Regularización de la función Zeta

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Método de summability en física

En matemáticas y física teórica, la regularización de funciones zeta es un tipo de método de regularización o sumabilidad que asigna valores finitos a sumas o productos divergentes y, en particular, se puede utilizar para definir determinantes y trazas de algunos operadores autoadjuntos. La técnica ahora se aplica comúnmente a problemas de física, pero tiene su origen en intentos de dar significados precisos a sumas mal condicionadas que aparecen en la teoría de números.

Definición

Existen varios métodos de suma diferentes llamados regularización de función zeta para definir la suma de una serie posiblemente divergente a₁ + a₂ +....

Un método es definir su suma regularizada zeta como ζ_A(−1) si esto está definido, donde la función zeta se define para Re(s) por

{displaystyle zeta _{A}(s)={frac {1}{a_{1}^{s}}}+{frac {1}{a_{2}^{s}}}+cdots }

si esta suma converge, y por continuación analítica en otros lugares.

En el caso en que a_n = n, la función zeta es la función zeta de Riemann ordinaria. Euler utilizó este método para "suma" la serie 1 + 2 + 3 + 4 +... a ζ(−1) = −1/12.

Hawking (1977) demostró que en un espacio plano, en el que se conocen los valores propios de los laplacianos, la función zeta correspondiente a la función de partición se puede calcular explícitamente. Considere un campo escalar φ contenido en una caja grande de volumen V en el espacio-tiempo plano a la temperatura T = β ^-1. La función de partición se define mediante una integral de ruta sobre todos los campos φ en el espacio euclidiano obtenido poniendo τ = it que son cero en las paredes. de la caja y que son periódicos en τ con periodo β. En esta situación, a partir de la función de partición calcula la energía, la entropía y la presión de la radiación del campo φ. En el caso de espacios planos, los valores propios que aparecen en las cantidades físicas son generalmente conocidos, mientras que en el caso de espacios curvos no se conocen: en este caso se necesitan métodos asintóticos.

Otro método define el producto infinito posiblemente divergente a₁a₂.... como exp (−ζ′_A(0)). Rayo y amp; Singer (1971) usó esto para definir el determinante de un operador autoadjunto positivo A (el laplaciano de una variedad de Riemann en su aplicación) con valores propios a₁, a₂,...., y en este caso la función zeta es formalmente la traza de A^−s. Minakshisundaram &amperio; Pleijel (1949) demostró que si A es el laplaciano de una variedad riemanniana compacta, entonces la función zeta de Minakshisundaram-Pleijel converge y tiene una continuación analítica como función meromorfa para todos los números complejos, y Seeley (1967) Extendió esto a operadores pseudodiferenciales elípticos A en variedades compactas de Riemann. Entonces, para tales operadores se puede definir el determinante utilizando la regularización de la función zeta. Ver "torsión analítica".

Hawking (1977) sugirió utilizar esta idea para evaluar integrales de trayectoria en espacios-tiempo curvos. Estudió la regularización de la función zeta para calcular las funciones de partición del gravitón térmico y los cuantos de materia en un fondo curvo, como en el horizonte de los agujeros negros y en el fondo de De Sitter, utilizando la relación mediante la transformación inversa de Mellin con la traza de El núcleo de las ecuaciones de calor.

Ejemplo

El primer ejemplo en el que está disponible la regularización de la función zeta aparece en el efecto Casimir, que se encuentra en un espacio plano con la mayor parte de las contribuciones del campo cuántico en tres dimensiones espaciales. En este caso debemos calcular el valor de la función zeta de Riemann en –3, que diverge explícitamente. Sin embargo, se puede continuar analíticamente hasta s = –3 donde, con suerte, no hay polo, dando así un valor finito a la expresión. Un ejemplo detallado de esta regularización en funcionamiento se da en el artículo sobre el ejemplo detallado del efecto Casimir, donde la suma resultante es muy explícitamente la función zeta de Riemann (y donde la continuación analítica aparentemente de prestidigitación elimina un infinito aditivo, dejando un espacio físico). número finito significativo).

Un ejemplo de regularización de la función zeta es el cálculo del valor esperado de vacío de la energía de un campo de partículas en la teoría cuántica de campos. De manera más general, el enfoque de la función zeta se puede utilizar para regularizar todo el tensor de energía-momento tanto en el espacio-tiempo plano como en el curvo. ^[1] ^[2] ^[3]

El valor no regulado de la energía viene dado por la suma de la energía del punto cero de todos los modos de excitación del vacío:

{displaystyle langle 0|T_{00}|0rangle =sum _{n}{frac {hbar |omega _{n}|}{2}}}

Aquí, ${displaystyle T_{00}}$ es el componente cero del tensor de energía-momentum y la suma (que puede ser una integral) se entiende que se extiende sobre todos los modos de energía (positivos y negativos) ${displaystyle omega _{n}}$ ; el valor absoluto que nos recuerda que la energía se toma para ser positiva. Esta suma, como está escrita, suele ser infinita ( ${displaystyle omega _{n}}$ es típicamente lineal en n). La suma puede regularizarse escribiéndola como

{displaystyle langle 0|T_{00}(s)|0rangle =sum _{n}{frac {hbar |omega _{n}|}{2}}|omega _{n}|^{-s}}

donde s es algún parámetro, considerado un número complejo. Para s reales grandes mayores que 4 (para el espacio tridimensional), la suma es manifiestamente finita y, por lo tanto, a menudo puede evaluarse teóricamente.

La regularización zeta es útil ya que a menudo se puede utilizar de manera que se conserven las diversas simetrías del sistema físico. La regularización de la función Zeta se utiliza en la teoría de campos conforme, la renormalización y para fijar la dimensión crítica del espacio-tiempo de la teoría de cuerdas.

Relación con otras regularizaciones

La regularización de la función Zeta es equivalente a la regularización dimensional, ver^[4]. Sin embargo, la principal ventaja de la regularización zeta es que se puede utilizar cuando la regularización dimensional falla, por ejemplo si hay matrices o tensores dentro de los cálculos ${displaystyle epsilon _{i,j,k}}$

Relación con la serie de Dirichlet

La regularización de la función Zeta proporciona una estructura analítica a cualquier suma sobre una función aritmética f(n). Estas sumas se conocen como series de Dirichlet. La forma regularizada

{displaystyle {tilde {f}}(s)=sum _{n=1}^{infty }f(n)n^{-s}}

convierte divergencias de la suma en polos simples en el plano complejo s. En cálculos numéricos, la regularización de la función zeta es inapropiada, ya que su convergencia es extremadamente lenta. Para propósitos numéricos, una suma que converge más rápidamente es la regularización exponencial, dada por

{displaystyle F(t)=sum _{n=1}^{infty }f(n)e^{-tn}.}

Esto a veces se denomina transformada Z de f, donde z = exp(−t). La estructura analítica de las regularizaciones exponencial y zeta está relacionada. Desarrollando la suma exponencial como una serie de Laurent

{displaystyle F(t)={frac {a_{N}}{t^{N}}}+{frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+cdots }

se encuentra que la serie zeta tiene la estructura

{displaystyle {tilde {f}}(s)={frac {a_{N}}{s-N}}+cdots.}

La estructura de los reguladores exponencial y zeta se relacionan mediante la transformada de Mellin. Uno se puede convertir en el otro haciendo uso de la representación integral de la función Gamma:

{displaystyle Gamma (s)=int _{0}^{infty }t^{s-1}e^{-t},dt}

que conduce a la identidad

{displaystyle Gamma (s){tilde {f}}(s)=int _{0}^{infty }t^{s-1}F(t),dt}

Relacionar los reguladores exponencial y zeta, y convertir los polos en el plano s en términos divergentes en la serie de Laurent.

Regularización del kernel de calor

La suma

{displaystyle f(s)=sum _{n}a_{n}e^{-s|omega _{n}|}}

a veces se llama núcleo de calor o a bóveda de calor; este nombre se deriva de la idea de que ${displaystyle omega _{n}}$ a veces se puede entender como eigenvalues del núcleo de calor. En matemáticas, tal suma se conoce como una serie Dirichlet generalizada; su uso para el promedio es conocido como un medio abeliano. Está estrechamente relacionado con la transformación de Laplace–Stieltjes, en eso

{displaystyle f(s)=int _{0}^{infty }e^{-st},dalpha (t)}

Donde ${displaystyle alpha (t)}$ es una función paso, con pasos de ${displaystyle a_{n}}$ a ${displaystyle t=|omega _{n}|}$ . Existen varios teoremas para la convergencia de tal serie. Por ejemplo, por el teorema Tauberiano Hardy-Littlewood, si ^[5]

{displaystyle L=limsup _{nto infty }{frac {log vert sum _{k=1}^{n}a_{k}vert }{|omega _{n}|}}}

entonces la serie para ${displaystyle f(s)}$ converge en el medio plano $L}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R ()s)■L{displaystyle Re (s)}L}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3d2bc851fe5b17707b87ca32986259d3f272c7" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.505ex; height:2.843ex;"/>$ y es convergente uniformemente en cada subconjunto compacto del medio plano $L}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R R ()s)■L{displaystyle Re (s)}L}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3d2bc851fe5b17707b87ca32986259d3f272c7" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.505ex; height:2.843ex;"/>$ . En casi todas las aplicaciones a la física, uno tiene ${displaystyle L=0}$

Historia

Gran parte de los primeros trabajos que establecieron la convergencia y equivalencia de series regularizadas con los métodos de regularización de función zeta y kernel de calor fueron realizados por G. H. Hardy y J. E. Littlewood en 1916^[6] y se basa en la aplicación de la integral de Cahen-Mellin. El esfuerzo se hizo con el fin de obtener valores para varias sumas condicionalmente convergentes y mal definidas que aparecen en la teoría de números.

En términos de aplicación como regulador en problemas físicos, antes de Hawking (1977), J. Stuart Dowker y Raymond Critchley en 1976 propusieron un método de regularización de función zieta para problemas físicos cuánticos.^[7] Emilio Elizalde y otros también han propuesto un método basado en la regularización zeta para las integrales ${displaystyle int _{a}^{infty }x^{m-s}dx}$ , aquí ${displaystyle x^{-s}}$ es un regulador y la parte divergente depende de los números ${displaystyle zeta (s-m)}$ en el límite ${displaystyle sto 0}$ ver renormalización. También a diferencia de otras regularizaciones, como la regularización dimensional y la regularización analítica, la regularización zieta no tiene contraterminas y sólo da resultados finitos.

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