Regla trapezoidal

En cálculo, la regla trapezoidal (también conocida como regla trapezoide o regla trapecio) es una técnica de integración numérica, es decir, aproximando la integral definida:

$${displaystyle int _{a} {b}f(x),dx.}$$

La regla trapezoidal funciona aproximándose a la región bajo el gráfico de la función ${displaystyle f(x)}$ como trapezoide y calculando su área. De ello se desprende que

$${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox (b-a)cdot {tfrac {1}{2}(f(a)+f(b)). }$$

La regla trapezoidal puede ser vista como el resultado obtenido por medio de las sumas izquierda y derecha Riemann, y a veces se define de esta manera. La integral puede ser aún mejor aproximada partiendo el intervalo de integración, aplicando la regla trapezoidal a cada subintervalo, y resumiendo los resultados. En la práctica, esta regla trapezoidal "chained" (o "composite") es generalmente lo que significa "integrarse con la regla trapezoidal". Vamos. ${displaystyle {x_{k}}}$ ser una partición de ${displaystyle [a,b]}$ tales que ${displaystyle a=x_{0} - No.$ y ${displaystyle Delta x_{k}}$ ser la longitud de la ${displaystyle k}$-a subintervalo (es decir, ${displaystyle Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$), entonces

$${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox sum ¿Por qué? Delta.$$

${displaystyle Delta x_{k}}$

${displaystyle Delta x,}$

${displaystyle Delta x}$

$$[displaystyle int _{a}{b}f(x),dxapprox {frac {Delta x}{2}}left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+ }$$

La aproximación se vuelve más precisa a medida que la resolución de la partición aumenta (es decir, para mayor ${displaystyle N}$, todos ${displaystyle Delta x_{k}}$ disminución).

Como se analiza a continuación, también es posible establecer límites de error en la precisión del valor de una integral definida estimada utilizando una regla trapezoidal.

Historia

Un artículo de Science de 2016 informa que la regla del trapezoide se usaba en Babilonia antes del 50 a. C. para integrar la velocidad de Júpiter a lo largo de la eclíptica.

Implementación numérica

Cuadrícula no uniforme

Cuando el espaciamiento de la cuadrícula no es uniforme, se puede utilizar la fórmula

$${displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox sum ¿Por qué? Delta.$$

${displaystyle Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$

Cuadrícula uniforme

Para un dominio discretizado en ${displaystyle N}$ Paneles igualmente espaciados, puede ocurrir una considerable simplificación. Vamos.

$${displaystyle Delta x_{k}=Delta x={frac {B-a}{N}}$$

$${displaystyle {begin{aligned}int _{a}{b}f(x),dx sensibleapprox {frac} {Delta x}{2}sum} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?$$

Análisis de errores

El error de la regla trapezoidal compuesta es la diferencia entre el valor de la integral y el resultado numérico:

$${displaystyle {text{E}=int _{a}{b}f(x),dx-{frac {b-a}{N}left[{f(a)+f(b) over 2}+sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Sí?$$

Existe un número ξ entre a y b, tal que

$${displaystyle {text{E}=-{frac {(b-a)}{12N^{2}}}f'(xi)}$$

De ello se deduce que si el integrando es cóncavo hacia arriba (y por lo tanto tiene una segunda derivada positiva), entonces el error es negativo y la regla trapezoidal sobreestima el valor verdadero. Esto también se puede ver en la imagen geométrica: los trapecios incluyen toda el área bajo la curva y se extienden sobre ella. De manera similar, una función cóncava hacia abajo produce una subestimación porque no se contabiliza el área debajo de la curva, pero ninguna se cuenta arriba. Si el intervalo de la integral que se aproxima incluye un punto de inflexión, el error es más difícil de identificar.

Una estimación del error asintótico para N → ∞ viene dada por

$${displaystyle {text{E}=-{frac {(b-a)}{12N^{2}}}{big [}f'(b)-f'(a){big ]}+O(N^{-3}). }$$

Se pueden utilizar varias técnicas para analizar el error, entre ellas:

1. Serie Fourier
2. Cálculo residual
3. Euler-Maclaurin summation formula
4. Interpolación polinomial

Se argumenta que la velocidad de convergencia de la regla trapezoidal refleja y puede utilizarse como una definición de las clases de suavidad de las funciones.

Prueba

Primero supongamos que ${displaystyle h={frac {B-a}{N}}$ y ${displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$. Vamos.

$${displaystyle g_{k}(t)={frac {1}{2}t [f(a_{k})+f(a_{k}+t)] ¿Qué?$$

${displaystyle Silenciog_{k}(h)$

${displaystyle [a_{k},a_{k}+h]$

$${displaystyle {dg_{k}over dt}={1over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1over 2}tcdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}}$$

$${displaystyle {d^{2}g_{k} over dt^{2}={1 over 2}tcdot f'(a_{k}+t).}$$

Ahora supongamos que ${displaystyle left habitf'(x)right sobrevivirleq left habitf'(xi)right sobrevivir,}$ que sostiene si ${displaystyle f}$ es suficientemente suave. A continuación, sigue que

$${displaystyle left habitf'(a_{k}+t)right remainleq f'(xi)}$$

${displaystyle -f''(xi)leq f'(a_{k}+t)leq f'(xi)}$

${displaystyle - ¿Qué?$

Desde ${displaystyle g_{k}=0}$ y ${displaystyle g_{k}(0)=0}$,

$${displaystyle int ¿Qué?$$

$${displaystyle int ¿Por qué?$$

Utilizando estos resultados, encontramos

$${displaystyle - ¿Qué?$$

$${displaystyle - ¿Qué?$$

Letting ${displaystyle t=h}$ Nos encontramos

$${displaystyle -{frac {xi)h^{3}{12}leq g_{k}(h)leq {frac {f'''(xi)h^{3}{12}}}}} {f}$$

Resumiendo todos los términos de error locales que encontramos

$${displaystyle sum ¿Qué? {b-a}{N}left[{f(a)+f(b) over 2}+sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ Bueno...$$

Pero también tenemos

$${displaystyle - ¿Qué? ¿Por qué?$$

$${displaystyle sum _{k=1}{N}{N}{frac {f''(xi)h^{3}{12}}={frac {f''''h^{3}N}{12}}}$$

para que

$${displaystyle -{frac {xi)h^{3}{12}leq {frac} {b-a}{N}left[{f(a)+f(b) over 2}+sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {b-a}{N}right)int_{a}{b}f(x)dxleq {frac {f'''(xi)h^{3} {12}}}}$$

Por lo tanto, el error total está limitado por

$${displaystyle {text{error}=int _{a}{b}f(x),dx-{frac {b-a}{N}left[{f(a)+f(b) over 2}+sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ [b-a}{N}right]={frac {f''''(xi)h^{3}N}{12}}={frac {f'''(xi) {3}{12N^{2}}}}}}$$

Funciones periódicas y pico

La regla trapezoidal converge rápidamente para funciones periódicas. Esta es una consecuencia fácil de la fórmula de summación Euler-Maclaurin, que dice que si ${displaystyle f}$ es ${displaystyle p}$ tiempos continuamente diferenciables con el período ${displaystyle T}$

$${displaystyle sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=int _{0}^{T}f(x),dx+sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ p/2rfloor }{frac {B_{2k}{(2k)}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}int ¿Por qué?$$

${displaystyle h:=T/N}$

${displaystyle {tilde {}_{p}}$

${displaystyle p}$

${displaystyle O(h^{p}}$

Un efecto similar está disponible para funciones tipo pico, como Gaussianas, Gaussianas exponencialmente modificadas y otras funciones con derivadas en límites de integración que pueden despreciarse. La evaluación de la integral completa de una función gaussiana mediante la regla trapezoidal con una precisión del 1% se puede realizar utilizando solo 4 puntos. La regla de Simpson requiere 1,8 veces más puntos para lograr la misma precisión.

Aunque se ha hecho algún esfuerzo para extender la fórmula de summación Euler-Maclaurin a dimensiones superiores, la prueba más directa de la rápida convergencia de la regla trapezoidal en dimensiones superiores es reducir el problema a la convergencia de la serie Fourier. Esta línea de razonamiento muestra que si ${displaystyle f}$ es periódica en un ${displaystyle n}$- espacio dimensional con ${displaystyle p}$ derivados continuos, la velocidad de convergencia es ${displaystyle O(h^{p/d}}$. Para una dimensión muy grande, la integración Montecarlo es más probable que sea una mejor opción, pero para 2 y 3 dimensiones, el muestreo equiespacial es eficiente. Esto se explota en la física computacional del estado sólido donde el muestreo equipado sobre las células primitivas en la retícula se conoce como Integración Monkhorst-Pack.

"Rudo" funciones

Para las funciones que no están en C2, el error vinculado anteriormente no es aplicable. Sin embargo, se pueden derivar límites de errores para tales funciones difíciles, que normalmente muestran una convergencia más lenta con el número de evaluaciones de funciones ${displaystyle N}$ que el ${displaystyle O(N^{-2}}$ comportamiento dado anteriormente. Curiosamente, en este caso la regla trapezoidal a menudo tiene límites más agudos que la regla de Simpson para el mismo número de evaluaciones de funciones.

Aplicabilidad y alternativas

La regla trapezoidal pertenece a una familia de fórmulas de integración numérica llamadas fórmulas de Newton-Cotes, de las cuales la regla del punto medio es similar a la regla del trapezoide. La regla de Simpson es otro miembro de la misma familia y, en general, tiene una convergencia más rápida que la regla trapezoidal para funciones que son dos veces diferenciables de forma continua, aunque no en todos los casos específicos. Sin embargo, para varias clases de funciones más aproximadas (aquellas con condiciones de suavidad más débiles), la regla trapezoidal tiene una convergencia más rápida en general que la regla de Simpson.

Además, la regla trapezoidal tiende a volverse extremadamente precisa cuando las funciones periódicas se integran en sus períodos, que pueden analizarse de varias maneras. Un efecto similar está disponible para funciones máximas.

Sin embargo, para funciones no periódicas, los métodos con puntos espaciados desigualmente, como la cuadratura gaussiana y la cuadratura de Clenshaw-Curtis, son generalmente mucho más precisos; La cuadratura de Clenshaw-Curtis puede verse como un cambio de variables para expresar integrales arbitrarias en términos de integrales periódicas, punto en el que la regla trapezoidal se puede aplicar con precisión.

Ejemplo

Se da la siguiente integral:

$${displaystyle int _{0.1}{1.3}{5xe^{-2x}{dx}}}$$

Solución