Producto triple

En geometría y álgebra, el producto triple es un producto de tres vectores tridimensionales, generalmente vectores euclidianos. El nombre "producto triple" se utiliza para dos productos diferentes, el producto triple escalar con valores escalares y, con menos frecuencia, el producto triple vectorial con valores vectoriales.

Producto triple escalar

El producto triple escalar (también llamado producto mixto, producto en caja o producto escalar triple) se define como el producto escalar de uno de los vectores con el producto cruzado de los otros dos.

Interpretación geométrica

Geométricamente, el triple producto escalar

${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c}}}$

es el volumen (con signo) del paralelepípedo definido por los tres vectores dados. Aquí, los paréntesis se pueden omitir sin causar ambigüedad, ya que el producto escalar no se puede evaluar primero. Si así fuera, quedaría el producto cruzado de un escalar y un vector, que no está definido.

Propiedades

• El producto escalar triple no se cambia bajo un cambio circular de sus tres operandos (a, b, c):

  ${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c})=mathbf {c} cdot (mathbf {a} times mathbf {b})=mathbf {b} cdot (mathbf {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {bthtimes ) {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}c}c}c}c}c}c}c} {c} {c}c} {c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c} {)=c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c$

• Cambiar las posiciones de los operadores sin reordenar los operandos deja el triple producto sin cambios. Esto se deriva de la propiedad anterior y la propiedad conmutativa del producto del punto:

  ${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c})=(mathbf {a} times mathbf {b})cdot mathbf {c}$

• El intercambio de cualquiera de los tres operados niega el triple producto. Esto se deriva de la propiedad circular-shift y la anticommutatividad del producto de la cruz:

  ${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

• El producto triple escalar también se puede entender como el determinante del 3×3 matriz que tiene los tres vectores ya sea como sus filas o sus columnas (una matriz tiene el mismo determinante que su transpose):

  ${fnMicrosoft Sans Serif}cdot (mathbf {b} times mathbf {c})=det {begin{bmatrix}a_{1} limita_{2} limita_{3}b_{1} {2}}}} {3} {} {} {} {} {}}} {}}}} {}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}}} {} {}}}} {} {}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}} {} {} {}}}}}}}}} {bb}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {begin {bmatrix}a_{1} {1} {1}a_{2} limitb_{2} {2}a_{2}a_{3} {3} {3} {3}end{bmatrix}=det {begin{bmatrix}bth} {bth} {bth} {b} {b} {b} {b} {} {b} {} {} {b} {b} {} {} {} {} {} {b} {b} {} {b} {} {b} {} {} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {} {} {} {} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b} {b}} {b} {b}} {b}}}$

• Si el producto triple es igual a cero, entonces los tres vectores a, b, y c son coplanar, ya que los paralelos definidos por ellos serían planos y no tienen volumen.
• Si alguno de los dos vectores en el producto triple escalar son iguales, entonces su valor es cero:

  ${displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {a} times mathbf {b})=mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {a})=mathbf {b} cdot (mathbf {a} {a} {a} {a} {a} {a} {i} {a} {a} {i} {a}i}i} {i} {i} {i} {i} {i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i} {i} {i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}i}$

• También:

  ${displaystyle (mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c}),mathbf {a} =(mathbf {a} times mathbf {b})times (mathbf {a} times mathbf {c}})}$

• El producto simple de dos productos triples (o la plaza de un producto triple), se puede ampliar en términos de productos de punto:
  $${f}$$

  
  Esto descansa en la notación vectorial que el producto de los determinantes de dos matrices 3×3 equivale al determinante de su producto matriz. Como caso especial, la plaza de un producto triple es un determinante Gram.
• La relación del producto triple y el producto de las tres normas vectoriales se conoce como un seno polar:
  $${displaystyle {frac {mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c}}{f}{mathbf {a} } 'Sobrevivir 'mathbf {b} } 'Sobrevivir 'mathbf {c} }mathbf {b}mathbf {c}$$

  
  que oscila entre -1 y 1.

Escalar o pseudoescalar

Aunque el triple producto escalar da el volumen del paralelepípedo, es el volumen con signo, dependiendo el signo de la orientación del marco o de la paridad de la permutación de los vectores. Esto significa que el producto se niega si se invierte la orientación, por ejemplo mediante una transformación de paridad, por lo que se describe más correctamente como pseudoescalar si la orientación puede cambiar.

Esto también se relaciona con la entrega del producto de la cruz; el producto de la cruz se transforma como un pseudovector bajo transformaciones de paridad, y así se describe como un pseudovector. El producto de puntos de dos vectores es un escalar pero el producto de punto de un pseudovector y un vector es un pseudoscalar, por lo que el producto triple escalar (de vectores) debe ser pseudoscalar-valor.

Si T es una rotación adecuada entonces

${displaystyle mathbf {Ta} cdot (mathbf {Tb} times mathbf {Tc})=mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c}),}}$

pero si T es una rotación impropia entonces

${displaystyle mathbf {Ta} cdot (mathbf {Tb} times mathbf {Tc})=-mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c}). }$

Como producto exterior

En álgebra exterior y álgebra geométrica, el producto exterior de dos vectores es un bivector, mientras que el producto exterior de tres vectores es un trivector. Un bivector es un elemento plano orientado y un trivector es un elemento de volumen orientado, de la misma manera que un vector es un elemento lineal orientado.

Dados los vectores a, b y c, el producto

${displaystyle mathbf {a} wedge mathbf {b} wedge mathbf {c}$

es un trivector con magnitud igual al triple producto escalar, es decir

${displaystyle ¦Mathbf {a} wedge mathbf {b} wedge mathbf {c} Silencio= vidasmathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c})$,

y es el dual de Hodge del triple producto escalar. Como el producto exterior es asociativo, no se necesitan paréntesis, ya que no importa cuál de a ∧ b o b ∧ c se calcula primero, aunque el orden de los vectores en el producto sí importa. Geométricamente el trivector a ∧ b ∧ c corresponde al paralelepípedo abarcado por a, b, y c, con bivectores a ∧ b, b ∧ c y a ∧ c haciendo coincidir las caras del paralelogramo del paralelepípedo.

Como función trilineal

El producto triple es idéntico a la forma de volumen del espacio tridimensional euclidiano aplicado a los vectores mediante el producto interior. También se puede expresar como una contracción de vectores con un tensor de rango 3 equivalente a la forma (o un pseudotensor equivalente a la pseudoforma de volumen); vea abajo.

Producto triple vectorial

El producto triple vectorial se define como el producto cruzado de un vector con el producto cruzado de los otros dos. Se cumple la siguiente relación:

${displaystyle mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c})=(mathbf {a} cdot mathbf {c})mathbf {b} -(mathbf {a} cdot mathbf {b})mathbf {}$.

Esto se conoce como triple expansión del productoo La fórmula de Lagrange, aunque este último nombre también se utiliza para varias otras fórmulas. Su lado derecho se puede recordar mediante el uso de la "ACB − ABC" mnemónica, siempre que uno tenga en cuenta qué vectores están hechos juntos. A continuación se presenta una prueba. Algunos libros de texto escriben la identidad como ${displaystyle mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c})=mathbf {b} (mathbf {a} cdot mathbf {c})-mathbf {c} (mathbf {a} cdot mathbf {b})$ tal que se obtiene una mnemónica más familiar "BAC − CAB", como en "retro de la cabina".

Dado que el producto cruzado es anticonmutativo, esta fórmula también se puede escribir (hasta la permutación de las letras) como:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {c}mátbf {c}c} times (mathbf {b} {b})mathbf {b}$

De la fórmula de Lagrange se deduce que el triple producto vectorial satisface:

${displaystyle mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c})+mathbf {b} times (mathbf {c} times mathbf {a})+mathbf {c} times (mathbf {a} times {b=$

cuál es la identidad de Jacobi para el producto cruzado. Otra fórmula útil es la siguiente:

${displaystyle (mathbf {a} times mathbf {b})times mathbf {c} =mathbf {a} times (mathbf {b} times mathbf {c})-mathbf {b} times (mathbf {a} times timesmathbf {$

Estas fórmulas son muy útiles para simplificar los cálculos vectoriales en física. Una identidad relacionada con respecto a los gradientes y útil en el cálculo vectorial es la fórmula de Lagrange de identidad de producto cruzado vectorial:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cdot} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}$

Esto también se puede considerar como un caso especial del operador más general de Laplace-de Rham ${displaystyle Delta =ddelta +delta d}$.

Prueba

El ${displaystyle x}$ componente ${displaystyle mathbf {u} times (mathbf {v} times mathbf {w}}$ es dado por:

${displaystyle {begin{aligned}(mathbf {u} times (mathbf {v} times mathbf {w})_{x} limit=mathbf {u}(mathbf {v} _{x}mathbf {w} Mathbf... ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? "Mathbf" ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? "Mathbf" {cHFF}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH0}cH30}cH0}cH30}cH0}cH0}cH00}cH00} ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? "Mathbf" ¿Qué? ¿Qué?$

Del mismo modo, el ${displaystyle y}$ y ${displaystyle z}$ componentes ${displaystyle mathbf {u} times (mathbf {v} times mathbf {w}}$ son dados por:

${fnMicrosoft Sans Serif}(mathbf {u} times (mathbf {v} times mathbf {w})_{y} {mathbf {u}cdot mathbf {w})mathbf {v} {fnMicrosoft Sans Serif})_{z}=(mathbf {u} cdot mathbf {w})mathbf {v})_{z}-(mathbf {u} cdot mathbf {w})mathbf {v} ¿Qué?$

Combinando estos tres componentes obtenemos:

${displaystyle mathbf {u} times (mathbf {v} times mathbf {w})=(mathbf {u} cdot mathbf {w})mathbf {v} -(mathbf {u} cdot mathbf {v})mathbf {}$

Usando álgebra geométrica

Si se utiliza álgebra geométrica, el producto cruzado b × c de los vectores se expresa como su producto exterior b∧c, un bivector. El segundo producto cruz no se puede expresar como producto exterior, de lo contrario resultaría el triple producto escalar. En su lugar, se puede utilizar una contracción hacia la izquierda, por lo que la fórmula queda

${fnMicrosoft} {fnMicrosoft}$

La prueba se desprende de las propiedades de la contracción. El resultado es el mismo vector calculado usando a × (b × c).

Interpretaciones

Cálculo tensorial

En notación tensorial, el producto triple se expresa utilizando el símbolo de Levi-Civita:

$${displaystyle mathbf {a} cdot [mathbf {b} times mathbf {c}=varepsilon ¿Qué?$$

$${displaystyle (mathbf {a} times [mathbf {b} times mathbf {c})_{i}=varepsilon ¿Por qué? m'b_{ell }c_{m}=varepsilon ¿Qué? }c_{m},}$$

${displaystyle i}$

${displaystyle varepsilon _{ijk}varepsilon ^{kell m}=delta - ¿Qué? m}=delta ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?$

${displaystyle delta _{j}{i}}$

${displaystyle delta _{j}{i}=0}$

${displaystyle ineq j}$

${displaystyle delta _{j}{i}=1}$

${displaystyle i=j}$

${displaystyle delta _{ell m}$

${displaystyle k}$

${displaystyle i}$

${displaystyle j}$

${displaystyle i=l}$

${displaystyle J=m}$

${displaystyle i=m}$

${displaystyle l=j}$

Volviendo al producto cruzado triple,

$${displaystyle (mathbf {a} times [mathbf {b} times mathbf {c})_{i}=(delta ¿Por qué? ¿Por qué? }c_{m}=a^{j}b_{i}c_{j}-a^{j}b_{j}c_{i}=b_{i}(mathbf {a} cdot mathbf {c})-c_{i}(mathbf {a} cdot mathbf {b}),$$

Vector calculus

Considere el flujo integral del campo vectorial ${displaystyle mathbf {F}$ a través de la superficie paramétrica ${displaystyle S=mathbf {r} (u,v)}$: ${textstyle iint ¿Por qué?$. El vector normal de la unidad ${displaystyle {hat {fn} }$ a la superficie es dada por ${fnMicroc} {fnMitbf} ¿Por qué? _{v} {fnMitbf {r} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}}$, así que el componente ${textstyle mathbf {F} cdot {frac {fnMitbf {r}fnMis mathbf {r} _{v}}} {fnMitbf {r} ¿Por qué?$ es un producto triple escalar.