Problema matemático

Un problema matemático es un problema que se puede representar, analizar y posiblemente resolver con los métodos de las matemáticas. Este puede ser un problema del mundo real, como calcular las órbitas de los planetas en el sistema solar, o un problema de naturaleza más abstracta, como los problemas de Hilbert. También puede ser un problema que se refiera a la naturaleza de las matemáticas en sí, como la paradoja de Russell.

Problemas del mundo real

Informal "del mundo real" Los problemas matemáticos son preguntas relacionadas con un escenario concreto, como "Adán tiene cinco manzanas y le da a Juan tres. ¿Cuántos le quedan? Estas preguntas suelen ser más difíciles de resolver que los ejercicios matemáticos regulares como "5 − 3", incluso si uno conoce las matemáticas necesarias para resolver el problema. Conocidos como problemas verbales, se utilizan en la educación matemática para enseñar a los estudiantes a conectar situaciones del mundo real con el lenguaje abstracto de las matemáticas.

En general, para usar las matemáticas para resolver un problema del mundo real, el primer paso es construir un modelo matemático del problema. Esto implica la abstracción de los detalles del problema, y el modelador debe tener cuidado de no perder aspectos esenciales al traducir el problema original a uno matemático. Una vez que el problema ha sido resuelto en el mundo de las matemáticas, la solución debe traducirse nuevamente al contexto del problema original.

Problemas abstractos

Los problemas matemáticos abstractos surgen en todos los campos de las matemáticas. Si bien los matemáticos generalmente los estudian por sí mismos, al hacerlo, se pueden obtener resultados que encuentran aplicación fuera del ámbito de las matemáticas. La física teórica ha sido históricamente una rica fuente de inspiración.

Se ha demostrado rigurosamente que algunos problemas abstractos no tienen solución, como la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo usando solo las construcciones de regla y compás de la geometría clásica, y resolviendo la ecuación quíntica general algebraicamente. También son demostrablemente irresolubles los llamados problemas indecidibles, como el problema de la detención de las máquinas de Turing.

Algunos problemas abstractos difíciles muy conocidos que se han resuelto hace relativamente poco tiempo son el teorema de los cuatro colores, el último teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré.

Las computadoras no necesitan conocer las motivaciones de los matemáticos para hacer lo que hacen. Las definiciones formales y las deducciones verificables por computadora son absolutamente fundamentales para la ciencia matemática.

Degradación de problemas a ejercicios

Los educadores de matemáticas que utilizan la resolución de problemas para la evaluación tienen un problema expresado por Alan H. Schoenfeld:

¿Cómo se puede comparar las puntuaciones de prueba de año a año, cuando se utilizan problemas muy diferentes? (Si se utilizan problemas similares año tras año, los profesores y estudiantes aprenderán qué son, los estudiantes los practicarán: los problemas se vuelven ejercicios y la prueba ya no evalúa la solución de problemas).

Sylvestre Lacroix enfrentó el mismo problema casi dos siglos antes:

... es necesario variar las preguntas que los estudiantes pueden comunicarse entre sí. Aunque pueden fallar el examen, podrían pasar más tarde. Así, la distribución de preguntas, la variedad de temas, o las respuestas, corre el riesgo de perder la oportunidad de comparar, con precisión, los candidatos uno a otro.

Tal degradación de problemas en ejercicios es característica de las matemáticas en la historia. Por ejemplo, al describir los preparativos para el Cambridge Mathematical Tripos en el siglo XIX, Andrew Warwick escribió:

... muchas familias de los entonces problemas estándar habían impuesto originalmente las habilidades de los mayores matemáticos del siglo XVIII.