Rectas tangentes a circunferencias

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En la geometría del plano euclidiano, una línea tangente a un círculo es una línea que toca el círculo exactamente en un punto, sin entrar nunca en el interior del círculo. Las líneas tangentes a los círculos forman el tema de varios teoremas y juegan un papel importante en muchas construcciones y demostraciones geométricas. Dado que la línea tangente a un círculo en un punto P es perpendicular al radio de ese punto, los teoremas que involucran líneas tangentes a menudo involucran líneas radiales y círculos ortogonales.

Rectas tangentes a una circunferencia

Una línea tangente t a un círculo C interseca al círculo en un solo punto T. A modo de comparación, las líneas secantes intersecan un círculo en dos puntos, mientras que otra línea puede no intersecar un círculo en absoluto. Esta propiedad de las líneas tangentes se conserva bajo muchas transformaciones geométricas, como escalas, rotaciones, traslaciones, inversiones y proyecciones de mapas. En lenguaje técnico, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de la recta tangente y el círculo, aunque la recta y el círculo se deformen.

El radio de un círculo es perpendicular a la línea tangente que pasa por su extremo en la circunferencia del círculo. Por el contrario, la perpendicular a un radio que pasa por el mismo extremo es una recta tangente. La figura geométrica resultante de círculo y línea tangente tiene una simetría de reflexión sobre el eje del radio.

No se puede trazar una línea tangente a través de un punto dentro de un círculo, ya que cualquier línea de este tipo debe ser una línea secante. Sin embargo, se pueden dibujar dos líneas tangentes a un círculo desde un punto P fuera del círculo. La figura geométrica de un círculo y ambas tangentes tiene igualmente una simetría de reflexión sobre el eje radial que une P con el centro O del círculo. Por tanto, las longitudes de los segmentos desde P hasta los dos puntos tangentes son iguales. Por el teorema de la secante-tangente, el cuadrado de esta longitud tangente es igual a la potencia del punto P en el círculo C. Esta potencia es igual al producto de las distancias desde Pa cualquiera de los dos puntos de intersección del círculo con una línea secante que pasa por P.

La línea tangente t y el punto tangente T tienen una relación conjugada entre sí, que se ha generalizado en la idea de puntos polares y líneas polares. La misma relación recíproca existe entre un punto P fuera del círculo y la secante que une sus dos puntos de tangencia.

Si un punto P es exterior a un círculo con centro O, y si las líneas tangentes desde P tocan el círculo en los puntos T y S, entonces ∠TPS y ∠TOS son suplementarios (suma de 180°).

Si se traza una cuerda TM desde el punto de tangencia T del punto exterior P y ∠PTM ≤ 90° entonces ∠PTM = (1/2)∠TOM.

Ecuación de la recta tangente con coordenada

Supongamos que la ecuación del círculo es $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$ con centro en $(a,b)$ . Entonces la recta tangente de la circunferencia en $(x_{1},y_{1})$ es ${displaystyle (x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0}$

Esto se puede probar tomando la derivada implícita del círculo.

Construcciones con compás y regla

Es relativamente sencillo construir una línea t tangente a un círculo en un punto T en la circunferencia del círculo:

Se traza una línea a desde O, el centro del círculo, a través del punto radial T;
La línea t es la línea perpendicular a a.

El teorema de Thales se puede usar para construir las líneas tangentes a un punto P externo al círculo C:

Se dibuja un círculo con centro en el punto medio del segmento de línea OP, que tiene un diámetro OP, donde O es nuevamente el centro del círculo C.
Los puntos de intersección T ₁ y T ₂ del círculo C y el nuevo círculo son los puntos tangentes para las líneas que pasan por P, por el siguiente argumento.

Los segmentos de recta OT ₁ y OT ₂ son radios del círculo C; como ambos están inscritos en un semicírculo, son perpendiculares a los segmentos de recta PT ₁ y PT ₂, respectivamente. Pero solo una línea tangente es perpendicular a la línea radial. Por lo tanto, las dos líneas desde P y que pasan por T ₁ y T ₂ son tangentes al círculo C.

Ilustración del teorema de la potencia de un punto

Otro método para construir las líneas tangentes a un punto P externo al círculo usando solo una regla:

Dibuja tres líneas diferentes a través del punto P dado que intersecan el círculo dos veces.
Sean $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ los seis puntos de intersección, con la misma letra correspondiente a la misma recta y el índice 1 correspondiente al punto más cercano a P.
Sea D el punto donde se cortan las rectas $A_{1}B_{2}$ y, $A_{2}B_{1}$
Del mismo modo E para las líneas $B_1C_2$ y $B_2C_1$ .
Dibuja una línea a través de D y E.
Esta línea se encuentra con el círculo en dos puntos, F y G.
Las tangentes son las rectas PF y PG.

Con geometría analítica

Sea ${ Displaystyle P = (a, b)}$ un punto de la circunferencia con ecuación $x^2+y^2=r^2$ . La tangente en $PAGS$ tiene ecuación ${displaystyle hacha+por=r^{2}}$ , porque $PAGS$ se encuentra en ambas curvas y ${displaystyle {vec {OP}}=(a,b)^{T}}$ es un vector normal de la línea. La tangente corta el eje x en el punto ${displaystyle P_{0}=(x_{0},0)}$ con ${displaystyle ax_{0}=r^{2}}$ .

Por el contrario, si uno comienza con el punto ${displaystyle P_{0}=(x_{0},0)}$ , entonces las dos tangentes que pasan por $P_{0}$ el círculo se cortan en los dos puntos ${displaystyle P_{1/2}=(a,b_{pm })}$ con ${displaystyle a={frac {r^{2}}{x_{0}}},qquad b_{pm }=pm {sqrt {r^{2}-a^{2}}} =pm {frac {r}{x_{0}}}{sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}quad }$ . Escrito en forma vectorial: ${displaystyle {binom {a}{b_{pm }}}={frac {r^{2}}{x_{0}}}{binom {1}{0}}pm {frac {r}{x_{0}}}{sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{binom {0}{1}}.}$

Si el punto ${displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ no está en el eje x: En la forma vectorial se reemplaza $x_{0}$ por la distancia ${displaystyled_{0}={sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}} }$ y los vectores unitarios base por los vectores unitarios ortogonales ${displaystyle {vec {e}}_{1}={frac {1}{d_{0}}}{binom {x_{0}}{y_{0}}}, {vec {e}}_{2}={frac {1}{d_{0}}}{binom {-y_{0}}{x_{0}}} }$ . Entonces las tangentes que pasan por el punto $P_{0}$ tocan el círculo en los puntos ${displaystyle {binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{binom {x_ {0}}{y_{0}}}pm {frac {r}{d_{0}^{2}}}{sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}} {binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$

Porque ${displaystyle d_{0}<r}$ no existen tangentes.Porque el ${displaystyle d_{0}=r}$ punto $P_{0}$ se encuentra en el círculo y solo hay una tangente con la ecuación ${displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$ .En caso de ${displaystyle d_{0}>r}$ que haya 2 tangentes con ecuaciones ${ estilo de visualización x_{1}x+y_{1}y=r^{2}, x_{2}x+y_{2}y=r^{2}}$ .

Relación con la inversión del círculo: La ecuación ${displaystyle ax_{0}=r^{2}}$ describe la inversión del círculo del punto $(x_{0},0)$ .

Relación con polo y polar: El polar del punto $(x_{0},0)$ tiene ecuación ${ estilo de visualización xx_ {0} = r ^ {2}}$ .

Polígonos tangenciales

Un polígono tangencial es un polígono cuyos lados son tangentes a un círculo particular, llamado incircunferencia. Todo triángulo es un polígono tangencial, como lo es todo polígono regular de cualquier número de lados; además, por cada número de lados de un polígono existe un número infinito de polígonos tangenciales no congruentes.

Teorema del cuadrilátero tangente y círculos inscritos

Un cuadrilátero tangencial ABCD es una figura cerrada de cuatro lados rectos que son tangentes a un círculo C dado. De manera equivalente, el círculo C está inscrito en el cuadrilátero ABCD. Por el teorema de Pitot, las sumas de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero son iguales, es decir, $overline{AB} + overline{CD} = overline{BC} + overline{DA}.$

Esta conclusión se sigue de la igualdad de los segmentos tangentes de los cuatro vértices del cuadrilátero. Denotemos los puntos tangentes como P (en el segmento AB), Q (en el segmento BC), R (en el segmento CD) y S (en el segmento DA). Los segmentos tangentes simétricos alrededor de cada punto de ABCD son iguales, por ejemplo, BP=BQ= b, CQ=CR= c, DR=DS= d y AS=AP= a. Pero cada lado del cuadrilátero se compone de dos segmentos tangentes $overline{AB} + overline{CD} = (a+b) + (c+d) = overline{BC} + overline{DA} = (b+c) + (d+a)$

demostrando el teorema.

Lo contrario también es cierto: se puede inscribir un círculo en cada cuadrilátero en el que las longitudes de los lados opuestos suman el mismo valor.

Este teorema y su inverso tienen varios usos. Por ejemplo, muestran inmediatamente que ningún rectángulo puede tener un círculo inscrito a menos que sea un cuadrado, y que todo rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un paralelogramo general no lo tiene.

Rectas tangentes a dos circunferencias

Para dos círculos, generalmente hay cuatro líneas distintas que son tangentes a ambos (bitangentes), si los dos círculos están uno fuera del otro, pero en casos degenerados puede haber cualquier número entre cero y cuatro líneas bitangentes; estos se abordan a continuación. Para dos de estas, las rectas tangentes exteriores, las circunferencias caen del mismo lado de la recta; para los otros dos, las rectas tangentes internas, los círculos caen en lados opuestos de la recta. Las rectas tangentes externas se cortan en el centro homotético externo, mientras que las rectas tangentes internas se cortan en el centro homotético interno. Tanto el centro homotético externo como el interno se encuentran en la línea de centros (la línea que conecta los centros de los dos círculos), más cerca del centro del círculo más pequeño: el centro interno está en el segmento entre los dos círculos, mientras que el centro exterior no está entre los puntos, sino fuera, del lado del centro del círculo menor. Si los dos círculos tienen el mismo radio, todavía hay cuatro bitangentes, pero las líneas tangentes externas son paralelas y no hay un centro externo en el plano afín; en el plano proyectivo, el centro homotético externo se encuentra en el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de estas líneas.

Tangente exterior

La línea roja que une los puntos $(x_3,y_3)$ y ${ estilo de visualización (x_ {4}, y_ {4})}$ es la tangente exterior entre los dos círculos. Dados los puntos ${ estilo de visualización (x_ {1}, y_ {1})}$ , ${ estilo de visualización (x_ {2}, y_ {2})}$ los puntos ${ estilo de visualización (x_ {3}, y_ {3})}$ se ${ estilo de visualización (x_ {4}, y_ {4})}$ pueden calcular fácilmente con la ayuda del ángulo $alfa$ : ${displaystyle {begin{alineado}x_{3}&=x_{1}pm rsin alpha \y_{3}&=y_{1}pm rcos alpha \x_{4 }&=x_{2}pm Rsen alpha \y_{4}&=y_{2}pm Rcos alpha \end{alineado}}}$

Aquí, R y r anotan los radios de los dos círculos y el ángulo $alfa$ se puede calcular usando trigonometría básica. Tienes ${ estilo de visualización alfa = gamma - beta}$ con ${displaystyle gamma =-arctan left({tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}right)}$ y ${displaystyle beta =pm arcsen left({tfrac {Rr}{sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1}) ^{2}}}}derecho)}$ .

Tangente interior

Una tangente interior es una tangente que corta el segmento que une los centros de dos círculos. Tenga en cuenta que la tangente interior no se definirá en los casos en que los dos círculos se superpongan.

Construcción

Las líneas bitangentes se pueden construir construyendo los centros homotéticos, como se describe en ese artículo, y luego construyendo las líneas tangentes a través del centro homotético que es tangente a un círculo, mediante uno de los métodos descritos anteriormente. La línea resultante también será tangente al otro círculo. Alternativamente, las líneas tangentes y los puntos tangentes se pueden construir más directamente, como se detalla a continuación. Tenga en cuenta que en casos degenerados estas construcciones se rompen; para simplificar la exposición, esto no se trata en esta sección, pero una forma de la construcción puede funcionar en casos límite (por ejemplo, dos círculos tangentes en un punto).

Ilustración de cómo construir un círculo (discontinuo) centrado en un punto P y ortogonal a un círculo dado

Geometría sintética

Sean O ₁ y O ₂ los centros de los dos círculos, C ₁ y C ₂ y sean r ₁ y r ₂ sus radios, siendo r ₁ > r ₂; en otras palabras, el círculo C ₁ se define como el mayor de los dos círculos. Se pueden usar dos métodos diferentes para construir las líneas tangentes externa e interna.tangentes externas

Se dibuja un nuevo círculo C ₃ de radio r ₁ − r ₂ centrado en O ₁. Usando el método anterior, se dibujan dos líneas desde O ₂ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, porque la situación corresponde a reducir ambos círculos C ₁ y C ₂ en una cantidad constante, r ₂, que reduce C ₂ a un punto. Se pueden dibujar dos líneas radiales desde el centro O ₁ a través de los puntos tangentes en C ₃; estos intersecan a C ₁ en los puntos tangentes deseados. Las líneas tangentes externas deseadas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que pueden construirse como se ha descrito anteriormente.tangentes internas

Se dibuja un nuevo círculo C ₃ de radio r ₁ + r ₂ con centro en O ₁. Usando el método anterior, se dibujan dos líneas desde O ₂ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, porque la situación corresponde a reducir C ₂ a un punto mientras se expande C ₁ en una cantidad constante, r ₂. Se pueden trazar dos líneas radiales desde el centro O ₁ a través de los puntos tangentes en C ₃; estos se cruzan C ₁en los puntos tangentes deseados. Las líneas tangentes internas deseadas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que pueden construirse como se ha descrito anteriormente.

Geometría analítica

Deje que los círculos tengan centros c ₁ = (x ₁, y ₁) y c ₂ = (x ₂, y ₂) con radio r ₁ y r ₂ respectivamente. Expresando una recta por la ecuación $hacha + por + c = 0,$ con la normalización a + b = 1, entonces una recta bitangente satisface:ax ₁ + por ₁ + c = r ₁ yhacha ₂ + por ₂ + c = r ₂.

Resolviendo $(a B C)$ restando el primero del segundo se obtieneun Δ x + segundo Δ y = Δ r

donde Δ x = x ₂ - x ₁, Δ y = y ₂ - y ₁ y Δ r = r ₂ - r ₁.

Si $d = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$ es la distancia de c ₁ a c ₂ podemos normalizar por X = Δ x / d, Y = Δ y / d y R = Δ r / d para simplificar las ecuaciones, dando las ecuaciones aX + bY = R y a + b = 1, resuelve esto para obtener dos soluciones (k = ±1) para las dos rectas tangentes externas:a = RX − kY √(1 − R)b = RY + kX √(1 − R)c = r ₁ − (eje ₁ + por ₁)

Geométricamente, esto corresponde a calcular el ángulo formado por las líneas tangentes y la línea de centros, y luego usarlo para rotar la ecuación de la línea de centros para obtener una ecuación para la línea tangente. El ángulo se calcula calculando las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo cuyos vértices son el centro homotético (externo), un centro de un círculo y un punto tangente; la hipotenusa se encuentra en la línea tangente, el radio es opuesto al ángulo y el lado adyacente se encuentra en la línea de centros.

(X, Y) es el vector unitario que apunta de c ₁ a c ₂, mientras que R es $cos theta$ donde $theta$ está el ángulo entre la línea de centros y una línea tangente. $sin theta$ es entonces $pm sqrt{1-R^2}$ (dependiendo del signo de $theta$ , equivalente a la dirección de rotación), y las ecuaciones anteriores son la rotación de (X, Y) $pm theta,$ usando la matriz de rotación: $begin{pmatrix}R & mpsqrt{1-R^2}\ pm sqrt{1-R^2} & Rend{pmatrix}$ k = 1 es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando de c ₁ a c ₂.k = −1 es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando de c ₂ a c ₁.

Lo anterior supone que cada círculo tiene un radio positivo. Si r ₁ es positivo y r ₂ negativo, entonces c ₁ estará a la izquierda de cada línea y c ₂ a la derecha, y las dos líneas tangentes se cruzarán. De esta manera se obtienen las cuatro soluciones. Los signos de conmutación de ambos radios cambian k = 1 y k = −1.

Vectores

En general los puntos de tangencia t ₁ y t ₂ para las cuatro rectas tangentes a dos circunferencias de centro v ₁ y v ₂ y radios r ₁ y r ₂ se obtienen resolviendo las ecuaciones simultáneas: $begin{align} (t_2 - v_2)cdot(t_2 - t_1) & = 0 \ (t_1 - v_1)cdot(t_2 - t_1) & = 0 \ (t_1 - v_1)cdot(t_1 - v_1) & = r_1^2 \ (t_2 - v_2)cdot(t_2 - v_2) & = r_2^2 \ end{alinear}$

Estas ecuaciones expresan que la recta tangente, que es paralela a, $t_2 - t_1,$ es perpendicular a los radios, y que los puntos tangentes se encuentran en sus respectivas circunferencias.

Estas son cuatro ecuaciones cuadráticas en dos variables vectoriales bidimensionales, y en posición general tendrán cuatro pares de soluciones.

Casos degenerados

Dos círculos distintos pueden tener entre cero y cuatro líneas bitangentes, según la configuración; estos se pueden clasificar en términos de la distancia entre los centros y los radios. Si se cuenta con multiplicidad (contando dos veces una tangente común) hay cero, dos o cuatro líneas bitangentes. Las líneas bitangentes también se pueden generalizar a círculos con radio negativo o cero. Los casos degenerados y las multiplicidades también pueden entenderse en términos de límites de otras configuraciones, por ejemplo, un límite de dos círculos que casi se tocan y uno se mueve para que se toquen, o un círculo con radio pequeño que se reduce a un círculo de radio cero..

Si los círculos están uno fuera del otro ( $d > r_1 + r_2$ ), que es la posición general, hay cuatro bitangentes.
Si se tocan externamente en un punto ( $d = r_1 + r_2$ ) – tienen un punto de tangencia externa – entonces tienen dos bitangentes externas y una bitangente interna, es decir, la tangente común. Esta línea tangente común tiene multiplicidad dos, ya que separa los círculos (uno a la izquierda, uno a la derecha) para cualquier orientación (dirección).
Si las circunferencias se intersecan en dos puntos ( $|r_1 - r_2| < re < r_1 + r_2$ ), entonces no tienen bitangentes internas y dos bitangentes externas (no se pueden separar, porque se intersecan, por lo tanto no tienen bitangentes internas).
Si los círculos se tocan internamente en un punto ( $d = |r_1 - r_2|$ ) – tienen un punto de tangencia interna – entonces no tienen bitangentes internas y una bitangente externa, a saber, la línea tangente común, que tiene multiplicidad de dos, como arriba.
Si un círculo está completamente dentro del otro ( ${displaystyle d<|r_{1}-r_{2}|}$ ), entonces no tienen bitangentes, ya que una línea tangente al círculo exterior no interseca al círculo interior o, por el contrario, una línea tangente al círculo interior es una línea secante al círculo exterior.

Finalmente, si los dos círculos son idénticos, cualquier tangente al círculo es una tangente común y, por lo tanto, bitangente (externa), por lo que hay un valor de bitangentes para un círculo.

Además, la noción de rectas bitangentes puede extenderse a círculos con radio negativo (el mismo lugar geométrico de los puntos, $x^2 + y^2 = (-r)^2,$ pero considerado "de adentro hacia afuera"), en cuyo caso si los radios tienen signo opuesto (un círculo tiene radio negativo y el otro tiene radio positivo). radio) los centros homotéticos externo e interno y los bitangentes externo e interno se intercambian, mientras que si los radios tienen el mismo signo (ambos radios positivos o ambos radios negativos) "externo" e "interno" tienen el mismo sentido habitual (al cambiar un signo se cambia ellos, por lo que cambiar ambos los vuelve a cambiar).

Las líneas bitangentes también se pueden definir cuando uno o ambos círculos tienen radio cero. En este caso, el círculo con radio cero es un punto doble y, por lo tanto, cualquier línea que lo atraviese interseca al punto con multiplicidad dos, por lo tanto, es "tangente". Si un círculo tiene radio cero, una línea bitangente es simplemente una línea tangente al círculo y que pasa por el punto, y se cuenta con multiplicidad de dos. Si ambos círculos tienen radio cero, entonces la recta bitangente es la recta que definen, y se cuenta con multiplicidad de cuatro.

Nótese que en estos casos degenerados el centro homotético externo e interno generalmente aún existen (el centro externo está en el infinito si los radios son iguales), excepto si los círculos coinciden, en cuyo caso el centro externo no está definido, o si ambos círculos tienen radio cero, en cuyo caso el centro interno no está definido.

Aplicaciones

Problema de correa

Las líneas tangentes internas y externas son útiles para resolver el problema de la correa, que consiste en calcular la longitud de una correa o cuerda necesaria para ajustarse perfectamente sobre dos poleas. Si se considera que la correa es una línea matemática de espesor despreciable, y si se supone que ambas poleas se encuentran exactamente en el mismo plano, el problema se reduce a sumar las longitudes de los segmentos de línea tangente relevantes con las longitudes de los arcos circulares subtendidos por el cinturón. Si el cinturón está enrollado alrededor de las ruedas para cruzarse, los segmentos de la línea tangente interior son relevantes. Por el contrario, si la correa se enrolla exteriormente alrededor de las poleas, los segmentos de línea tangente exterior son relevantes; este caso a veces se llama el problema de la polea.

Rectas tangentes a tres circunferencias: el teorema de Monge

Para tres círculos indicados por C ₁, C ₂ y C ₃, hay tres pares de círculos (C ₁C ₂, C ₂C ₃ y C ₁C ₃). Dado que cada par de círculos tiene dos centros homotéticos, hay seis centros homotéticos en total. Gaspard Monge demostró a principios del siglo XIX que estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, cada línea tiene tres puntos colineales.

Problema de Apolonio

Muchos casos especiales del problema de Apolonio implican encontrar un círculo que sea tangente a una o más líneas. El más simple de estos es construir círculos que sean tangentes a tres líneas dadas (el problema LLL). Para resolver este problema, el centro de cualquier círculo debe estar en la bisectriz de un ángulo de cualquier par de líneas; hay dos rectas que bisecan ángulos por cada intersección de dos rectas. Las intersecciones de estas bisectrices de ángulos dan los centros de los círculos solución. Hay cuatro círculos de este tipo en general, el círculo inscrito del triángulo formado por la intersección de las tres líneas y los tres círculos exscritos.

Un problema general de Apolonio se puede transformar en el problema más simple del círculo tangente a un círculo y dos líneas paralelas (en sí mismo un caso especial del caso especial LLC). Para lograr esto, basta con escalar dos de los tres círculos dados hasta que se toquen, es decir, sean tangentes. Una inversión en su punto tangente con respecto a un círculo de radio apropiado transforma los dos círculos dados que se tocan en dos líneas paralelas, y el tercer círculo dado en otro círculo. Por lo tanto, las soluciones se pueden encontrar deslizando un círculo de radio constante entre dos líneas paralelas hasta que haga contacto con el tercer círculo transformado. La reinversión produce las soluciones correspondientes al problema original.

Generalizaciones

El concepto de línea tangente a uno o más círculos se puede generalizar de varias maneras. Primero, la relación conjugada entre puntos tangentes y líneas tangentes se puede generalizar a puntos polares y líneas polares, en las que los puntos polares pueden estar en cualquier lugar, no solo en la circunferencia del círculo. En segundo lugar, la unión de dos círculos es un caso especial (reducible) de una curva plana cuártica, y las líneas tangentes externa e interna son las bitangentes de esta curva cuártica. Una curva cuártica genérica tiene 28 bitangentes.

Una tercera generalización considera círculos tangentes, en lugar de líneas tangentes; una línea tangente se puede considerar como un círculo tangente de radio infinito. En particular, las rectas tangentes externas a dos circunferencias son casos límite de una familia de circunferencias interna o externamente tangentes a ambas circunferencias, mientras que las rectas tangentes internas son casos límite de una familia de circunferencias internamente tangentes a una y externamente tangentes. al otro de los dos círculos.

En Möbius o geometría inversa, las líneas se ven como círculos a través de un punto "en el infinito" y para cualquier línea y cualquier círculo, existe una transformación de Möbius que se asigna una a la otra. En la geometría de Möbius, la tangencia entre una línea y un círculo se convierte en un caso especial de tangencia entre dos círculos. Esta equivalencia se amplía aún más en la geometría de la esfera de Lie.

El radio y la tangente son perpendiculares en un punto de un círculo e hiperbólico-ortogonales en un punto de la hipérbola unitaria. La representación paramétrica de la hipérbola unitaria a través del vector radio es ${displaystyle p(a) = (cosh a,sinh a).}$ La derivada de p (a) apunta en la dirección de la línea tangente en p (a), y es ${displaystyle {frac {dp}{da}} = (sinh a,cosh a).}$ El radio y la tangente son ortogonales hiperbólicos en a ya que ${displaystyle p(a) {text{y}} {frac {dp}{da}}}$ son reflejos uno del otro en el asíntota y=x de la hipérbola unitaria. Cuando se interpretan como números complejos divididos (donde jj = +1), los dos números satisfacen ${displaystyle jp(a) = {frac{dp}{da}}.}$