineal estable, cada punto en el espacio de fase está en la cuenca de atracción. Sin embargo, en los sistemas no lineales, algunos puntos se pueden mapear directa o asintóticamente hasta el infinito, mientras que otros puntos pueden estar en una cuenca de atracción diferente y se mapean asintóticamente en un atractor diferente; otras condiciones iniciales pueden estar en o mapear directamente en un punto o ciclo de no atracción.

Ecuación o sistema lineal

Una ecuación lineal en diferencias de una sola variable (univariante) de la forma homogénea x_t=ax_{t-1}diverge hasta el infinito si | un | > 1 desde todos los puntos iniciales excepto 0; no hay atractor y por lo tanto no hay cuenca de atracción. Pero si | un | < 1 todos los puntos en la recta numérica se asignan asintóticamente (o directamente en el caso de 0) a 0; 0 es el atractor, y toda la recta numérica es la cuenca de atracción.

Asimismo, una ecuación en diferencia de matriz lineal en un vector dinámico X, de la forma homogénea X_t=AX_{t-1}en términos de la matriz cuadrada A tendrá todos los elementos del vector dinámico divergentes hasta el infinito si el valor propio más grande de A es mayor que 1 en valor absoluto; no hay atractor ni cuenca de atracción. Pero si el valor propio más grande es menor que 1 en magnitud, todos los vectores iniciales convergerán asintóticamente al vector cero, que es el atractor; todo el espacio n -dimensional de vectores iniciales potenciales es la cuenca de atracción.

Características similares se aplican a las ecuaciones diferenciales lineales. La ecuación escalar dx/dt =axhace que todos los valores iniciales de x, excepto cero, diverjan hasta el infinito si a > 0, pero convergen en un atractor en el valor 0 si a < 0, lo que hace que toda la recta numérica sea la cuenca de atracción para 0. Y el sistema matricial dX/dt=AXda divergencia desde todos los puntos iniciales excepto el vector de ceros si cualquier valor propio de la matriz A es positivo; pero si todos los valores propios son negativos, el vector de ceros es un atractor cuya cuenca de atracción es todo el espacio de fase.

Ecuación o sistema no lineal

Las ecuaciones o sistemas que no son lineales pueden dar lugar a una variedad más rica de comportamiento que los sistemas lineales. Un ejemplo es el método de Newton de iterar hasta la raíz de una expresión no lineal. Si la expresión tiene más de una raíz real, algunos puntos de partida para el algoritmo iterativo conducirán a una de las raíces asintóticamente y otros puntos de partida conducirán a otra. Las cuencas de atracción para las raíces de la expresión generalmente no son simples; no es simplemente que los puntos más cercanos a una raíz se mapeen allí, dando una cuenca de atracción que consta de puntos cercanos. Las cuencas de atracción pueden ser infinitas en número y arbitrariamente pequeñas. Por ejemplo, para la función f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12, las siguientes condiciones iniciales están en sucesivas cuencas de atracción:2.35287527 converge a 4;2.35284172 converge a −3;2.35283735 converge a 4;2.352836327 converge a −3;2.352836323 converge a 1.

El método de Newton también se puede aplicar a funciones complejas para encontrar sus raíces. Cada raíz tiene una cuenca de atracción en el plano complejo; estas cuencas se pueden mapear como en la imagen que se muestra. Como puede verse, la cuenca de atracción combinada de una raíz en particular puede tener muchas regiones desconectadas. Para muchas funciones complejas, los límites de las cuencas de atracción son fractales.

Ecuaciones diferenciales parciales

Las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas pueden tener atractores de dimensión finita. La parte difusiva de la ecuación amortigua las frecuencias más altas y, en algunos casos, conduce a un atractor global. Se sabe que las ecuaciones de Ginzburg-Landau, Kuramoto-Sivashinsky y bidimensionales forzadas de Navier-Stokes tienen atractores globales de dimensión finita.

Para la ecuación de Navier-Stokes tridimensional e incompresible con condiciones de contorno periódicas, si tiene un atractor global, entonces este atractor será de dimensiones finitas.