Principio variacional

En ciencia y especialmente en estudios matemáticos, un principio variacional es aquel que permite resolver un problema mediante el cálculo de variaciones, que se refiere a encontrar funciones que optimicen los valores de cantidades que dependen de esas funciones.. Por ejemplo, el problema de determinar la forma de una cadena colgante suspendida en ambos extremos (una catenaria) se puede resolver usando cálculo variacional y, en este caso, el principio variacional es el siguiente: la solución es una función que minimiza el potencial gravitacional. energía de la cadena.

Descripción general

Cualquier ley física que pueda expresarse como un principio variacional describe un operador autoadjunto. Estas expresiones también se llaman hermitianas. Esta expresión describe una invariante bajo una transformación hermitiana.

Historia

El programa Erlangen de Felix Klein intentó identificar tales invariantes bajo un grupo de transformaciones. En lo que en física se conoce como teorema de Noether, el grupo de transformaciones de Poincaré (lo que ahora se llama grupo de calibre) para la relatividad general define simetrías bajo un grupo de transformaciones que dependen de un principio variacional o principio de acción.

Ejemplos

En matemáticas

• El método Rayleigh-Ritz para resolver problemas de valor límite aproximadamente
• El principio de variación de Ekeland en la optimización matemática
• El método del elemento finito
• El principio de variación relativo a la entropía topológica y la entropía Kolmogorov-Sinai.

En física

• Principio de Fermat en óptica geométrica
• Principio de Maupertuis en la mecánica clásica
• El principio de menor acción en mecánica, teoría electromagnética y mecánica cuántica
• El método de variación en la mecánica cuántica
• Principio de Gauss de menor restricción y principio de Hertz de menor curvatura
• El principio de acción de Hilbert en la relatividad general, dando lugar a las ecuaciones de campo de Einstein.
• Variación del palatini
• Gibbons – Hawking–Ork límite término