Regla de votación de la mediana más alta

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La regla de votación con la mediana más alta son las reglas de votación cardinales, en las que el candidato ganador es el candidato con la calificación media más alta. Como estos emplean calificaciones, cada votante califica a los diferentes candidatos en una escala ordenada, numérica o verbal.

Las diversas reglas de la mediana más alta difieren en su tratamiento de los empates, es decir, el método de clasificar a los candidatos con la misma calificación mediana.

Los defensores de las reglas de la mediana más alta argumentan que reflejan fielmente la opinión del votante, que satisfacen la independencia de las alternativas irrelevantes y, al no ser boletas clasificadas, no entran dentro del alcance del teorema de imposibilidad de Arrow. Los críticos señalan que las reglas de la mediana más alta violan el criterio de Condorcet: en principio, un candidato puede ser elegido incluso si todos los votantes menos uno prefieren a otro candidato.

Definición y notación

Sea ${ matemáticas {C}}$ el conjunto de candidatos, ${ matemáticas {V}}$ el conjunto de votantes y ${ matemáticas {G}}$ un conjunto finito ordenado de calificaciones (por ejemplo, las siguientes calificaciones: "Muy bueno", "Bueno", "Normal", "Malo").

Para cualquier candidato ${displaystyle cin {mathcal {C}}}$ , $C$ la calificación mediana ${displaystyle alpha _{c}in {mathcal {G}}}$ es la calificación mediana entre las calificaciones que $C$ recibió de los votantes. Por ejemplo, si hay diez votantes y si el candidato $UN$ recibe tres calificaciones de "Bueno", seis calificaciones de "Promedio" y una calificación de "Malo", su calificación mediana ${ estilo de visualización alfa _ {A}}$ es "Promedio".

Si, para cualquier candidato ${displaystyle ineq c}$ , ${ estilo de visualización alfa _ {i} alfa _ {c}}$ , $C$ obtuvo una calificación mediana más alta que todos los demás candidatos y $C$ es elegido, independientemente de la regla de mediana más alta que se haya elegido.

Cuando diferentes candidatos comparten la misma calificación media, se requiere una regla de desempate. Esta regla de desempate caracteriza la regla mediana más alta en uso.

Las reglas de desempate a menudo hacen uso de dos estadísticas adicionales sobre $C$ las calificaciones de un candidato:

La proporción de proponentes de, señaló $ordenador personal}$ , que es la proporción de votantes que atribuyen $C$ una calificación superior a su mediana ${ estilo de visualización alfa _ {c}}$ . En el ejemplo anterior, las tres calificaciones "Buenas" están por encima $UN$ de la mediana de "Promedio", por lo que ${displaystyle p_{A}={frac {3}{10}}}$ .
La proporción de opositores a, señaló $q_{c}$ , que es la proporción de votantes que atribuyen $C$ una calificación inferior a su mediana ${ estilo de visualización alfa _ {c}}$ . En el ejemplo anterior, esto corresponde a la calificación "Mala", por lo que ${displaystyle q_{A}={frac {1}{10}}}$ .

Ejemplos

El juicio típico ordena a los candidatos según la mayor diferencia entre su parte de proponentes y opositores, es decir, según la fórmula: (los índices se omiten por simplicidad). En el ejemplo anterior, e identificando "Promedio" con la calificación, tenemos. ${ estilo de visualización d = alfa + pq}$ $C$ ${ estilo de visualización 0}$ ${displaystyle d_{A}=0+0.3-0.1=+0.2}$
El juicio habitual es la regla que se dice que ofrece las mejores propiedades, pero ordena los candidatos según una fórmula un poco más compleja: ${displaystyle n=alpha +{frac {1}{2}}{frac {pq}{1-pq}}}$ ; en comparación con el juicio típico, esto conduce a una diferencia de puntaje más prominente en pequeños cambios de número de defensores y opositores cuando la participación mediana es baja, ya que la ecuación se acerca a 0,5 tanto como se $pag$ aproxima $q$ a 0,5 (ninguno puede ser realmente 0,5, ya que el la mediana se encuentra en el punto medio por definición).
El juicio central ordena a los candidatos según la relación más alta entre las partes de los proponentes y los opositores, es decir según la fórmula: ${displaystyle s=alpha +{frac {1}{2}}{frac {pq}{p+q+epsilon }}}$ (donde $epsilon$ es un número arbitrariamente pequeño que simplemente permite que el denominador permanezca positivo); en comparación con el juicio típico, esto conduce a una diferencia de puntaje más prominente en pequeños cambios en el número de defensores y opositores cuando la participación mediana es alta, ya que la ecuación se acerca a 0,5 tanto como se $pag$ acerca $q$ a 0,5. De hecho, el juicio habitual ${ Displaystyle U (p, q)}$ es equivalente al juicio central ${displaystyle C(0.5-q,0.5-p)}$ .
El juicio de la mayoría considera al candidato que está más cerca de tener una calificación diferente a su mediana y desempata en base a esa calificación. Esto equivale a ordenar a los candidatos según su puntaje ${ estilo de visualización mj}$ , definido por la siguiente fórmula (el símbolo $mathbf{1}$ denota la función indicadora): q}p-mathbf {1} _{pleq q}q}">.
Las reglas de Bucklin están cerca de las reglas medianas más altas, pero se han desarrollado para reglas clasificadas. Ordenan los candidatos según la fórmula: ${ estilo de visualización b = alfa -q}$ . En una regla clasificatoria, esto es equivalente a contar primero los votos de primera elección. Si un candidato tiene la mayoría, ese candidato gana. De lo contrario, las segundas opciones se agregan a las primeras opciones. Si se encuentra un candidato con mayoría de votos, el ganador es el candidato con más votos acumulados. Las clasificaciones más bajas se agregan según sea necesario.
La votación de aprobación corresponde al caso degenerado donde solo hay dos calificaciones posibles: aprobación y desaprobación. En este caso particular, todas las reglas de desempate son equivalentes y se cumple el criterio de Condorcet.

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