Prueba derivada

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Método para encontrar la extrema de una función

En cálculo, un prueba derivada utiliza los derivados de una función para localizar los puntos críticos de una función y determinar si cada punto es un máximo local, un mínimo local o un punto de sillín. Las pruebas derivativas también pueden dar información sobre la concavidad de una función.

La utilidad de los derivados para encontrar extrema se demuestra matemáticamente por el teorema de Fermat de los puntos estacionarios.

Prueba de primer orden

La prueba de la primera derivada examina las propiedades monótonas de una función (cuando la función aumenta o disminuye), centrándose en un punto particular de su dominio. Si la función "cambia" de aumentar a disminuir en ese punto, entonces la función alcanzará su valor más alto en ese punto. De manera similar, si la función "cambia" de disminuir a aumentar en ese punto, entonces alcanzará el valor mínimo en ese punto. Si la función no logra "cambiar" y sigue aumentando o sigue disminuyendo, entonces no se alcanza ningún valor máximo o mínimo.

Se puede examinar la monotonicidad de una función sin cálculo. Sin embargo, el cálculo suele ser útil porque existen condiciones suficientes que garantizan las propiedades de monotonicidad anteriores, y estas condiciones se aplican a la gran mayoría de funciones que uno podría encontrar.

Declaración precisa de propiedades monotónicas

Dicho con precisión, supongamos que f es una función de valor real definida en algún intervalo abierto que contiene el punto x y supongamos además que f es continua en x.

Si existe un número positivo r ■ 0 tal que f está aumentando débilmente $() x - r, x]$ y débilmente disminuyendo $[x, x + r)$ Entonces f tiene un máximo local x.
Si existe un número positivo r ■ 0 tal que f está aumentando estrictamente $() x - r, x]$ y el aumento estricto $[x, x + r)$ Entonces f está aumentando estrictamente $() x - r, x + r)$ y no tiene un máximo o mínimo local x.

Tenga en cuenta que en el primer caso, no es necesario que f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente a la izquierda o derecha de x, mientras que en el último caso, f sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente. La razón es que en la definición de máximo y mínimo local, no es necesario que la desigualdad sea estricta: p.e. cada valor de una función constante se considera tanto un máximo local como un mínimo local.

Declaración exacta de la prueba de primer orden

La primera prueba derivativa depende de la "prueba creciente-disminución", que en última instancia es una consecuencia del teorema de valor medio. Es una consecuencia directa de la forma en que se define el derivado y su conexión a disminuir y aumentar una función localmente, combinado con la sección anterior.

Supongamos que f es una función de valor real de una variable real definida en algún intervalo que contiene el punto crítico a. Supongamos además que f es continua en a y diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a, excepto posiblemente en el propio a. .

Si existe un número positivo r ■ De tal manera que por cada x ena − r, a) tenemos f.()x) ≥ 0, y para todos x ena, a + r) tenemos f.()x≤ 0, entonces f tiene un máximo local a.
Si existe un número positivo r ■ De tal manera que por cada x ena − r, a) tenemos f.()x≤ 0, y para todos x ena, a + r) tenemos f.()x) ≥ 0, entonces f tiene un mínimo local a.
Si existe un número positivo r ■ De tal manera que por cada x ena − r, a∪a, a + r) tenemos f.()x) 0, entonces f está aumentando estrictamente a y no tiene ni un máximo local ni un mínimo local allí.
Si ninguna de las condiciones anteriores se mantiene, entonces la prueba falla. (Esta condición no es vacua; hay funciones que no satisfacen ninguna de las tres primeras condiciones, por ejemplo. f()x) x²pecado(1/x)).

De nuevo, correspondiente a los comentarios en la sección sobre propiedades monotónicas, observa que en los dos primeros casos, la desigualdad no está obligada a ser estricta, mientras que en el tercero se requiere una desigualdad estricta.

Aplicaciones

La prueba de la primera derivada es útil para resolver problemas de optimización en física, economía e ingeniería. Junto con el teorema del valor extremo, se puede utilizar para encontrar el máximo y mínimo absolutos de una función de valor real definida en un intervalo cerrado y acotado. Junto con otra información como concavidad, puntos de inflexión y asíntotas, se puede utilizar para dibujar la gráfica de una función.

Prueba de la segunda derivada (variable única)

Después de establecer los puntos críticos de una función, la prueba de la segunda derivada utiliza el valor de la segunda derivada en esos puntos para determinar si dichos puntos son un máximo o un mínimo local. Si la función f es dos veces diferenciable en un punto crítico x (es decir, un punto donde f′(x) = 0), entonces:

Si $<math alttext="{displaystyle f''(x)f.()x)c)0{displaystyle f''(x) <img alt="{displaystyle f''(x)$ Entonces ${displaystyle f}$ tiene un máximo local ${displaystyle x}$ .
Si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f.()x)■0{displaystyle f''(x)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5242d6e86d1b65eddd578b3a58f08635e32361cf" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:3.009ex;"/>$ Entonces ${displaystyle f}$ tiene un mínimo local ${displaystyle x}$ .
Si ${displaystyle f''(x)=0}$ , la prueba es inconclusiva.

En el último caso, el teorema de Taylor puede ser utilizado a veces para determinar el comportamiento de f cerca x usando derivados superiores.

Prueba de la prueba de la segunda derivada

Supongamos que tenemos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f.()x)■0{displaystyle f''(x)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5242d6e86d1b65eddd578b3a58f08635e32361cf" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:3.009ex;"/>$ (la prueba para $<math alttext="{displaystyle f''(x)f.()x)c)0{displaystyle f''(x) <img alt="{displaystyle f''(x)$ es análogo). Por supuesto, ${displaystyle f'(x)=0}$ . Entonces...

<math alttext="{displaystyle 00c)f.()x)=limh→ → 0f.()x+h)− − f.()x)h=limh→ → 0f.()x+h)h.{fnMicrosoft Sans Serif}=lim _{hto 0}{frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}=lim _{hto 0}{frac {f'(x+h)}{h}}}}}}}<img alt="{displaystyle 0

Así, para h suficientemente pequeño obtenemos

0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f.()x+h)h■0,{displaystyle {frac {f'(x+h)} {h}} {h}}}} {f}}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6d5c3231e92530f1bdb723a74a55d35011f85e" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.067ex; height:5.843ex;"/>

que significa que $<math alttext="{displaystyle f'(x+h)f.()x+h)c)0{displaystyle f'(x+h) <img alt="{displaystyle f'(x+h)$ si $<math alttext="{displaystyle hhc)0{displaystyle h realizadas0} <img alt="{displaystyle h$ (intuitivamente, f está disminuyendo a medida que se acerca ${displaystyle x}$ de la izquierda) $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f.()x+h)■0{displaystyle f'(x+h)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36523690f7fe8af07dc7ceb342e6e20f2c8a1e2b" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.584ex; height:3.009ex;"/>$ si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">h■0{displaystyle h confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbddb7a5cca6170575e4e73e769fbb434c2a3d71" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.6ex; height:2.176ex;"/>$ (intuitivamente, f está aumentando a medida que avanzamos x). Ahora, por la prueba de primer orden, ${displaystyle f}$ tiene un mínimo local ${displaystyle x}$ .

Prueba de concavidad

Un uso relacionado pero distinto de los segundos derivados es determinar si una función se concave o se concave en un punto. Sin embargo, no proporciona información sobre los puntos de inflexión. Específicamente, una función dos veces diferente f es un cóncavo si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f.()x)■0{displaystyle f''(x)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5242d6e86d1b65eddd578b3a58f08635e32361cf" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.858ex; height:3.009ex;"/>$ y concave abajo si $<math alttext="{displaystyle f''(x)f.()x)c)0{displaystyle f''(x) <img alt="{displaystyle f''(x)$ . Note que si ${displaystyle f(x)=x^{4}}$ Entonces ${displaystyle x=0}$ tiene cero segundo derivado, sin embargo no es un punto de inflexión, por lo que el segundo derivado no da suficiente información para determinar si un punto dado es un punto de inflexión.

Prueba de derivada de orden superior

La prueba de derivada de orden superior o la prueba de derivada general es capaz de determinar si los puntos críticos de una función son máximos, mínimos o puntos de inflexión para una variedad más amplia de funciones que la prueba de la derivada de segundo orden. Como se muestra a continuación, la prueba de la segunda derivada es matemáticamente idéntica al caso especial de n = 1 en la prueba de la derivada de orden superior.

Vamos. f ser una función de valor real y lo suficientemente diferenciable en un intervalo ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ , vamos ${displaystyle cin I}$ , y dejar ${displaystyle ngeq 1}$ ser un número natural. También dejar todos los derivados de f a c ser cero hasta e incluyendo el n- el derivado, pero con el (n + 1) el derivado no-cero:

{displaystyle f'(c)=cdots =f^{(n)}(c)=0quad {text{and}}quad f^{(n+1)}(c)neq 0.}

Hay cuatro posibilidades, los dos primeros casos donde c es un extremum, el segundo donde c es un punto de silla (local):

Si n es extraño $<math alttext="{displaystyle f^{(n+1)}(c)f()n+1)()c)c)0{displaystyle f^{(n+1)}(c) made0}<img alt="{displaystyle f^{(n+1)}(c)$ Entonces c es un máximo local.
Si n es extraño $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()n+1)()c)■0{displaystyle f^{(n+1)}(c)}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb7ef4a99f483fa35130f5591e30c417d971dfa" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.996ex; height:3.343ex;"/>$ Entonces c es un mínimo local.
Si n es incluso $<math alttext="{displaystyle f^{(n+1)}(c)f()n+1)()c)c)0{displaystyle f^{(n+1)}(c) made0}<img alt="{displaystyle f^{(n+1)}(c)$ Entonces c es un punto de inflexión estrictamente decreciente.
Si n es incluso $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()n+1)()c)■0{displaystyle f^{(n+1)}(c)}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb7ef4a99f483fa35130f5591e30c417d971dfa" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.996ex; height:3.343ex;"/>$ Entonces c es un punto de inflexión estrictamente creciente.

Dado que n debe ser par o impar, esta prueba analítica clasifica cualquier punto estacionario de f, siempre que eventualmente aparezca una derivada distinta de cero.

Ejemplo

Digamos que queremos realizar la prueba derivada general en la función ${displaystyle f(x)=x^{6}+5}$ en el punto ${displaystyle x=0}$ . Para ello, calculamos los derivados de la función y luego los evaluamos en el punto de interés hasta que el resultado no sea cero.

{displaystyle f'(x)=6x^{5}}

{displaystyle f'(0)=0;}

{displaystyle f''(x)=30x^{4}}

{displaystyle f''(0)=0;}

{displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}

{displaystyle f^{(3)}(0)=0;}

{displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}

{displaystyle f^{(4)}(0)=0;}

{displaystyle f^{(5)}(x)=720x}

{displaystyle f^{(5)}(0)=0;}

{displaystyle f^{(6)}(x)=720}

{displaystyle f^{(6)}(0)=720.}

Como se muestra anteriormente, en el punto ${displaystyle x=0}$ , la función ${displaystyle x^{6}+5}$ tiene todos sus derivados a 0 igual a 0, excepto por el 6o derivativo, que es positivo. Así n = 5, y por la prueba, hay un mínimo local a 0.

Caso multivariable

Para una función de más de una variable, la prueba de la segunda derivada se generaliza a una prueba basada en los valores propios de la matriz de Hesse de la función en el punto crítico. En particular, suponiendo que todas las derivadas parciales de segundo orden de f son continuas en una vecindad de un punto crítico x, entonces si los valores propios del hessiano en x son todos positivos, entonces x es un mínimo local. Si todos los valores propios son negativos, entonces x es un máximo local, y si algunos son positivos y otros negativos, entonces el punto es un punto silla. Si la matriz de Hesse es singular, entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente.

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