Proporcionalidad

En matemáticas, dos secuencias de números, a menudo datos experimentales, son proporcionales o directamente proporcionales si sus elementos correspondientes tienen una razón constante, lo que se denomina coeficiente de proporcionalidad o constante de proporcionalidad . Dos secuencias son inversamente proporcionales si los elementos correspondientes tienen un producto constante, también llamado coeficiente de proporcionalidad.

Esta definición se extiende comúnmente a cantidades variables relacionadas, que a menudo se denominan variables . Este significado de variable no es el significado común del término en matemáticas (ver variable (matemáticas)); estos dos conceptos diferentes comparten el mismo nombre por razones históricas.

Dos funciones y son proporcionales si su razón es una función constante.

Si varios pares de variables comparten la misma constante de proporcionalidad directa, la ecuación que expresa la igualdad de estas razones se llama proporción , por ejemplo,a/B=X/y= ⋯ = k (para más detalles, consulte Relación). La proporcionalidad está íntimamente relacionada con la linealidad .

Proporcionalidad directa

Dadas dos variables x e y , y es directamente proporcional a x si hay una constante k distinta de cero tal que

La relación a menudo se denota con los símbolos "∝" (que no debe confundirse con la letra griega alfa) o "~": o

Para la constante de proporcionalidad se puede expresar como la relación

También se le llama constante de variación o constante de proporcionalidad .

Una proporcionalidad directa también se puede ver como una ecuación lineal en dos variables con una intersección en y de 0 y una pendiente de k . Esto corresponde al crecimiento lineal.

Ejemplos

• Si un objeto viaja a una velocidad constante, entonces la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado en viajar, siendo la velocidad la constante de proporcionalidad.
• La circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su diámetro, con la constante de proporcionalidad igual a π .
• En un mapa de un área geográfica suficientemente pequeña, dibujado a escala de distancias, la distancia entre dos puntos cualquiera en el mapa es directamente proporcional a la distancia en línea recta entre las dos ubicaciones representadas por esos puntos; la constante de proporcionalidad es la escala del mapa.
• La fuerza, que actúa sobre un objeto pequeño con una masa pequeña por una gran masa extendida cercana debido a la gravedad, es directamente proporcional a la masa del objeto; la constante de proporcionalidad entre la fuerza y ​​la masa se conoce como aceleración gravitacional.
• La fuerza neta que actúa sobre un objeto es proporcional a la aceleración de ese objeto con respecto a un marco de referencia inercial. La constante de proporcionalidad en esta, la segunda ley de Newton, es la masa clásica del objeto.

Proporcionalidad inversa

El concepto de proporcionalidad inversa puede contrastarse con el de proporcionalidad directa . Considere dos variables que se dice que son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las demás variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable inversamente proporcional disminuye si la otra variable aumenta, mientras que su producto (la constante de proporcionalidad k ) es siempre el mismo. Por ejemplo, el tiempo necesario para un viaje es inversamente proporcional a la velocidad del viaje.

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (también llamadas variables inversamente , en variación inversa , en proporción inversa ) si cada una de las variables es directamente proporcional al inverso multiplicativo (recíproco) de la otra, o de manera equivalente si su producto es una constante. De ello se deduce que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que

o equivalente, Por lo tanto , la constante " k " es el producto de xey .

La gráfica de dos variables que varían inversamente en el plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola rectangular. El producto de los valores x e y de cada punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad ( k ). Dado que ni x ni y pueden ser iguales a cero (porque k no es cero), la gráfica nunca cruza ninguno de los ejes.

Coordenadas hiperbólicas

Los conceptos de proporción directa e inversa conducen a la ubicación de puntos en el plano cartesiano mediante coordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que especifica que un punto se encuentra en un rayo particular y la constante de proporcionalidad inversa que especifica que un punto se encuentra en una hipérbola particular.