Punto (geometría)

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En la geometría euclidiana clásica, un punto es una noción primitiva que modela una ubicación exacta en el espacio y no tiene longitud, anchura ni grosor. En las matemáticas modernas, un punto se refiere más generalmente a un elemento de algún conjunto llamado espacio.

Ser una noción primitiva significa que un punto no se puede definir en términos de objetos previamente definidos. Es decir, un punto se define únicamente por algunas propiedades, llamadas axiomas, que debe satisfacer; por ejemplo, "hay exactamente una línea que pasa por dos puntos diferentes".

Puntos en geometría euclidiana

Los puntos, considerados en el marco de la geometría euclidiana, son uno de los objetos más fundamentales. Euclides definió originalmente el punto como "aquello que no tiene parte". En el espacio euclidiano bidimensional, un punto se representa mediante un par ordenado (x, y) de números, donde el primer número representa convencionalmente la horizontal y a menudo se denota por x, y el segundo número representa convencionalmente la vertical y a menudo se denota por Y. _ Esta idea se generaliza fácilmente al espacio euclidiano tridimensional, donde un punto está representado por un triplete ordenado (x, y, z) con el tercer número adicional que representa la profundidad y, a menudo, denotado por z. Otras generalizaciones están representadas por una tupla ordenada de n términos, (a ₁, a ₂, …, a _n) donde n es la dimensión del espacio en el que se encuentra el punto.

Muchas construcciones dentro de la geometría euclidiana consisten en una colección infinita de puntos que se ajustan a ciertos axiomas. Esto suele estar representado por un conjunto de puntos; Como ejemplo, una línea es un conjunto infinito de puntos de la forma $scriptstyle {L = lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 +... a_nc_n = d rbrace}$ , donde c ₁ a c _n y d son constantes y n es la dimensión del espacio. Existen construcciones similares que definen el plano, segmento de línea y otros conceptos relacionados. Un segmento de línea que consta de un solo punto se llama segmento de línea degenerado.

Además de definir puntos y construcciones relacionadas con puntos, Euclides también postuló una idea clave sobre los puntos, que dos puntos cualquiera pueden estar conectados por una línea recta. Esto se confirma fácilmente con las extensiones modernas de la geometría euclidiana y tuvo consecuencias duraderas en su introducción, lo que permitió la construcción de casi todos los conceptos geométricos conocidos en ese momento. Sin embargo, la postulación de puntos de Euclides no fue completa ni definitiva, y ocasionalmente asumió hechos sobre puntos que no se derivaban directamente de sus axiomas, como el orden de los puntos en la línea o la existencia de puntos específicos. A pesar de esto, las expansiones modernas del sistema sirven para eliminar estos supuestos.

Dimensión de un punto

Hay varias definiciones no equivalentes de dimensión en matemáticas. En todas las definiciones comunes, un punto es 0-dimensional.

Dimensión del espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente. En un espacio vectorial que consta de un solo punto (que debe ser el vector cero 0), no hay un subconjunto linealmente independiente. El vector cero no es en sí mismo linealmente independiente, porque hay una combinación lineal no trivial que lo hace cero: $1 cdot mathbf{0}=mathbf{0}$ .

Dimensión topológica

La dimensión topológica de un espacio topológico $X$ se define como el valor mínimo de n, tal que toda cubierta abierta finita ${ matemática {A}}$ de $X$ admite una cubierta abierta finita ${ matemáticas {B}}$ de $X$ cuyos refinamientos ${ matemática {A}}$ en los que ningún punto está incluido en más de n +1 elementos. Si no existe tal n mínimo, se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

Un punto es de dimensión cero con respecto a la dimensión de la cubierta porque cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en un único conjunto abierto.

Dimensión de Hausdorff

Sea X un espacio métrico. Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), el contenido de Hausdorff d -dimensional de S es el mínimo del conjunto de números δ ≥ 0 tal que hay una colección (indexada) de bolas que cubre S con r _i > 0 para cada i ∈ I que satisface. ${B(x_i,r_i):ien I}$ <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6349c4388c89aa485a940367720e9e852ef3fd1c" alt="sum_{iin I} r_i^d

La dimensión de Hausdorff de X está definida por $operatorname{dim}_{operatorname{H}}(X):=inf{dge 0: C_H^d(X)=0}.$

Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede ser cubierto por una sola bola de radio arbitrariamente pequeño.

Geometría sin puntos

Aunque la noción de un punto generalmente se considera fundamental en la geometría y la topología convencionales, existen algunos sistemas que la renuncian, por ejemplo, la geometría no conmutativa y la topología sin sentido. Un espacio "sin sentido" o "sin punto" no se define como un conjunto, sino a través de alguna estructura (algebraica o lógica respectivamente) que se parece a un espacio de funciones bien conocido en el conjunto: un álgebra de funciones continuas o un álgebra de conjuntos respectivamente. Más precisamente, tales estructuras generalizan espacios bien conocidos de funciones de tal manera que la operación "tomar un valor en este punto" puede no estar definida. Otra tradición parte de algunos libros de AN Whitehead en los que la noción de región se asume como un primitivo junto con la de inclusión o conexión.

Masas puntuales y la función delta de Dirac

A menudo, en física y matemáticas, es útil pensar en un punto como si tuviera una masa o carga distinta de cero (esto es especialmente común en el electromagnetismo clásico, donde los electrones se idealizan como puntos con carga distinta de cero). La función delta de Dirac, o función δ, es (informalmente) una función generalizada en la recta numérica real que es cero en todas partes excepto en cero, con una integral de uno en toda la recta real. La función delta a veces se considera como un pico infinitamente alto e infinitamente delgado en el origen, con un área total uno debajo del pico, y representa físicamente una masa puntual idealizada o una carga puntual. Fue presentado por el físico teórico Paul Dirac. En el contexto del procesamiento de señales, a menudo se lo denominasímbolo de impulso unitario (o función). Su análogo discreto es la función delta de Kronecker, que generalmente se define en un dominio finito y toma los valores 0 y 1.