Punto estacionario

En matemáticas, particularmente en cálculo, un punto estacionario de una función diferenciable de una variable es un punto en la gráfica de la función donde la derivada de la función es cero. Informalmente, es un punto donde la función "se detiene" creciente o decreciente (de ahí el nombre).

Para una función diferenciable de varias variables reales, un punto estacionario es un punto en la superficie del gráfico donde todas sus derivadas parciales son cero (de manera equivalente, el gradiente tiene norma cero). La noción de puntos estacionarios de una función de valor real se generaliza como puntos críticos para funciones de valores complejos.

Los puntos estacionarios son fáciles de visualizar en la gráfica de una función de una variable: corresponden a los puntos en la gráfica donde la tangente es horizontal (es decir, paralela al eje x). Para una función de dos variables, corresponden a los puntos de la gráfica donde el plano tangente es paralelo al plano xy.

La noción de punto estacionario permite la descripción matemática de un fenómeno astronómico que era inexplicable antes de la época de Copérnico. Un punto estacionario es el punto en la trayectoria aparente del planeta en la esfera celeste, donde el movimiento del planeta parece detenerse, antes de reiniciarse en la otra dirección (ver movimiento retrógrado aparente). Esto ocurre debido a la proyección de la órbita del planeta dentro del círculo de la eclíptica.

Puntos de inflexión

A punto de giro es un punto en el que se registran los cambios derivados. Un punto de inflexión puede ser un máximo relativo o un mínimo relativo (también conocido como mínimo local y máximo). Si la función es diferente, entonces un punto de inflexión es un punto fijo; sin embargo no todos los puntos estacionarios son puntos de inflexión. Si la función es dos veces diferente, los puntos estacionarios que no están girando son puntos de inflexión horizontal. Por ejemplo, la función ${displaystyle xmapsto x^{3}$ tiene un punto fijo en x = 0, que es también un punto de inflexión, pero no es un punto de inflexión.

Clasificación

Puntos estacionarios aislados ${displaystyle C^{1}$ función valorada real ${displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R}$ se clasifican en cuatro tipos, por la primera prueba derivada:

• a mínimo local ()punto de giro mínimo o mínimo relativo) es uno donde el derivado de la función cambia de negativo a positivo;
• a máximo local ()Punto de giro máximo o máximo relativo) es uno donde el derivado de la función cambia de positivo a negativo;

• a punto de inflexión (o inflexión) es uno donde el derivado de la función es positivo en ambos lados del punto estacionario; tal punto marca un cambio en la concavidad;
• a punto de inflexión (o inflexión) es uno donde el derivado de la función es negativo en ambos lados del punto estacionario; tal punto marca un cambio en la concavidad.

Las dos primeras opciones se conocen colectivamente como "extremos locales". De manera similar, un punto que es un máximo global (o absoluto) o un mínimo global (o absoluto) se llama extremo global (o absoluto). Las dos últimas opciones (puntos estacionarios que no son extremos locales) se conocen como puntos silla.

Por el teorema de Fermat, deben ocurrir extremas globales (para un ${displaystyle C^{1}$ función) en el límite o en puntos fijos.

Dibujo de curvas

Determinar la posición y la naturaleza de los puntos estacionarios ayuda a trazar curvas de funciones diferenciables. Resolver la ecuación f′(x) = 0 devuelve el < i>x-coordenadas de todos los puntos estacionarios; las coordenadas y son trivialmente los valores de la función en esas coordenadas x. La naturaleza específica de un punto estacionario en x se puede determinar en algunos casos examinando la segunda derivada f″(x):

• Si f()x) 0, el punto estacionario x se concave hacia abajo; un extremum maximal.
• Si f()x) 0, el punto estacionario en x es concave up; un extremum mínimo.
• Si f()x) = 0, la naturaleza del punto estacionario debe determinarse por medio de otros medios, a menudo notando un cambio de signo alrededor de ese punto.

Una forma más sencilla de determinar la naturaleza de un punto estacionario es examinando los valores de la función entre los puntos estacionarios (si la función está definida y es continua entre ellos).

Un ejemplo simple de un punto de inflexión es la función f(x) = x³. Hay un claro cambio de concavidad alrededor del punto x = 0, y podemos demostrarlo mediante cálculo. La segunda derivada de f es 6x, continua en todas partes, y en x = 0, f″ = 0, y el signo cambia alrededor de este punto. Entonces x = 0 es un punto de inflexión.

Más generalmente, los puntos estacionarios de una función real valorada ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R}$ son esos puntos x₀ donde el derivado en cada dirección equivale a cero, o equivalentemente, el gradiente es cero.

Ejemplo

Para la función f(x) = x⁴ tenemos f′(0) = 0 y f″(0) = 0. Aunque f″(0) = 0, este punto no es un punto de inflexión. La razón es que el signo de f′(x) cambia de negativo a positivo.

Para la función f(x) = sin(x) tenemos el estilo f′(0) ≠ 0 y f″(0) = 0. Pero este no es un punto estacionario, más bien es un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f′(< i>x) no cambia; sigue siendo positivo.

Para la función f(x) = x³ tenemos f′(0) = 0 y f″(0) = 0. Ambos son punto estacionario y un punto de inflexión. Esto se debe a que la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba y el signo de f′(< i>x) no cambia; sigue siendo positivo.