Poliedro

Un poliedro (plural poliedros) es cualquier forma geométrica y tridimensional compuesta por caras planas (polígonos), bordes rectos (aristas) y esquinas agudas o vértices. Es decir, un poliedro es la forma más básica que adoptan un conjunto de polígonos —caras planas— entrelazados por sus lados.

La palabra poliedro proviene del griego clásico poliedron (πολύεδρον), donde poli- (raíz de πολύς) que significa “muchos” se suma a -edro (forma de ἕδρα) que significa “base plana”, por lo que literalmente es una figura “con muchas caras planas” (o sea muchos polígonos).

Un poliedro es un ejemplo tridimensional del genérico “politopo” (múltiples planos) que existe en cualquier número de dimensiones, en este caso en tres dimensiones.

Un poliedro convexo es la suma de un número finito de ángulos agudos, no todos en el mismo plano, como por ejemplo los cubos o las pirámides, que son son ejemplos de poliedros convexos.

Definición

Los poliedros convexos están bien definidos, con varias definiciones estándar equivalentes. Sin embargo, la definición matemática formal de poliedros que no requieren ser convexos ha sido problemática. Se han dado muchas definiciones de "poliedro" dentro de contextos particulares, algunas más rigurosas que otras, y no existe un acuerdo universal sobre cuál elegir. Algunas de estas definiciones excluyen formas que a menudo se cuentan como poliedros (como los poliedros autocruzados) o incluyen formas que a menudo no se consideran poliedros válidos (como sólidos cuyos límites no son variedades). Como observó Branko Grünbaum,

"El Pecado Original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, ya través de Kepler, Poinsot, Cauchy y muchos otros... en cada etapa... los escritores no lograron definir qué son los poliedros".

Sin embargo, existe un acuerdo general de que un poliedro es un sólido o una superficie que puede describirse por sus vértices (puntos de esquina), aristas (segmentos de línea que conectan ciertos pares de vértices), caras (polígonos bidimensionales) y que a veces puede puede decirse que tiene un volumen interior tridimensional particular. Se pueden distinguir entre estas diferentes definiciones según describan el poliedro como un sólido, si lo describen como una superficie o si lo describen de manera más abstracta en función de su geometría de incidencia.

• Una definición común y algo ingenua de un poliedro es que es un sólido cuyo límite puede ser cubierto por un número finito de planos o que es un sólido formado como la unión de un número finito de poliedros convexos. Los refinamientos naturales de esta definición requieren que el sólido esté acotado, tenga un interior conectado y posiblemente también un límite conectado. Las caras de tal poliedro se pueden definir como los componentes conectados de las partes del límite dentro de cada uno de los planos que lo cubren, y las aristas y vértices como los segmentos de línea y los puntos donde se encuentran las caras. Sin embargo, los poliedros así definidos no incluyen los poliedros en estrella autocruzados, cuyas caras pueden no formar polígonos simples, y algunas de sus aristas pueden pertenecer a más de dos caras.
• Las definiciones basadas en la idea de una superficie límite en lugar de un sólido también son comunes. Por ejemplo, O'Rourke (1993) define un poliedro como una unión de polígonos convexos (sus caras), dispuestos en el espacio de manera que la intersección de dos polígonos cualesquiera sea un vértice o arista compartida o el conjunto vacío y de modo que su unión sea un múltiple Si una parte plana de dicha superficie no es en sí misma un polígono convexo, O'Rourke requiere que se subdivida en polígonos convexos más pequeños, con ángulos diédricos planos entre ellos. De manera algo más general, Grünbaum define un poliedro acóptico como una colección de polígonos simples que forman una variedad incrustada, con cada vértice incidente en al menos tres aristas y cada dos caras se cruzan solo en los vértices y aristas compartidas de cada uno. de CromwellPolyhedra da una definición similar pero sin la restricción de al menos tres aristas por vértice. Nuevamente, este tipo de definición no abarca los poliedros autocruzados. Nociones similares forman la base de las definiciones topológicas de poliedros, como subdivisiones de una variedad topológica en discos topológicos (las caras) cuyas intersecciones por pares deben ser puntos (vértices), arcos topológicos (aristas) o el conjunto vacío. Sin embargo, existen poliedros topológicos (incluso con todas las caras triangulares) que no se pueden realizar como poliedros acópticos.
• Un enfoque moderno se basa en la teoría de los poliedros abstractos. Estos se pueden definir como conjuntos parcialmente ordenados cuyos elementos son los vértices, aristas y caras de un poliedro. Un elemento de vértice o de arista es menor que un elemento de arista o de cara (en este orden parcial) cuando el vértice o la arista es parte de la arista o de la cara. Además, se puede incluir un elemento inferior especial de este orden parcial (que representa el conjunto vacío) y un elemento superior que representa el poliedro completo. Si las secciones del orden parcial entre elementos separados tres niveles (es decir, entre cada cara y el elemento inferior, y entre el elemento superior y cada vértice) tienen la misma estructura que la representación abstracta de un polígono, entonces estos conjuntos parcialmente ordenados llevan exactamente la misma información que un poliedro topológico. Sin embargo,(Esto significa que cada arista contiene dos vértices y pertenece a dos caras, y que cada vértice de una cara pertenece a dos aristas de esa cara.) Los poliedros geométricos, definidos de otras formas, se pueden describir abstractamente de esta manera, pero es también es posible utilizar poliedros abstractos como base de una definición de poliedros geométricos. Una realización de un poliedro abstracto generalmente se toma como un mapeo de los vértices del poliedro abstracto a puntos geométricos, de modo que los puntos de cada cara sean coplanares. Entonces, un poliedro geométrico se puede definir como una realización de un poliedro abstracto. También se han considerado realizaciones que omiten el requisito de planaridad, que imponen requisitos adicionales de simetría o que asignan los vértices a espacios de dimensiones superiores.A diferencia de las definiciones basadas en sólidos y superficies, esto funciona perfectamente bien para los poliedros en estrella. Sin embargo, sin restricciones adicionales, esta definición permite poliedros degenerados o infieles (por ejemplo, asignando todos los vértices a un solo punto) y no se ha resuelto la cuestión de cómo restringir las realizaciones para evitar estas degeneraciones.

En todas estas definiciones, un poliedro se entiende típicamente como un ejemplo tridimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones. Por ejemplo, un polígono tiene un cuerpo bidimensional y no tiene caras, mientras que un politopo de 4 tiene un cuerpo tetradimensional y un conjunto adicional de "celdas" tridimensionales. Sin embargo, parte de la literatura sobre geometría de dimensiones superiores usa el término "poliedro" para significar otra cosa: no un politopo tridimensional, sino una forma que es diferente de un politopo de alguna manera. Por ejemplo, algunas fuentes definen un poliedro convexo como la intersección de un número finito de semiespacios y un politopo como un poliedro acotado. El resto de este artículo considera solo poliedros tridimensionales.

Características

Número de caras

Los poliedros se pueden clasificar y, a menudo, se nombran según el número de caras. El sistema de nombres se basa en el griego clásico y combina un prefijo que cuenta las caras con el sufijo "edro", que significa "base" o "asiento" y se refiere a las caras. Por ejemplo, un tetraedro es un poliedro de cuatro caras, un pentaedro es un poliedro de cinco caras, un hexaedro es un poliedro de seis caras, etc.Para obtener una lista completa de los prefijos numéricos griegos, consulte Prefijo numérico § Tabla de prefijos numéricos en inglés, en la columna de números cardinales griegos. Los nombres de tetraedros, hexaedros, octaedros (poliedros de 8 lados), dodecaedros (poliedros de 12 lados) e icosaedros (poliedros de 20 lados) a veces se usan sin calificación adicional para referirse a los sólidos platónicos, y a veces se usan para referirse a más generalmente a poliedros con el número dado de lados sin ningún supuesto de simetría.

Clasificación topológica

Algunos poliedros tienen dos lados distintos en su superficie. Por ejemplo, el interior y el exterior de un modelo de papel de poliedro convexo pueden tener un color diferente (aunque el color interior estará oculto a la vista). Estos poliedros son orientables. Lo mismo ocurre con los poliedros no convexos sin autocruces. Algunos poliedros autocruzados no convexos se pueden colorear de la misma manera pero tienen regiones "al revés" para que ambos colores aparezcan en el exterior en diferentes lugares; estos todavía se consideran orientables. Sin embargo, para algunos otros poliedros autocruzados con caras de polígono simple, como el tetrahemihexaedro, no es posible colorear los dos lados de cada cara con dos colores diferentes para que las caras adyacentes tengan colores consistentes. En este caso se dice que el poliedro no es orientable.

Una distinción más sutil entre superficies poliédricas viene dada por su característica de Euler, que combina el número de vértices , bordes y caras de un poliedro en un solo número

La misma fórmula también se usa para la característica de Euler de otros tipos de superficies topológicas. Es una invariante de la superficie, lo que significa que cuando una sola superficie se subdivide en vértices, aristas y caras en más de una forma, la característica de Euler será la misma para estas subdivisiones. Para un poliedro convexo, o más generalmente cualquier poliedro simplemente conectado con una superficie de esfera topológica, siempre es igual a 2. Para formas más complicadas, la característica de Euler se relaciona con el número de orificios toroidales, manijas o tapas cruzadas en la superficie y será menos de 2. Todos los poliedros con característica de Euler impar no son orientables. Una figura dada con incluso la característica de Euler puede o no ser orientable. Por ejemplo, el toroide de un orificio y la botella de Klein tienen ambos{\ estilo de visualización \ chi = 0}, siendo el primero orientable y el otro no.

Para muchas (pero no todas) formas de definir poliedros, se requiere que la superficie del poliedro sea una variedad. Esto significa que cada arista es parte del límite de exactamente dos caras (no se permiten formas como la unión de dos cubos que se encuentran solo a lo largo de una arista compartida) y que cada vértice es incidente en un solo ciclo alterno de aristas y caras (no se permiten formas como la unión de dos cubos que comparten un solo vértice). Para los poliedros definidos de esta manera, la clasificación de las variedades implica que el tipo topológico de la superficie está completamente determinado por la combinación de su característica de Euler y su orientabilidad. Por ejemplo, todo poliedro cuya superficie sea una variedad orientable y cuya característica de Euler sea 2 debe ser una esfera topológica.

Un poliedro toroidal es un poliedro cuya característica de Euler es menor o igual a 0, o equivalentemente cuyo género es 1 o mayor. Topológicamente, las superficies de tales poliedros son superficies toroidales que tienen uno o más agujeros en el medio.

Dualidad

Por cada poliedro convexo, existe un poliedro dual que tiene

• caras en lugar de los vértices del original y viceversa, y
• el mismo número de aristas.

El dual de un poliedro convexo se puede obtener mediante el proceso de reciprocidad polar. Los poliedros duales existen en pares, y el dual de un dual es solo el poliedro original nuevamente. Algunos poliedros son autoduales, lo que significa que el dual del poliedro es congruente con el poliedro original.

Los poliedros abstractos también tienen duales, que satisfacen además que tienen la misma característica de Euler y orientabilidad que el poliedro inicial. Sin embargo, esta forma de dualidad no describe la forma de un poliedro dual, sino solo su estructura combinatoria. Para algunas definiciones de poliedros geométricos no convexos, existen poliedros cuyos duales abstractos no pueden realizarse como poliedros geométricos bajo la misma definición.

Figuras de vértice

Para cada vértice se puede definir una figura de vértice, que describe la estructura local del poliedro alrededor del vértice. Las definiciones precisas varían, pero se puede pensar en una figura de vértice como el polígono expuesto donde un corte a través del poliedro corta una esquina. Si la figura del vértice es un polígono regular, se dice que el vértice mismo es regular.

Volumen

Los sólidos poliédricos tienen una cantidad asociada llamada volumen que mide cuánto espacio ocupan. Las familias simples de sólidos pueden tener fórmulas simples para sus volúmenes; por ejemplo, los volúmenes de pirámides, prismas y paralelepípedos pueden expresarse fácilmente en términos de la longitud de sus aristas u otras coordenadas. (Consulte Volumen § Fórmulas de volumen para obtener una lista que incluye muchas de estas fórmulas).

Es posible que los volúmenes de poliedros más complicados no tengan fórmulas simples. Los volúmenes de dichos poliedros se pueden calcular subdividiendo el poliedro en partes más pequeñas (por ejemplo, mediante triangulación). Por ejemplo, el volumen de un poliedro regular se puede calcular dividiéndolo en pirámides congruentes, donde cada pirámide tiene una cara del poliedro como base y el centro del poliedro como vértice.

En general, se puede deducir del teorema de la divergencia que el volumen de un sólido poliédrico está dado por donde la suma es sobre las caras F del poliedro, Q _F es un punto arbitrario en la cara F, N _F es el vector unitario perpendicular a F que apunta fuera del sólido, y el punto de multiplicación es el producto escalar. En dimensiones más altas, el cálculo del volumen puede ser un desafío, en parte debido a la dificultad de enumerar las caras de un poliedro convexo especificado solo por sus vértices, y existen algoritmos especializados para determinar el volumen en estos casos.

Invariante de Dehn

En dos dimensiones, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que cualquier polígono puede transformarse en cualquier otro polígono de la misma área cortándolo en un número finito de piezas poligonales y reorganizándolas. La pregunta análoga para los poliedros fue el tema del tercer problema de Hilbert. Max Dehn resolvió este problema mostrando que, a diferencia del caso 2-D, existen poliedros del mismo volumen que no se pueden cortar en poliedros más pequeños y volver a ensamblarlos entre sí. Para probar esto, Dehn descubrió otro valor asociado con un poliedro, el invariante de Dehn, de modo que dos poliedros solo pueden dividirse entre sí cuando tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. Más tarde, Sydler demostró que este es el único obstáculo para la disección:El invariante de Dehn no es un número, sino un vector en un espacio vectorial de dimensión infinita.

Otro de los problemas de Hilbert, el problema número 18 de Hilbert, se refiere (entre otras cosas) a los poliedros que forman mosaicos. Cada uno de estos poliedros debe tener un cero invariante de Dehn. El invariante de Dehn también se ha relacionado con los poliedros flexibles mediante el teorema del fuelle fuerte, que establece que el invariante de Dehn de cualquier poliedro flexible permanece invariante a medida que se flexiona.

Poliedros convexos

Un sólido tridimensional es un conjunto convexo si contiene todos los segmentos de línea que conectan dos de sus puntos. Un poliedro convexo es un poliedro que, como sólido, forma un conjunto convexo. Un poliedro convexo también se puede definir como una intersección acotada de un número finito de semiespacios, o como la envolvente convexa de un número finito de puntos.

Las clases importantes de poliedros convexos incluyen los sólidos platónicos altamente simétricos, los sólidos de Arquímedes y sus duales, los sólidos catalanes y los sólidos de Johnson de caras regulares.

Simetrías

Muchos de los poliedros más estudiados son muy simétricos, es decir, su apariencia no cambia por alguna reflexión o rotación del espacio. Cada una de estas simetrías puede cambiar la ubicación de un vértice, una cara o una arista dados, pero el conjunto de todos los vértices (al igual que las caras y las aristas) no cambia. El conjunto de simetrías de un poliedro se denomina grupo de simetría.

Se dice que todos los elementos que pueden superponerse entre sí por simetrías forman una órbita de simetría. Por ejemplo, todas las caras de un cubo se encuentran en una órbita, mientras que todas las aristas se encuentran en otra. Si todos los elementos de una dimensión dada, digamos todas las caras, se encuentran en la misma órbita, se dice que la figura es transitiva en esa órbita. Por ejemplo, un cubo tiene caras transitivas, mientras que un cubo truncado tiene dos órbitas de simetría de caras.

La misma estructura abstracta puede soportar poliedros geométricos más o menos simétricos. Pero cuando se da un nombre poliédrico, como icosidodecaedro, casi siempre se da a entender la geometría más simétrica, a menos que se indique lo contrario.

Hay varios tipos de poliedros altamente simétricos, clasificados por qué tipo de elemento (caras, aristas o vértices) pertenecen a una sola órbita de simetría:

• Regular: transitivo de vértice, transitivo de borde y transitivo de cara. (Esto implica que todas las caras son el mismo polígono regular; también implica que todos los vértices son regulares).
• Cuasi-regular: transitivo de vértice y transitivo de borde (y por lo tanto tiene caras regulares) pero no transitivo de cara. Un dual cuasi-regular es transitivo por caras y transitivo por aristas (y, por lo tanto, todos los vértices son regulares), pero no transitivo por vértices.
• Semi-regular: vértice-transitivo pero no borde-transitivo, y cada cara es un polígono regular. (Esta es una de varias definiciones del término, según el autor. Algunas definiciones se superponen con la clase cuasi-regular). Estos poliedros incluyen los prismas y antiprismas semirregulares. Un dual semirregular es transitivo por caras pero no transitivo por vértices, y todos los vértices son regulares.
• Uniforme: transitivo de vértice y cada cara es un polígono regular, es decir, es regular, cuasi-regular o semirregular. Un dual uniforme es transitivo por caras y tiene vértices regulares, pero no es necesariamente transitivo por vértices.
• Isogonal: vértice transitivo.
• Isotoxal: borde transitivo.
• Isoédrica: cara-transitiva.
• Noble: transitivo de cara y transitivo de vértice (pero no necesariamente transitivo de borde). Los poliedros regulares también son nobles; son los únicos poliedros uniformes nobles. Los duales de poliedros nobles son en sí mismos nobles.

Algunas clases de poliedros tienen un solo eje principal de simetría. Estos incluyen las pirámides, bipirámides, trapezoedros, cúpulas, así como los prismas semirregulares y antiprismas.

Poliedros regulares

Los poliedros regulares son los más altamente simétricos. En total hay nueve poliedros regulares: cinco poliedros convexos y cuatro estrellas.

Los cinco ejemplos convexos se conocen desde la antigüedad y se denominan sólidos platónicos. Estos son la pirámide triangular o tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro:

También hay poliedros de cuatro estrellas regulares, conocidos como los poliedros de Kepler-Poinsot en honor a sus descubridores.

El dual de un poliedro regular también es regular.

Poliedros uniformes y sus duales

Los poliedros uniformes son transitivos de vértice y cada cara es un polígono regular. Pueden subdividirse en regulares, cuasi-regulares o semirregulares, y pueden ser convexos o estrellados.

Los duales de los poliedros uniformes tienen caras irregulares pero son caras transitivas, y cada figura de vértice es un polígono regular. Un poliedro uniforme tiene las mismas órbitas de simetría que su poliedro dual, con las caras y los vértices simplemente intercambiados. Los duales de los poliedros de Arquímedes convexos a veces se denominan sólidos catalanes.

Los poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente según su grado de simetría y si son convexos o no.

Isoedro

Un isoedro es un poliedro con simetrías actuando transitivamente en sus caras. Su topología se puede representar mediante una configuración de caras. Los 5 sólidos platónicos y los 13 sólidos catalanes son isoedros, así como las infinitas familias de trapezoedros y bipirámides. Algunos isoedros permiten variaciones geométricas que incluyen formas cóncavas y de autointersección.

Grupos de simetría

Muchas de las simetrías o grupos de puntos en tres dimensiones llevan el nombre de poliedros que tienen la simetría asociada. Éstas incluyen:

• T – simetría tetraédrica quiral ; el grupo de rotación de un tetraedro regular; orden 12.
• T _d – simetría tetraédrica completa ; el grupo de simetría de un tetraedro regular; orden 24.
• T _h – simetría piritoédrica ; la simetría de un piritoedro; orden 24.
• O - simetría octaédrica quiral ; el grupo de rotación del cubo y el octaedro; orden 24.
• O _h – simetría octaédrica completa ; el grupo de simetría del cubo y el octaedro; orden 48.
• I – simetría icosaédrica quiral ; el grupo de rotación del icosaedro y el dodecaedro; orden 60.
• I _h – simetría icosaédrica completa ; el grupo de simetría del icosaedro y el dodecaedro; orden 120.
• C _nv – simetría piramidal de n veces
• D _nh - simetría prismática de n veces
• D _nv : simetría antiprismática de n veces.

Aquellos con simetría quiral no tienen simetría de reflexión y, por lo tanto, tienen dos formas enantiomorfas que son reflejos entre sí. Los ejemplos incluyen el cuboctaedro chato y el icosidodecaedro chato.

Otras familias importantes de poliedros

Poliedros de caras regulares

Además de los poliedros regulares y uniformes, existen otras clases que tienen caras regulares pero una simetría general más baja.

Caras regulares iguales

Los poliedros convexos donde cada cara es el mismo tipo de polígono regular se pueden encontrar entre tres familias:

• Triángulos: Estos poliedros se llaman deltaedros. Hay ocho deltaedros convexos: tres de los sólidos platónicos y cinco ejemplos no uniformes.
• Cuadrados: El cubo es el único ejemplo convexo. Otros ejemplos (los policubos) se pueden obtener uniendo cubos entre sí, aunque hay que tener cuidado si se quieren evitar las caras coplanares.
• Pentágonos: El dodecaedro regular es el único ejemplo convexo.

Los poliedros con caras regulares congruentes de seis o más lados son no convexos.

El número total de poliedros convexos con caras regulares iguales es así diez: los cinco sólidos platónicos y los cinco deltaedros no uniformes. Hay infinitos ejemplos no convexos. Existen infinitos ejemplos similares a esponjas llamados poliedros de inclinación infinita en algunas de estas familias.

Sólidos Johnson

Norman Johnson buscó qué poliedros convexos no uniformes tenían caras regulares, aunque no necesariamente todas iguales. En 1966, publicó una lista de 92 de estos sólidos, les dio nombres y números y conjeturó que no había otros. Victor Zalgaller demostró en 1969 que la lista de estos sólidos de Johnson estaba completa.

Pirámides

Las pirámides incluyen algunos de los poliedros más consagrados y famosos, como las pirámides egipcias de cuatro lados.

Estelaciones y facetas

La estelación de un poliedro es el proceso de extender las caras (dentro de sus planos) para que se unan y formen un nuevo poliedro.

Es el recíproco exacto del proceso de facetado, que es el proceso de eliminar partes de un poliedro sin crear nuevos vértices.

Las siguientes figuras muestran algunas estelaciones del octaedro regular, el dodecaedro y el icosaedro.

Zonoedros

Un zonoedro es un poliedro convexo en el que cada cara es un polígono que es simétrico bajo rotaciones de 180°. Los zonoedros también se pueden caracterizar como las sumas de segmentos de línea de Minkowski e incluyen varios poliedros importantes que llenan espacios.

Poliedros que llenan espacios

Un poliedro que llena el espacio se empaqueta con copias de sí mismo para llenar el espacio. Tal empaquetamiento compacto o relleno de espacio a menudo se denomina mosaico de espacio o panal. Los poliedros que llenan espacios deben tener un invariante de Dehn igual a cero. Algunos panales involucran más de un tipo de poliedro.

Poliedros de celosía

Un poliedro convexo en el que todos los vértices tienen coordenadas enteras se llama poliedro de celosía o poliedro integral. El polinomio de Ehrhart de un poliedro de celosía cuenta cuántos puntos con coordenadas enteras se encuentran dentro de una copia escalada del poliedro, en función del factor de escala. El estudio de estos polinomios se encuentra en la intersección de la combinatoria y el álgebra conmutativa.

Poliedros flexibles

Es posible que algunos poliedros cambien su forma general, manteniendo las formas de sus caras iguales, variando los ángulos de sus bordes. Un poliedro que puede hacer esto se llama poliedro flexible. Por el teorema de rigidez de Cauchy, los poliedros flexibles deben ser no convexos. El volumen de un poliedro flexible debe permanecer constante mientras se flexiona; este resultado se conoce como el teorema del fuelle.

Compuestos

Un compuesto poliédrico está formado por dos o más poliedros que comparten un centro común. Los compuestos simétricos a menudo comparten los mismos vértices que otros poliedros conocidos y, a menudo, también pueden estar formados por estelación. Algunos se enumeran en la lista de modelos de poliedros de Wenninger.

Poliedros ortogonales

Un poliedro ortogonal es aquel cuyas caras se encuentran en ángulo recto y todas sus aristas son paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. (El icosaedro de Jessen proporciona un ejemplo de un poliedro que cumple una de estas dos condiciones, pero no ambas). Aparte de las cajas rectangulares, los poliedros ortogonales no son convexos. Son los análogos 3D de los polígonos ortogonales 2D, también conocidos como polígonos rectilíneos. Los poliedros ortogonales se utilizan en geometría computacional, donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas no resueltos para poliedros arbitrarios, por ejemplo, desplegar la superficie de un poliedro en una red poligonal.

Mapas regulares incrustados con caras planas

Los mapas regulares son 2-variedades abstractas transitivas de bandera y ya se han estudiado en el siglo XIX. Algunos de ellos tienen incrustaciones poliédricas tridimensionales como la que representa el cuártico de Klein.

Generalizaciones de poliedros

El nombre 'poliedro' se ha utilizado para una variedad de objetos que tienen propiedades estructurales similares a los poliedros tradicionales.

Apeiroedros

Una superficie poliédrica clásica tiene un número finito de caras, unidas en pares a lo largo de los bordes. Los apeiroedros forman una clase relacionada de objetos con infinitas caras. Los ejemplos de apeiroedros incluyen:

• mosaicos o teselados del plano, y
• estructuras similares a esponjas llamadas poliedros de inclinación infinita.

Poliedros complejos

Hay objetos llamados poliedros complejos, para los cuales el espacio subyacente es un espacio de Hilbert complejo en lugar de un espacio euclidiano real. Existen definiciones precisas solo para los poliedros complejos regulares, cuyos grupos de simetría son grupos de reflexión complejos. Los poliedros complejos están matemáticamente más relacionados con las configuraciones que con los poliedros reales.

Poliedros curvos

Algunos campos de estudio permiten que los poliedros tengan caras y aristas curvas. Las caras curvas pueden permitir que existan caras digitales con un área positiva.

Poliedros esféricos

Cuando la superficie de una esfera se divide por un número finito de arcos grandes (equivalentemente, por planos que pasan por el centro de la esfera), el resultado se denomina poliedro esférico. Muchos politopos convexos que tienen algún grado de simetría (por ejemplo, todos los sólidos platónicos) se pueden proyectar sobre la superficie de una esfera concéntrica para producir un poliedro esférico. Sin embargo, el proceso inverso no siempre es posible; algunos poliedros esféricos (como los hosoedros) no tienen un análogo de cara plana.

Poliedros de relleno de espacios curvos

Si se permite que las caras sean cóncavas además de convexas, las caras adyacentes se pueden hacer para que se unan sin espacios. Algunos de estos poliedros curvos pueden empaquetarse para llenar el espacio. Dos tipos importantes son:

• Burbujas en espumas y espumas, como las burbujas de Weaire-Phelan.
• Formas utilizadas en la arquitectura.

Poliedros ideales

Los poliedros convexos se pueden definir en el espacio hiperbólico tridimensional de la misma manera que en el espacio euclidiano, como los cascos convexos de conjuntos finitos de puntos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, también es posible considerar puntos ideales así como los puntos que se encuentran dentro del espacio. Un poliedro ideal es el casco convexo de un conjunto finito de puntos ideales. Sus caras son polígonos ideales, pero sus bordes están definidos por líneas hiperbólicas completas en lugar de segmentos de línea, y sus vértices (los puntos ideales de los que es el casco convexo) no se encuentran dentro del espacio hiperbólico.

Esqueletos y poliedros como grafos

Al olvidar la estructura de las caras, cualquier poliedro da lugar a un grafo, llamado esqueleto, con sus correspondientes vértices y aristas. Tales figuras tienen una larga historia: Leonardo da Vinci ideó modelos de estructura de los sólidos regulares, que dibujó para el libro de Pacioli Divina Proportione, y poliedros de estructura de alambre similares aparecen en la impresión Stars de MC Escher. Un aspecto destacado de este enfoque es el teorema de Steinitz, que proporciona una caracterización puramente teórica de grafos de los esqueletos de poliedros convexos: establece que el esqueleto de cada poliedro convexo es un gráfico plano de 3 conexiones, y cada gráfico plano de 3 conexiones es el esqueleto de algún poliedro convexo.

Una idea temprana de poliedros abstractos se desarrolló en el estudio de Branko Grünbaum sobre "poliedros de cara hueca". Grünbaum definió las caras como conjuntos de vértices ordenados cíclicamente y permitió que fueran sesgados y planos.

La perspectiva del gráfico permite aplicar la terminología y las propiedades de los gráficos a los poliedros. Por ejemplo, el tetraedro y el poliedro de Császár son los únicos poliedros conocidos cuyos esqueletos son gráficos completos (K ₄ ), y varias restricciones de simetría en los poliedros dan lugar a esqueletos que son gráficos simétricos.

Usos alternativos

Desde la segunda mitad del siglo XX, se ha descubierto que varias construcciones matemáticas tienen propiedades que también están presentes en los poliedros tradicionales. En lugar de limitar el término "poliedro" para describir un politopo tridimensional, se ha adoptado para describir varios tipos de estructuras relacionadas pero distintas.

Poliedros de dimensiones superiores

Un poliedro se ha definido como un conjunto de puntos en un espacio real afín (o euclidiano) de cualquier dimensión n que tiene lados planos. Alternativamente, puede definirse como la intersección de un número finito de semiespacios. A diferencia de un poliedro convencional, puede estar acotado o no acotado. En este sentido, un politopo es un poliedro acotado.

Analíticamente, tal poliedro convexo se expresa como el conjunto solución para un sistema de desigualdades lineales. Definir poliedros de esta manera proporciona una perspectiva geométrica para los problemas de programación lineal. Muchas formas poliédricas tradicionales son poliedros en este sentido. Otros ejemplos incluyen:

• Un cuadrante en el plano. Por ejemplo, la región del plano cartesiano que consta de todos los puntos por encima del eje horizontal ya la derecha del eje vertical: { ( x , y ) : x ≥ 0, y ≥ 0 }. Sus lados son los dos ejes positivos y, por lo demás, no tiene límites.
• Un octante en el espacio tridimensional euclidiano, { ( x , y , z ) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }.
• Un prisma de extensión infinita. Por ejemplo, un prisma cuadrado doblemente infinito en 3 espacios, que consta de un cuadrado en el plano xy barrido a lo largo del eje z : { ( x , y , z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }.
• Cada celda en una teselación de Voronoi es un poliedro convexo. En la teselación de Voronoi de un conjunto S, la celda A correspondiente a un punto c ∈ S está acotada (por lo tanto, un poliedro tradicional) cuando c se encuentra en el interior de la envolvente convexa de S, y en caso contrario (cuando c se encuentra en el límite de el casco convexo de S ) A es ilimitado.

Poliedros topológicos

Un politopo topológico es un espacio topológico dado junto con una descomposición específica en formas que son topológicamente equivalentes a los politopos convexos y que están unidos entre sí de manera regular.

Tal figura se llama simplicial si cada una de sus regiones es un símplex, es decir, en un espacio n -dimensional cada región tiene n +1 vértices. El dual de un politopo simplicial se llama simple. De manera similar, una clase de politopos (poliedros) ampliamente estudiada es la de los poliedros cúbicos, cuando el componente básico es un cubo de n dimensiones.

Poliedros abstractos

Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos cuya ordenación parcial obedece a ciertas reglas de incidencia (conectividad) y clasificación. Los elementos del conjunto corresponden a los vértices, aristas, caras, etc. del politopo: los vértices tienen rango 0, las aristas rango 1, etc. con el ordenamiento parcial correspondiente a la dimensionalidad de los elementos geométricos. El conjunto vacío, requerido por la teoría de conjuntos, tiene un rango de −1 y, a veces, se dice que corresponde al politopo nulo. Un poliedro abstracto es un politopo abstracto que tiene la siguiente clasificación:

• rango 3: El elemento máximo, a veces identificado con el cuerpo.
• rango 2: Las caras poligonales.
• Rango 1: Los bordes.
• rango 0: los vértices.
• rango −1: El conjunto vacío, a veces identificado con el politopo nulo o nullitopo.

Entonces se dice que cualquier poliedro geométrico es una "realización" en el espacio real de la pose abstracta como se describe anteriormente.

Historia

Antiguo

Los poliedros aparecieron en formas arquitectónicas tempranas como cubos y paralelepípedos, y las primeras pirámides de cuatro lados del antiguo Egipto también datan de la Edad de Piedra.

Los etruscos precedieron a los griegos en el conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento de un dodecaedro etrusco hecho de esteatita en Monte Loffa. Sus caras estaban marcadas con diferentes diseños, lo que sugiere a algunos estudiosos que puede haber sido utilizado como dado de juego.civilización griega

Los registros escritos más antiguos que se conocen de estas formas provienen de autores griegos clásicos, quienes también dieron la primera descripción matemática conocida de ellas. Los primeros griegos estaban interesados ​​principalmente en los poliedros regulares convexos, que llegaron a conocerse como los sólidos platónicos. Pitágoras conocía al menos a tres de ellos, y Teeteto (circa 417 a. C.) describió los cinco. Finalmente, Euclides describió su construcción en sus Elementos. Posteriormente, Arquímedes amplió su estudio a los poliedros uniformes convexos que ahora llevan su nombre. Su obra original se ha perdido y sus sólidos nos llegan a través de Pappus.China

Los dados de juego cúbicos en China se remontan al año 600 a.

Para el año 236 d. C., Liu Hui describía la disección del cubo en su tetraedro característico (ortosquema) y sólidos relacionados, utilizando conjuntos de estos sólidos como base para calcular los volúmenes de tierra que se moverían durante las excavaciones de ingeniería.civilización islámica

Después del final de la era clásica, los eruditos de la civilización islámica continuaron desarrollando el conocimiento griego (ver Matemáticas en el Islam medieval).

El erudito del siglo IX Thabit ibn Qurra dio fórmulas para calcular los volúmenes de poliedros como pirámides truncadas.

Luego, en el siglo X, Abu'l Wafa describió los poliedros esféricos regulares y casi regulares convexos.

Renacimiento

Al igual que con otras áreas del pensamiento griego mantenidas y mejoradas por los eruditos islámicos, el interés occidental por los poliedros revivió durante el Renacimiento italiano. Los artistas construyeron poliedros esqueléticos, representándolos de la vida como parte de sus investigaciones sobre la perspectiva. Varios aparecen en paneles de marquetería de la época. Piero della Francesca dio la primera descripción escrita de la construcción geométrica directa de tales vistas en perspectiva de poliedros. Leonardo da Vinci hizo modelos esqueléticos de varios poliedros y dibujó ilustraciones de ellos para un libro de Pacioli. Una pintura de un artista anónimo de Pacioli y un alumno representa un rombicuboctaedro de vidrio medio lleno de agua.

A medida que el Renacimiento se extendió más allá de Italia, artistas posteriores como Wenzel Jamnitzer, Durero y otros también representaron poliedros de varios tipos, muchos de ellos novedosos, en aguafuertes imaginativos.

Poliedros estrella

Durante casi 2.000 años, el concepto de poliedro como un sólido convexo se mantuvo tal como lo desarrollaron los antiguos matemáticos griegos.

Durante el Renacimiento se descubrieron formas estelares. Una tarsia de mármol en el piso de la Basílica de San Marcos, Venecia, representa un dodecaedro estrellado. Artistas como Wenzel Jamnitzer se deleitaron en representar formas novedosas parecidas a estrellas de complejidad creciente.

Johannes Kepler (1571-1630) usó polígonos estelares, generalmente pentagramas, para construir poliedros estelares. Algunas de estas figuras pueden haber sido descubiertas antes de la época de Kepler, pero él fue el primero en reconocer que podrían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los poliedros regulares deben ser convexos. Más tarde, Louis Poinsot se dio cuenta de que también se pueden usar figuras de vértice de estrella (circuitos alrededor de cada esquina) y descubrió los dos poliedros de estrella regulares restantes. Cauchy demostró que la lista de Poinsot estaba completa, y Cayley les dio sus nombres aceptados en inglés: (Kepler's) the small stellated dodecahedron and great stellated dodecahedron, y (Poinsot's) the great icosahedron and great dodecahedron. En conjunto, se denominan poliedros de Kepler-Poinsot.

Los poliedros de Kepler-Poinsot se pueden construir a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación. La mayoría de las estelaciones no son regulares. El estudio de las estelaciones de los sólidos platónicos recibió un gran impulso de HSM Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso artículo Los 59 icosaedros.

El proceso recíproco a la estelación se llama facetado (o facetado). Cada estelación de un politopo es dual, o recíproca, a alguna faceta del politopo dual. Los poliedros regulares en estrella también se pueden obtener facetando los sólidos platónicos. Bridge (1974) enumeró las facetas más simples del dodecaedro y las reciprocó para descubrir una estelación del icosaedro que faltaba en el conjunto de "59". Se han descubierto más desde entonces, y la historia aún no ha terminado.

Fórmula y topología de Euler

Otros dos desarrollos matemáticos modernos tuvieron un efecto profundo en la teoría de los poliedros.

En 1750 Leonhard Euler consideró por primera vez las aristas de un poliedro, lo que le permitió descubrir su fórmula poliédrica relacionando el número de vértices, aristas y caras. Esto marcó el nacimiento de la topología, a veces denominada "geometría de hoja de goma", y Henri Poincaré desarrolló sus ideas centrales a fines del siglo XIX. Esto permitió resolver muchos problemas de larga data sobre lo que era o no un poliedro.

Max Brückner resumió el trabajo sobre poliedros hasta la fecha, incluidos muchos hallazgos propios, en su libro "Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte" (Polígonos y poliedros: teoría e historia). Publicado en alemán en 1900, permaneció poco conocido.

Mientras tanto, el descubrimiento de dimensiones superiores condujo a la idea de un poliedro como ejemplo tridimensional del politopo más general.

Renacimiento del siglo XX

En los primeros años del siglo XX, los matemáticos habían avanzado y la geometría se estudiaba poco. El análisis de Coxeter en The Fifty-Nine Icosahedra introdujo ideas modernas de la teoría de grafos y la combinatoria en el estudio de los poliedros, señalando un renacimiento del interés por la geometría.

El propio Coxeter pasó a enumerar los poliedros uniformes estelares por primera vez, a tratar las teselaciones del plano como poliedros, a descubrir los poliedros oblicuos regulares y a desarrollar la teoría de los poliedros complejos descubierta por primera vez por Shephard en 1952, además de hacer fundamentales contribuciones a muchas otras áreas de la geometría.

En la segunda parte del siglo XX, Grünbaum publicó importantes obras en dos áreas. Uno fue en politopos convexos, donde notó una tendencia entre los matemáticos a definir un "poliedro" de maneras diferentes y, a veces, incompatibles para adaptarse a las necesidades del momento. El otro fue una serie de artículos que ampliaban la definición aceptada de poliedro, por ejemplo, descubriendo muchos poliedros regulares nuevos. A fines del siglo XX, estas últimas ideas se fusionaron con otros trabajos sobre complejos de incidencia para crear la idea moderna de un poliedro abstracto (como un 3-politopo abstracto), presentada en particular por McMullen y Schulte.

En naturaleza

Para conocer las ocurrencias naturales de poliedros regulares, consulte Poliedro regular § Poliedros regulares en la naturaleza.

Los poliedros irregulares aparecen en la naturaleza como cristales.